数学物理方法第一章复变函数

第一篇复变函数论

复变函数是自变量为复数(矢量）的函数

第一章复变函数§1.1复数与复数运算（一）复数的基本概念

定义，z=x+iy,其中x

和

y

是实数,

虚数单位

实部

x=Rez，

虚部y=Im

z2.复数的几何表示方法：一个复数可用平面上的点表示直角坐标表示z=x+iy1

全体复数与平面上的点一一对应z=x+iy(x,y)(,)=|z|ox•sincos(/2-)cos复数平面yz1=x1+iy1，z2=x2+iy2，如z1=z2，则x1=x2，y1=y2/2-22)极坐标表示利用坐标变换:复数z的三种表示:

代数式：三角式：指数式：模：z(x,y)oyx•sincos复数平面3Thisidentityisparticularlyremarkableasitinvolvese,π,i,1and0,arguablythefivemostimportantconstantsinmathematics.LeonhardEular(1707-1783)Swissmathematician,欧拉(Euler)公式

"themostremarkableformulainmathematics"(byRichardFeynman)453.辐角主值:辐角=Argz满足的特定值称为主值argz,=Argz=argz+2k，

(k=0,1,2,….)复数零：辐角无意义64.复共轭：关于实轴的对称点：

z*(x0,-y0)xyoz(x0,y0)zz*-Z,Z*互为共扼7（二）无限远点：

测地投影:用平面上的点来表示球面上的点N（北极）复数z平面oA(x,y)xyA’

(x’,y’)复数球S(南极）A，,A’N、Re(z),Im(z)均无意义Ao，0,A’o,无确定值8（三）复数的运算

加减法：z1±z2=(x1±

x2)+i

(y1±

y2)加法满足交换律和结合律乘积：z1z2=(x1x2-y1y2)+i

(x1y2+x2y1)乘法满足交换律、结合律和分配律

除法：9乘、除、乘方、开方运算用指数式（或三角式）较代数式方便复数的运算的物理图像：加减法—2D平面内矢量的叠加乘除法—2D平面内矢量的操作10o1z2oz1z|z|/|z1|=|z2|/1

(

=1)|z|=|z1||

z2|复数乘法图示z=z1

z2z1oyz2(1,0)=1x11oyz2=1xoz2o

1/z2=*复数除法图示一12oyz2=1xoz2

oz1z复数除法图示二z1z2-1（杨超）1345182764613指数运算根式运算根式的多值性!!14=2/n，kn的根与k=0,…,n-1的根重合;

k=0与k=n的根等同。(n=5)/n/n+2/n/n+2(2/n)/n+3(2/n)/n+4(2/n)Z15复数研究可归结为实数研究16例题，p4,3(1)计算

解答：171819§1.2复变函数（一）复变函数的定义：若在复数平面上存在一个点集E,对于E的每一点z，按照一定的规律，有一个或多个复值w与之相对应，则称w为z的复变函数:

wzE20（二）区域的概念：

解析函数的定义域是满足一定条件的点集，称为区域邻域、内点、外点和边界点z0:

内点边界点外点z0

的邻域z0B：

区域21区域：1、全由内点组成；2、具有连通性。(开)区域:闭区域:圆型区域的例：为开区域；为闭区域xoyz0r022（三）复变函数例1.多项式 2.有理分式3.根式23sh同sinh，双曲正弦(hyperbolicsine)ch同cosh,双曲余弦(hyperboliccosine)（Argz=argz+2k）242526与实函数比较异同●三角函数

f(z)=sinz，cosz(1)实数周期2；sin(z+2)=sin(z),cos(z+2)=cos(z),(2)

(3)同样有公式当27具有纯虚数周期，对应实函数为非周期函数为无穷多值函数，负实数的对数仍有意义复变函数实部虚部●28例1.w=z2.u(x,y)=Re(z2)＝x2-y2，

v(x,y)=Im(z2)=2xy2930例2.w=z3

u(x,y)=Re(z3)=x3-3xy2;

v(x,y)=Im(z3)=3x2y-y33132例3.w=1/z=u(x,y)+iv(x,y)3334例4.f(z)=z-2=u(x,y)+iv(x,y)35

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99个人小广告：3637例5.指数函数

f(z)=ez=

ex+iy=excosy+iexsiny

3839例6.

