cch弹性力学平面问题直角坐标解答白

第三章平面问题的直角坐标解答要点——用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。第一页，共92页。§3-1多项式解答§3-2位移分量的求出§3-3简支梁受均布载荷§3-4楔形体受重力和液体压力§3-5级数式解答§3-6简支梁受任意横向载荷主要内容第二页，共92页。§3-1多项式解答适用性：由一些直线边界构成的弹性体。目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y)，能解决什么样的力学问题。——逆解法其中：a、b、c

为待定系数。检验φ(x,y)是否满足双调和方程：显然φ(x,y)满足双调和方程，因此可作为应力函数。〔1〕1.

一次多项式〔2〕第三页，共92页。§3-1多项式解答〔3〕对应的应力分量：假设体力：X=Y=0，那么有：第四页，共92页。结论1：〔1〕〔2〕一次多项式对应于无体力和无应力状态；在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。2.

二次多项式〔1〕其中：a、b、c

为待定系数。检验φ(x,y)是否满足双调和方程，显然有〔2〕(可作为应力函数)第五页，共92页。(假定：X=Y=0;a>0,b>0,c>0)〔3〕由式〔2-26〕计算应力分量：结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。xy2c2c2a2a第六页，共92页。xy试求图示板的应力函数。例：第七页，共92页。3.

三次多项式〔1〕其中:a、b、c

、d为待定系数。检验φ(x,y)是否满足双调和方程，显然有〔2〕(可作为应力函数)(假定：X=Y=0)〔3〕由式〔2-26〕计算应力分量：结论3：三次多项式对应于线性应力分布。第八页，共92页。讨论：可算得：图示梁对应的边界条件：可见：——对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。xy1llMM第九页，共92页。常数d与弯矩M的关系：(1)由梁端部的边界条件：(2)可见：此结果与材力中结果一样，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。第十页，共92页。说明：(1)组成梁端力偶M的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是准确的。(2)假设按其它形式分布，如：那么此结果不准确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。(3)当l

远大于h时，误差较小；反之误差较大。第十一页，共92页。4.

四次多项式〔1〕检验φ(x,y)是否满足双调和方程〔2〕代入：得第十二页，共92页。可见，对于函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：〔3〕应力分量：——应力分量为x、y的二次函数。〔4〕特例：〔须满足：a+e=0〕第十三页，共92页。总结：（多项式应力函数的性质）〔1〕多项式次数n<4时，那么系数可以任意选取，总可满足。多项式次数n≥4时，那么系数须满足一定条件，才能满足。多项式次数n越高，那么系数间需满足的条件越多。〔2〕一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。第十四页，共92页。总结：（多项式应力函数的性质）二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。〔3〕〔4〕用多项式构造应力函数φ(x,y)的方法——逆解法〔只能解决简单直线应力边界问题〕。按应力求解平面问题，其基本未知量为：，本节说明如何由求出形变分量、位移分量？问题：第十五页，共92页。§3-2位移分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由求出形变分量、位移分量？xyl1hMM1.

形变分量与位移分量由前节可知，其应力分量为：平面应力情况下的物理方程：〔1〕形变分量(a)将式〔a〕代入得：(b)〔2〕位移分量将式〔b〕代入几何方程得：(c)第十六页，共92页。（2）位移分量(c)将式〔c〕前两式积分，得：(d)将式(d)代入(c)中第三式，得：式中：为待定函数。整理得：〔仅为x的函数〕〔仅为y的函数〕要使上式成立，须有(e)式中：ω为常数。积分上式，得将上式代入式〔d〕，得(f)第十七页，共92页。〔1〕(f)讨论：式中：u0、v0、ω

由位移边界条件确定。当x=x0=常数（2）位移分量xyl1hMM——u关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。说明：同一截面上的各铅垂线段转角一样。横截面保持平面——材力中“平面保持平面〞的假设成立。第十八页，共92页。〔2〕将下式中的第二式对x

求二阶导数：说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率一样。即——材料力学中挠曲线微分方程第十九页，共92页。2.

