高数同济第六版A2重点知识整理

高数同济第六版A2重点知识整理2、向量的运算3、向量间的关系⑴夹角⑵垂直⑶平行⑴加减法⑵数乘⑶数量积⑷向量积2(二)空间解析几何1、空间直角坐标系（1）点的坐标；（2）两点间距离公式2、曲面球面⑴旋转曲面

锥面⑵柱面缺项的方程3⑶二次曲面椭球面椭圆抛物面（马鞍面）双曲抛物面单叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面43、曲线⑴一般方程⑵参数方程⑶在坐标平面上的投影.设空间曲线C的一般方程为消去

z

得投影柱面则C在xoy面上的投影曲线5空间平面一般式点法式截距式三点式4、空间直线与平面的方程重点是点法式6为直线的方向向量.空间直线一般式对称式或点向式参数式为直线上一点;7面与面的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:5.线面之间的相互关系8直线线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:9平面:垂直：平行：夹角公式：面与线间的关系直线:10二、导数与微分1、偏导数2、高阶偏导数(求法:定义，一元函数求导公式)（求法：逐次求导。混合偏导数连续则相等）3、复合函数求导法则11一、极限与连续1、多元函数：定义域图像——一张曲面3、多元函数的连续性2、二重极限求法1）用多元函数的连续性，连续点求极限即求函数值，多元初等函数求极限即求函数值.2）多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则。夹逼准则，重要极限都可以应用.124、隐函数求导法5、全微分1）用复合函数求导法则两边求导数，例如2）公式法例如确定二元隐函数两边对求导确定二元隐函数13三、应用1、方向导数2、梯度3、空间曲线切向量14若有极值,且时有极大值.时有极小值.5、极值:求驻点.4、空间曲面法向量时,没有极值.156、条件极值拉格朗日乘数法求函数在条件下的极值.构造函数:7、几个基本概念的关系偏导数连续可微分连续极限存在偏导数存在

方向导数存在（解方程组可得条件极值的可疑点）161．二重积分、三重积分的几何意义2．性质线性性质、区域可加性、保号性、估值不等式、中值定理3.

重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性(1)交换积分顺序(2)利用对称性(3)消去被积函数绝对值符号表示曲顶柱体的体积.171).化直角坐标积分形式为极坐标积分形式

X—型区域，先对积分Y—型区域，先对积分3).怎样改换积分次序：先画四线确定积分区域直角坐标系下:极坐标系下:1).怎样确定积分次序2).怎样确定上下限:先积分穿线法、后积分取最值4.二重积分的计算方法：积分次序：上下限的确定：先积分穿线法、后积分取最值一画三确定：画图、确定形式、确定次序、确定限。先

，后θ。2).何时使用极坐标积分

积分区域为圆形、扇形或环形等185.三重积分的计算方法：

一画三确定：画图、确定形式、确定次序、确定限。1)直角坐标系方法1.三次积分法(投影法:先一后二)方法2.截面法(先二后一)2)柱坐标计算最后对取最值对对穿线法，积分次序是:积分区域在坐标面的投影为圆形、扇形、环形（的一部分）何时用柱面坐标计算采用柱面坐标来计算简单限的确定先对最后对再对、193)球坐标计算积分次序是：当积分区域由球面，球面与锥面，球面与球面等围成的区域，而被积函数中含有的因子时,坐标来计算。宜用球面何时用球面坐标计算三重积分：限的确定:穿线法，对取最值对206．应用几何应用：平面图形的面积：空间曲面的面积：或怎样确定？空间立体的体积：211.对坐标的曲线积分特有的性质:2.对坐标的曲面积分特有的性质:

曲面面积3.曲面积分几何意义224.计算方法参数化化成定积分，下限小于上限参数化化成定积分，下限—起点，上限—终点格林公式（平面上）斯托克斯公式(空间)与方向无关

投影法变成二重积分投影变成二重积分,

添加正负号高斯公式检验连续性、封闭性、方向性连续性、封闭性方向性(投影时看方程是否含z，注意dS与dxdy(dydz,dzdx)关系）235.两类曲线积分之间的关系:

246.二元函数的全微分求积7.五个等价命题为某一函数的全微分的充要条件是方法3

凑微分法.方法2

利用求积分.方法1

利用积分与路径无关的条件.怎样求该函数25a、积分的值与路径无关，是单连通区域,、在内有一阶连续偏导数为全微分方程e、c、在内b、对于内任一封闭曲线，d、存在内的可微函数8.两类曲面积分之间的关系:26关于积分的几点说明：1.线面积分计算前可先用Ｌ,Γ,Σ的方程将被积函数化简,而重积分不行!!!因为D,Ω满足的是不等式2.对坐标的线(面)积分计算时可先考虑格林公式(高斯公式)3.遇到L,D(ΣΩ)关于坐标轴(面)对称的积分(对坐标的积分除外!!!),会考虑被积函数的奇偶性将其化简而对坐标的积分不仅要考虑被积函数的奇偶性，还要考虑积分元素的正负(慎用!!!)27一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法或极限形式用它法判别部分和极限283.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz审敛法:若且则交错级数收敛,且余项若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛(2)常用来判断级数敛散性的已知级数等比级数、调和级数、P—级数注:(1)正项级数审敛法可用于判断级数绝对收敛.

29二、求幂级数收敛域的方法•

标准形式幂级数:先求收敛半径R:再讨论•非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.幂指数有间隔用正项级数的比值审敛法或根值审敛法求半径幂指数连续注求幂级数的收敛域步骤：求收敛半径、确定收敛开区间、讨论端点处的敛散性30三、幂级数和函数的求法

等比级数直接求,非等比级数先设和函数，逐项积分或逐项求导，讨论端点处的敛散性，若收敛和函数连续则包括端点四、函数展成幂级数:（间接法）可以直接引用的幂级数展开式

用已知的七个展开式及其收敛域，若有逐项求导或逐项积分要讨论