f(z)=sin(10z)=u(x,y)+iv(x,y)4041例7.

f(z)=sinh(10z)=u(x,y)+iv(x,y)4243§1.3导数一、

导数的定义：设为单值函数，即对于B上的每一个z值，有且只有一个w值与之相对应。如果对于B上的某点z,极限

存在，且与z0的方式无关，则称 函数w=f(z)在z点可导，此极限定义为函数w=f(z)在z点的导数（或微商），

记为44与实变函数导数的区别： 实变函数：x0；复变函数：z0•z=x+iyz0方式图示xyoz0z=iyz=x45二、求导公式46

必须指出，复变函数和实变函数的导数定义，虽然形式上一样，实质上却有很大的不同．这是因为实变数Δx只能沿着实轴逼近零、复变数Δz却可以沿复数平面上的任一曲线逼近零。因此，与实变函数的可导相比，复变函数可导的要求要严格得多。47三、柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程证明：1、实轴方向,z=x2、虚轴方向,z=iy

yz=x(1)z=iy(2)z0xo483、f(z)可导，与z0的方式无关，因此——柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程C-R方程是可导的必要条件。从而：49Augustin-LouisCauchyborn:August21,1789inParisdied:May23,1857outsideParis

ModernmathematicsisindebtedtoCauchyfortwoofitsmajorinterests,eachofwhichmarksasharpbreakwiththemathematicsoftheeighteenthcentury.Thefirstwastheintroductionofrigorintomathematicalanalysis.Thesecondthingoffundamentalimportancewasontheoppositeside-thecombinatorial.50GeorgFriedrichBernhardRiemannbornSeptember17,1826,Breselenz,Hanover[Germany]

diedJuly20,1866,Selasca,Italy.

HewasaGermanmathematicianwhoseprofoundandnovelapproachestothestudyofgeometrylaidthemathematicalfoundationforAlbertEinstein'stheoryofrelativity.Healsomadeimportantcontributionstothetheoryoffunctions,complexanalysis,andnumbertheory.51例:不满足C-R条件事实上52又例：在I、III象限：在II、IV象限：从而在z＝0,53满足C-R条件。然可导否？试令恒定，即54而在II、IV象限则在I、III象限55f(z)可导的充要条件：u(x,y)和v(x,y)的偏导数存在、连续，且满足C-R条件,则复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)可导。满足C-R条件,可见C-R条件不是复变函数可导的充分条件然而，沿实轴或虚轴，

56证明：偏导连续，增量可表为：其中从而利用C-R条件57同理利用C-R条件58极坐标中的C-R方程：极限是与z0的方式无关的有限值,可沿任一方便的路径求导数（极限）若复变函数可导，则其实部和虚部通过C-R方程而联系起来xyo5960例：1、f(z)=z2在z0点的导数：2、f(z)=|z|2在z0点的导数:61极限与方向有关，f(z)=|z|2在

z0点不可导!如’不变，

z=z0+z’=z0+ei’R’R’0过程中对应的，同时都在变化,只有在oo’连线或延长线上，’都是常数

xz0o•’yz’•xyx’y’o’’S62复变函数求导方法(如果存在）:

一、已知f(z),求导:与实变函数求导类似。 二、已知

u(x,y)+iv(x,y),求导:63例：64§1.4解析函数

一、解析函数的定义：如果单值函数f(z)在点z0及其邻域内处处可导，则称f(z)在z0点解析。又若f(z)在区域B上每一点都解析（可导），则称f(z)是区域B上的解析函数

z0点可导与z0点解析的区别:函数f(z)=|z|2(§1.4例2)在z=0点可导，而在其他点均不可导，故z=0点不解析。z0z0邻域65可导与解析的关系z0点解析z0