位移边界条件的利用〔1〕两端简支(f)其边界条件：将其代入(f)式，有将其代回(f)式，有(3-3)梁的挠曲线方程：——与材力中结果一样第二十页，共92页。〔2〕悬臂梁(f)边界条件h/2h/2由式〔f〕可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：〔中点不动〕〔轴线在端部不转动〕代入式〔f〕，有可求得：第二十一页，共92页。(3-4)h/2h/2挠曲线方程：与材料力学中结果一样说明：〔1〕求位移的过程：〔a〕将应力分量代入物理方程〔b〕再将应变分量代入几何方程〔c〕再利用位移边界条件，确定常数。第二十二页，共92页。〔2〕假设为平面应变问题，那么将材料常数E、μ作相应交换。〔3〕假设取固定端边界条件为：h/2h/2〔中点不动〕（中点处竖向线段转角为零）得到：求得：此结果与前面情形一样。〔为什么？〕第二十三页，共92页。（2）然后将代入式（2-26）求出应力分量：（1）先由方程（2-27）求出应力函数：(2-26)〔3〕再让满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。(2-27)按应力求解平面问题的根本步骤：第二十四页，共92页。按应力求解平面问题的方法：逆解法〔1〕根据问题的条件〔几何形状、受力特点、边界条件等〕，假设各种满足相容方程〔2-27〕的φ(x,y)的形式；〔2〕然后利用应力分量计算式（2-26），求出（具有待定系数）；〔3〕再利用应力边界条件式〔2-18〕，来考察这些应力函数φ(x,y)对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y)可以求解什么问题。第二十五页，共92页。〔1〕根据问题的条件〔几何形状、受力特点、边界条件等〕，假设部分应力分量的某种函数形式；〔2〕根据与应力函数φ(x,y)的关系及，求出φ(x,y)的形式；〔3〕最后利用式（2-26）计算出并让其满足边界条件和位移单值条件。——半逆解法的数学根底：数理方程中别离变量法。半逆解法位移分量求解：〔1〕将已求得的应力分量〔2〕〔3〕代入物理方程，求得应变分量将应变分量代入几何方程，并积分求得位移分量表达式；由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。第二十六页，共92页。§3-3简支梁受均布载荷要点——用半逆解法求解梁、长板类平面问题。xyllqlql1yzh/2h/2q1.应力函数确实定(1)分析：——主要由弯矩引起；——主要由剪力引起；——由q引起〔挤压应力〕。又∵q

=常数，图示坐标系和几何对称，∴不随x

变化。推得：(2)由应力分量表达式确定应力函数的形式：积分得：(a)(b)——任意的待定函数第二十七页，共92页。xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)——任意的待定函数(3)由确定：代入相容方程：第二十八页，共92页。xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特点：关于x的二次方程，且要求－l≤x≤l内方程均成立。由“高等代数〞理论，须有x的一、二次的系数、自由项同时为零。即：对前两个方程积分：(c)此处略去了f1(y)中的常数项对第三个方程得：积分得：(d)第二十九页，共92页。(c)(d)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)将(c)(d)代入(b)，有(e)此处略去了f2(y)中的一次项和常数项式中含有9个待定常数。第三十页，共92页。(e)2.应力分量确实定(f)(g)(h)3.

对称条件与边界条件的应用第三十一页，共92页。(f)(g)(h)3.

对称条件与边界条件的应用〔1〕对称条件的应用：xyllqlql1yzh/2h/2q由

q对称、几何对称：——

x的偶函数——

x的奇函数由此得：要使上式对任意的y

成立，须有：第三十二页，共92页。xyllqlql1yzh/2h/2q〔2〕边界条件的应用：(a)上下边界〔主要边界〕：由此解得：代入应力公式第三十三页，共92页。xyllqlql1yzh/2h/2q(i)(j)(k)(b)左右边界〔次要边界〕：〔由于对称，只考虑右边界即可。〕——难以满足，需借助于圣维南原理。静力等效条件：轴力N=0；弯矩M=0；剪力Q=－ql；第三十四页，共92页。(i)(j)(k)可见，这一条件自动满足。第三十五页，共92页。xyllqlql1yzh/2h/2q(p)截面上的应力分布：三次抛物线4.与材料力学结果比较第三十六页，共92页。材力中几个参数：截面宽：b=1,截面惯矩：静矩：弯矩：剪力：将其代入式(p)，有〔3-6〕xyllqlql1yzh/2h/2q4.与材料力学结果比较第三十七页，共92页。xyllqlql1yzh/2h/2q比较，得：〔1〕第一项与材力结果一样，为主要项。第二项为修正项。当

