随机变量的函数的分布（沐风书苑）

§2.6随机变量函数的分布问题：已知X

的分布，求Y=g(X)的分布?例如：Y1=4X+3；Y2=|X|；Y3=X2.1沐风书苑i

当X为离散随机变量时，Y=g(X)为离散随机变量.

将g(xi)一一列出,再将相等的值合并即可.

2.6.1离散随机变量函数的分布2沐风书苑i2.6.2连续随机变量函数的分布定理2.6.1

设X~pX(x)，取值范围为[c,d];y=g(x)是x的严格单调函数，记x=h(y)为y=g(x)的反函数,且h(y)连续可导，则Y=g(X)的密度函数为:1.公式法3沐风书苑i例2.6.1

设X~求Y=eX的分布.y=ex

单调可导,反函数x=h(y)=lny,所以当y>0时,由此得解：4沐风书苑i正态变量的线性不变性定理2.6.2

设X~N(,2)，则当a

0时，

Y=aX+b~N(a+b,a22).由此得：

若X~N(,2)，则Y=(X

)/

N(0,1).5沐风书苑i例2.6.2(1)设X~N(10,22)，求

Y=3X+5

的分布;(2)设X~N(0,22)，求

Y=-X的分布.6沐风书苑i对数正态分布定理2.6.3

设X~N(,2)，则

Y=e

X的服从7沐风书苑i伽玛分布的有用结论定理2.6.4

设X~Ga(,)，则当k

>0时，

Y=kX~Ga(,/k).8沐风书苑i2.分布函数法步骤：1、由X的取值范围确定Y=g(X)的取值范围；2、由分布函数的定义求Y=g(X)的分布函数：

FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}；

3、由分布函数与密度函数的关系求得Y=g(X)的概率密度。9沐风书苑i均匀分布的有用结论

定理2.6.5

设X~FX

(x)，若FX

(x)为严格单调增的连续函数，则Y=FX

(X)

~U(0,1).10沐风书苑i例2.6.3

设随机变量X~N(0,1),求随机变量Y=X2的概率密度函数。例2.6.4

设X的概率密度函数为11沐风书苑i§2.7

分布的其它特征数矩、变异系数、分位数、中位数12沐风书苑i2.7.1

k

阶原点矩和中心矩

k阶原点矩：k

=E(Xk)，k=1,2,….

注意:

1=E(X).

k阶中心矩：k

=E[XE(X)]k

，k=1,2,….

注意:

2=Var(X).

定义2.7.113沐风书苑i2.7.2

变异系数方差（或标准差）反映了随机变量取值的波动程度，但在比较两个随机变量大小时会产生不合理的现象。原因有二：（1）方差（或标准差）是有量纲的；（2）有一个相对性问题，取值较大的随机变量的方差（或标准差）也允许大一些。14沐风书苑i定义2.7.2

为X的变异系数.作用：称CV是无量纲的量,用于比较量纲不同的两个随机变量的波动大小.15沐风书苑i2.7.3

分位数P(Xxp)=F(xp)=p定义2.7.3

设0<p<1，若xp

满足则称xp

为此分布p-

分位数，亦称xp

为下侧

p-

分位数.16沐风书苑i注意点(1)因为X

小于等于xp的可能性为

p

，所以X大于xp的可能性为1p.(2)对离散分布不一定存在

p-

分位数.(3)

17沐风书苑i上侧p--

分位数若记xp

为上侧

p-

分位数，即则P(Xxp

)=p

18沐风书苑i2.7.4

中位数定义2.7.4

称p=0.5时的p

分位数x0.5为中位数.中位数是反映随机变量位置的特征数，即随机变量取值的中心.19沐风书苑i中位数与均值

相同点：都是反映随机变量的位置特征.

不同点：含义不同.有时中位数比均值更能说明问题.若分布是对称的，则中位数=均值.20沐风书苑i统计中常用的p

-

分位数(1)N(0,1)：Z,U(2)2(n)：(3)t(n)：(4)F(n,m)：21沐风书苑i2.7.5

偏度系数定义2.7.5

设随机变量X的三阶矩存在，则称为X的分布的偏度系数，简称偏度.正态分布N（，2）的偏度

1=0.

22沐风书苑i2.7.5

峰度系数定义2.7.5

设随机变量X的四阶矩存在，则称为X的分布的峰度系数，简称峰度.正态分布N（，2）的峰度

2=0.

23沐风书苑i偏度与峰度

相同点：都是反映分布的形态特征.

不同点：含义不同.偏度刻画的是分布的对称性，峰度刻画的是分布的峰峭性.24沐风书苑i习题讲解25沐风书苑i例1

从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3。(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律；(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。解

(1)由题意，X~B(6,1/3)，故X的分布律为：26沐风书苑i例2

设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2。求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。 解由题意27沐风书苑i例3

设随机变量X~U[1,6]

，求一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率。解当Δ=X2-4≥0时，方程有实根。所求概率为而X的密度函数为另解28沐风书苑i例4

长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率。解设A—乘客候车时间超过10分钟，X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)29沐风书苑i例5

设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公司要求投资2.8亿元，但预算外开支波动较大，设实际费用X~N(2.8,0.52)。乙公司要求投资3亿元，但预算外开支波动较小，设实际费用Y~N(3,0.22)。现假定工程资方掌握资金(1)3亿元，(2)3.4亿元，为了在这两种情况下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包较为合理？解（1）工程资方掌握资金3亿元。若委托甲公司承包若委托乙公司承包标准正态分布表=0.6554(2)请自己完成。委托甲公司承包较为合理。30沐风书苑i例6一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的。求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.

其中故解设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数，则

Y~b(3,p)31沐风书苑i例7设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。当y<0时，当0≤y<1时当y≥1时解32沐风书苑i例8设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(单位吨)，它服从[2000,4000]上的均匀分布。若售出这种商品1吨，可赚3万元，但若销售不出去，则每吨需付仓储费1万元，问该商品应出口多少吨才可使平均收益最大？解由题意可知X的密度函数为设每年出口该商品y吨，(2000≤y≤4000)，则收益可知y=3500时，E(Y)取到最大值，故出口3500吨此商品才可使平均收益最大。33沐风书苑i34沐风书苑i35沐风书苑i36沐风书苑i37沐风书苑i38沐风书苑i39沐风书苑i

P115习题2.5#10

某种设备的使用寿命X(以年计)服从指数分布,其平均寿命为4年.制造此种设备的厂家规定,若设备在使用一年之内损坏,则可以予以调换.如果设备制造厂每售出一台