点可导区域上可导区域上解析不一定！66二.解析函数的性质：若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则 1、u(x,y)=C1与v(x,y)=C2互相正交;将C-R方程两边对应相乘,u(x,y)=C1

v(x,y)=C2代表的函数族，在交点（x,y)处相互正交6768例1、f(z)=z=x+iy

x=C1,y=C2xyoy=C2（电场线）x=C1(等势线）69例2、f(z)=lnz=ln(x2+y2)1/2+iArgz

x2+y2=C1,Argz=C2oxyx2+y2=C1Argz=C270例3、f(z)=z2=x2-y2+2ixyx2-y2=C1,xy=C271

2、如果2u=0和2v=0,即u和

v是调和函数;将CR方程前式对x求导，后式对y求导,两式相加,得：同理可得：

u,v满足2DLaplace方程，u,v叫作共轭调和函数72Pierre-SimonLaplace

Born:23March1749inBeaumont-en-Auge,Normandy,France

Died:5March1827inParis,FranceLaplaceprovedthestabilityofthesolarsystem.InanalysisLaplaceintroducedthepotentialfunctionandLaplacecoefficients.Healsoputthetheoryofmathematicalprobabilityonasoundfooting(建筑声学）.73三.确定解析函数

给定u，求v验证(1.4.4)是全微分?正确CR条件利用调和函数性质，Laplace方程74（1）曲线积分法全微分的积分与路径无关，可选择特殊路径完成积分（2）凑全微分显式法（3）不定积分法75例1.已知解析函数f(z)的实部求虚部和这个解析函数。解：

（1）曲线积分法调和函数验证76C-R(x,y)(x,0)xyo77（2）凑全微分显式法（3）不定积分法结果78例2.已知解析函数f(z)的虚部求实部u(x,y)和这个解析函数。解：(凑全微分显式法)

7980§1.5平面标量场(3D物理问题用2D模型研究）

平面标量场的概念平面静电场电势为调和函数存在解析函数,称为静电场的复势设u为电势,u=c1等势线族v=c2电力线族ABdsEnds切线方向余弦(见后图）电通量N,纵深宽度Wds

法线n方向余弦n81ds

法线n+方向oyxds切线方向ds

法线n-方向n+n--/2左侧右侧82y轴的绝对方位角法线n的绝对方位角83于是这样即，v(x,y)在A和B两点取值之差就是A和B两点之间穿过的电通量，v(x,y)称为通量函数84如果用8512左2右1左右86例1分析由描述的场解：87平面静电场（带电导体平面）无旋流速场u=常数（虚线族）电场线等速度势线v=常数(实线族）等势线流线xy图1-5：这里u代表通量函数！--无限长带电（电荷线密度）导线，构成交叉零电势面（白色虚线）,原点附近场分布相似图1-5的实线族。x=yx=-y88例：准无限长带电（电荷线密度）导线的复势研究oxyA(1,1)B(2,2)dsdsdsnds=dl1

dl2

ndl1dl2899091=-N,原因是教材中N=v(x2,y2)-v(x1,y1)面积分法向用n+,

而实际常用n-。92例：准无限大带电（电荷面密度）平面的复势研究xyz’o’’ABW为面积分区域宽度93=-N,N=v(x2,y2)-v(x1,y1)中面积分法向用n+,这里用n-。94例2.已知平面静电场的电力线为抛物线族求等势线。解：若取v非调和函数！取F(t)

待定9596代入拉氏方程即亦即积分一次再积分一次于是有97引用前节结果，得等势线方程为变换到直角坐标，令即得98带电金属平板的静电场：金属板：等势线；：电力线xy99§1.6多值函数一、定义：对于自变数z的每一个值，有不止一个函数值w与之相对应，w便称为z的多值函数。二、 1.多值性n=2,3,…重复前二值1002.自变数变化时函数关系的变化•处理多值函数时，首先要解决的问题是自变数z与函数w的对应关系，特别是当z连续变化时这种对应关系的可能变化。从出发，绕红线(含z=0!),绕紫线(不含z=0!)，两个单值分支1013.支点对于多值函数w=f(z),如绕某点z0

一周，函数值

w不复原，而当z

不绕

z0点转一圈回到原处时，函数值还原。则称

z0

点为f(z)的分支点。z

绕支点n圈，函数值复原，该支点称为n-1阶支点。z=0是的一阶支点。亦是一阶支点。

因此,为了完全确定多值函数w=f(z)的函数值w与自变数z之间的对应关系,除了要在某一点z规定函数的对应值,还必须说明z的变化路径!

1024.黎曼(Riemann)面单值分支单值分支xyoxyoArg(z)=0Arg(z)=2Arg(z)=2Arg(z)=4平面平面切割线103

104w1:z的幅角0~2,4~6,8~10,…w2:z的幅角2

~