h/l<<1，该项误差很小，可略；当h/l较大时，须修正。〔2〕为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。〔3〕与材力中一样。注意：按式〔3-6〕，梁的左右边界存在程度面力：说明式〔3-6〕在两端不适用。xyllqlql1yzh/2h/2q（3-6）第三十八页，共92页。解题步骤小结：（1）根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计（）的变化形式。（2）由与应力函数的关系式（2-26），求得应力函数的具体形式（具有待定函数）。用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的根本步骤：第三十九页，共92页。解题步骤小结：（3）将具有待定函数的应力函数代入相容方程：确定中的待定函数形式。（4）由与应力函数的关系式（2-26），求得应力分量。（5）由边界条件确定中的待定常数。用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的根本步骤：第四十页，共92页。应力函数法求解平面问题的根本步骤：（1）(2-27)（2）然后将代入式（2-26）求出应力分量：先由方程（2-27）求出应力函数：(2-26)（3）再让满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。求解方法：逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（2-27）的φ(x,y)的形式；（2）然后利用应力分量计算式（2-26），求出（具有待定系数）；（3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数φ(x,y)对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y)可以求解什么问题。第四十一页，共92页。——半逆解法的数学根底：数理方程中别离变量法。（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量的某种函数形式；（2）根据与应力函数φ(x,y)的关系及，求出φ(x,y)的形式；（3）最后利用式（2-26）计算出并让其满足边界条件和位移单值条件。半逆解法位移分量求解：（1）将已求得的应力分量（2）（3）代入物理方程，求得应变分量将应变分量代入几何方程，并积分求得位移分量表达式；由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。第四十二页，共92页。1.应力函数确实定(1)分析：——主要由弯矩引起；——主要由剪力引起；——由q

引起（挤压应力）。又∵q

=常数，图示坐标系和几何对称，∴不随x

变化。推得：(2)由应力分量表达式确定应力函数的形式：积分得：(a)(b)——任意的待定函数简支梁受均布载荷xyllqlql1yzh/2h/2q第四十三页，共92页。(e)xyllqlql1yzh/2h/2q第四十四页，共92页。2.应力分量确实定(f)(g)(h)3.

由边界条件确定待定常数xyllqlql1yzh/2h/2q第四十五页，共92页。附：应力函数确定的“材料力学方法〞要点：利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数形式。适用性：直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。应力函数常可表示为：设法由边界面力先确定其中之一，然后将其代入确定另外一个函数。材力中，应力分量与梁内力的关系为：式中：M(x)——弯矩方程；Q(x)——剪力方程。第四十六页，共92页。当有横向分布力q(x)作用时，纵向纤维间存在挤压应力，同时，横向分布力q(x)的挤压作用时，对轴向应力也产生影响。应力分量与梁内力的关系可表示为：考虑挤压应力影响导致然后由：确定应力函数的具体形式。第四十七页，共92页。例：悬臂梁，厚度为单位1，τ=常数。求：应力函数

