高等代数第4章矩阵1-2-3节

4.1矩阵的概念4.1.1矩阵的概念4.1.2矩阵应用实例第四章矩阵由个数排成的行列的数表称为矩阵.记作4.1.1矩阵的概念简记为元素全是实数的矩阵称为实矩阵,元素全是复数的矩阵称为复矩阵.例如是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).（3）只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).（1）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.几种特殊矩阵例如是一个3阶方阵.(4)行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作一般的n阶方阵：称为上三角矩阵.（5）形如的方阵,称为下三角矩阵.（6）形如的方阵,

称为对角矩阵(或对角阵）.（7）形如的方阵,记作全相等（8）形如的方阵,

称为数量矩阵.记作(9)方阵称为单位矩阵（或单位阵）.全为1例1.

某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.4.1.2矩阵应用实例；四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站其中表示有航班.为了便于计算,把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:这个数表反映了四城市间交通联接情况.例2间的关系式线性变换，系数矩阵若线性变换为称之为恒等变换.对应单位阵.线性变换对应这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换.4.2矩阵的运算4.2.1矩阵的加法4.2.2矩阵的数乘4.2.3矩阵的乘法4.2.4矩阵的转置4.2.5矩阵的共轭若两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作定义：行数、列数对应相同的矩阵称为同型矩阵。4.2.1矩阵的加法设有两个矩阵那末矩阵

=的和记作，规定为注：只有行数、列数对应都相同的矩阵，即同型矩阵才能相加。例如为同型矩阵.性质：4.2.2矩阵的数乘性质：并把此乘积记作设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中4.2.3矩阵的乘法注：当A的列数＝B的行数时，才有AB，且乘积C=AB的行数为A的行数，列数为B的列数例如性质：定义n阶方阵的k次幂为：k个A显然：成立的充要条件是什么?例：解：故成立的充要条件为注意

1.矩阵乘法不满足交换律，即一般来说未必有：结论：n阶数量矩阵与任意n阶矩阵可交换例

设则特别的，当AB=BA时，则称A与B可交换。例

设则3.矩阵乘法不满足消去律:即若AB=AC且A0,一般不能推出B=C2.两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵定义

把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作或.例１、转置矩阵4.2.4矩阵的转置转置矩阵的运算性质例5

已知解法1解法22、对称矩阵定义设为阶方阵，如果满足那么称为对称矩阵.如果满足aij=-aji,则称A为反对称矩阵.例6

设列矩阵满足证明例7

证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明所以C为对称矩阵.所以B为反对称矩阵.命题得证.4.2.5矩阵的共轭称为A的共轭矩阵.性质：对复数z=a+bi,记为z的共轭复数.小结基本矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵共轭矩阵

（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。一般来说，矩阵相乘不满足