及梁内应力。解：(1)应力函数确实定xyOblxQM取任意截面，其内力如图：取作为分析对象，可假设：〔a〕——f(y)为待定函数由与应力函数的关系，有：〔b〕对x积分一次，有：对y再积分一次，有：其中：〔c〕第四十八页，共92页。〔c〕由确定待定函数：〔d〕要使上式对任意的x，y成立，有〔e〕〔f〕由式〔e〕求得〔g〕由式〔f〕得〔h〕〔i〕积分式〔h〕和〔i〕得〔j〕〔k〕xyOblxQM第四十九页，共92页。(l)包含9个待定常数，由边界条件确定。(2)应力分量确实定(m)(3)利用边界条件确定常数xyOblxQM第五十页，共92页。(3)利用边界条件确定常数(o)代入可确定常数为：代入式〔m〕得xyOblxQM第五十一页，共92页。注：也可利用M〔x〕=0，考虑进展分析。此时有：为待定函数，由相容方程确定。xyOblxQM第五十二页，共92页。llqlql1yzh/2h/2q剪力：可假设剪应力：第五十三页，共92页。§3-4楔形体受重力和液体压力要点——半逆解法〔因次或量纲分析法〕xyO问题的提法：楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：（水的容重）；自重作用：（楔形体的容重）；求：楔形体应力分布规律。1.

应力函数及应力分量(1)分析：(a)∵的量纲为：∴的形式应为：的线性组合。

的量纲为：(b)由推理得：应为x、y的三次函数。应力函数可假设为：第五十四页，共92页。xyO(2)应力分量考虑到：X=0，Y=（常体力）(a)显然，上述应力函数满足相容方程。2.

边界条件的利用(1)x=0〔应力边界〕：代入式〔a〕，那么应力分量为：第五十五页，共92页。xyON(b)(2)

（应力边界）：其中：将(b)代入，有代入，可求得：第五十六页，共92页。xyO(b)代入式〔b〕，有：(3-7)——李维〔Levy〕解答沿程度方向的应力分布与材力结果比较：——沿程度方向不变，在材力中无法求得。——沿程度方向线性分布，与材力中偏心受压公式算得结果一样。——沿程度方向线性分布，材力中为抛物线分布。第五十七页，共92页。(3-7)——李维（Levy）解答xyO沿水平方向的应力分布结果的适用性：〔1〕当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，其结果误差较大。〔2〕假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际坝高有限，底部与根底相连，有地基约束，故底部处结果误差较大。〔3〕实际坝顶非尖顶，坝顶处有其它载荷，故坝顶处结果误差较大。——三角形重力坝的准确分析，常借助于有限元数值方法求解。工程应用：——求使坝稳定时的角度，称为安息角。第五十八页，共92页。因次分析法（量纲分析法）：xyO楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：（水的溶重）；自重作用：（楔形体的溶重）；求：楔形体应力分布规律。分析思路：(a)∵的量纲为：∴的形式应为：的线性组合。

的量纲为：(b)由推理得：应为x、y的三次函数。应力函数可假设为：第五十九页，共92页。平面问题的直角坐标解答一、多项式解答——逆解法二、梁、长板类弹性体应力函数方法应力分量与梁内力的关系可表示为：考虑挤压应力影响导致然后由：确定应力函数的具体形式。第六十页，共92页。三、三角形板、楔形体的求解方法因次分析法（量纲分析法）：xyO楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：（水的溶重）；自重作用：（楔形体的溶重）；分析思路：(a)∵的量纲为：∴的形式应为：的线性组合。

的量纲为：(b)由推理得：应为x、y的三次函数。应力函数可假设为：第六十一页，共92页。例：图示矩形板，长为

l

，高为

h，体力不计，试证以下函数是应力函数，并指出能解决什么问题。式中k、q为常数。xyOlh解：(1)应力分量：边界条件：显然，上下边界无面力作用。上下边界(2)第六十二页，共92页。xyOlh左边界k右边界kkl结论：可解决悬臂梁左端受集中力问题。第六十三页，共92页。例：图示矩形截面简支梁，长为l

，高为h

，受有三角形分布载荷作用，体力不计。试求其应力分布。解：〔1〕应力函数形式确实定梁截面上弯矩和剪力为：由材料力学方法可确定应力分量的别离变量形式：取应力分量分析，取应力分量与应力函数的关系：对此式积分：第六十四页，共92页。对此式积分：——为待定函数〔2〕由相容方程确定待定函数代入第六十五页，共92页。要使上述方程对任意的x成立，有(a)(b)(c)积分式〔a〕，得将上式代入〔b〕积分，得积分式〔c〕，得(d)(e)(f)将求得的代入应力函数，有第六十六页，共92页。〔3〕计算应力分量(g)(h)第六十七页，共92页。〔3〕利用边界条件确定待定常数上边界：(i)(j)(k)第六十八页，共92页。下边界：(l)(m)(n)第六十九页，共92页。左边界：左边界：(o)(p)(q)(r)(s)(t)联立求解式〔i〕~〔t〕,可得详细的应力分量。注：位移边界条件转化为应力边界条件。第七十页，共92页。〔1〕〔2〕试按材料力学中确定应力的方法，写出图示两梁所有应力分量形式。〔含有待定函数〕课堂练习：第七十一页，共92页。§3-5级数式解答问题的提出多项式解答：只能求解载荷简单，且连续分布的问题。不能求解载荷复杂，且连续分布的问题。级数式解答：其基本思路是将应力函数分解成关于x．y的两个单变量函数的乘积。——分离变量法。〔属逆解法〕1.

级数形式的应力函数假设：(a)式中：为任意常数，其量纲为,为y的任意（待定）函数。将其代入：载荷复杂，且连续分布的问题，可由级数式解答解决。第七十二页，共92页。有：(b)解上述方程，得其中：A、B、C、D都是任意常数，将其代入应力函数，得(c)再取如下应力函数：式中：也为任意常数,为y的任意（待定）函数。类似于上面的运算，可得应力函数的另一解：第七十三页，共92页。(d)显然，将式(c)与(d)相加，仍为可作为应力函数：(e)取和的一系列值，即取：将由此构成的加起来，有(3-8)显然，式(3-8)满足相容方程，可作为应力函数。且在其上再加假设干个满足相容方程的应力函数，仍可作为应力函数。第七十四页，共92页。2.

级数形式的应力分量将上述应力函数代入应力分量表达式（2-26），有(3-9)式〔3-9〕满足相容方程、平衡方程，只要适中选取：使其满足边界条件，即为某问题的解。第七十五页，共92页。§3-6简支梁受任意横向载荷边界条件1.

边界条件的级数表示上下边界：左右边界：〔a〕〔b〕〔c〕〔d〕由边界条件〔c〕，得第七十六页，共92页。此时应力分量式〔3-9〕简化为〔3-10〕第七十七页，共92页。将此应力分量式〔3-10〕代入边界条件〔b〕，有〔e〕〔f〕（b）〔i〕〔j〕第七十八页，共92页。〔g〕（a）〔h〕将此应力分量式〔3-10〕代入边界条件〔a〕，有将在区间（0，l）上展为和等式左边相同的级数，即的级数，由Fourier级数的展开法则，有〔3-11〕第七十九页，共92页。比较式〔3-11〕与式〔g〕和〔h〕两边的系数，有〔k〕〔l〕

由式

(i)、(j)、(k)、(l)可求得全部和系数：，代入式（3-10）求得应力分量。说明：〔1〕边界条件〔d〕在求解中没有用到，但可以证明是自动满足的。〔2〕级数求解计算工作量很大，通常由有关计算软件求解，如：MathCAD、Matlab、Mathematica等。〔3〕结果在梁的端部误差较大；另外，当梁的跨度与高度相当时结果误差也较大。第八十页，共92页。?弹性力学平面问题的根本理论?小结一、两类平面问题及其特征名称平面应力问题平面应变问题未知量已知量未知量已知量位移应变应力外力几何形状体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不变化。体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿z

向不变化。z方向的尺寸远小于板面内的尺寸〔等厚度薄平板〕z方向的尺寸远大于xoy平面内的尺寸〔等截面长柱体〕第八十一页，共92页。二、平面问题的根本方程〔1〕平衡微分方程〔2-2〕〔假定：小变形、连续性、均匀性〕〔2〕几何方程〔2-9〕〔假定：小变形、连续性、均匀性〕〔3〕物理方程(2-15)〔平面应力〕(2-16)〔平面应变〕〔假定：小变形、连续性、均匀性、线弹性、各向同性