第五章矩阵分析

第五章矩阵分析★向量与矩阵的范数

★向量与矩阵序列的收敛性★矩阵的导数★矩阵的微分与积分体的集合，定义1：设是数域上维（数组）向量全是定义在上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：第一节向量与矩阵的范数1）非负性对中任何向量恒有

并且仅当时，才有

2）齐次性对中任意的量及中任意常数

有

（有时表示为）

为一种向量范数。则称此函数3）三角不等式，对任意有上的例1：对中向量定义则为上的一种向量范数[表示复数的模]例2：对[或]上向量定义则及都是[或]上的向量范数。证明：

1）当时，显然有

2）对向量3）对向量

一般地，对于任何不小于1的正数向量的函数也构成向量范数，称为向量的P-范数。综上可知确为向量范数。上两例中的是常用的三种向量范数。

定义2：设是数域F上所有矩阵的集合，是定义在上的一个实值函数，关系还满足如下条件：对中任意矩阵及中任意常数总有定理1：设为任意两种向量范数，正的常数使得对一切向量恒有例3：设为维向量，则

则存在（这里不限于P-范数）

如果该函数1）非负性并且仅当时，才有

2）齐次性3）三角不等式则称是上的一种矩阵范数。对（或）上的矩阵定义则都是（或）上的矩阵范数。例4：对上的矩阵定义则是一种矩阵范数，并且具备乘法相容性。定义3：是数域，是上的方阵范数，如果对任意的总有则说方阵范数具有乘法相容性。设

证明：非负性与齐次性显然成立，另两条证明三角不等式如下：则称矩阵范数与向量范数是相容的。定义4：如果阶矩阵的范数与维向量的范数对任意阶矩阵及任意维向量均有乘法相容性证得为矩阵范数且具有乘法相容性。

则为方阵范数，它具有乘法相容性并且与相容。定理2：设是某种向量范数，对阶矩阵定义向量范数例如对于上的方阵范数取则易见而可见方阵范数不具备乘法相容性。是常用的矩阵范数，例5：证明：对阶复矩阵

有1）（列模和）2）（行模和）例6：证明对阶复矩阵

有这里是的奇异值。又称为谱范数。定理3：设是任意两种矩阵范数，则有正实数使对一切矩阵恒有

第二节向量与矩阵序列的收敛性定义5：设有向量序列如果对数列均收敛且有

则说向量序列收敛，如记

则称为向量序列的极限，记为

或简记为

如果向量序列不收敛，则称为发散。定理4：对向量序列

的充分必要条其中是任意一种向量范数。件是成立，证明:1）先对向量范数证明定理有

2）由向量范数等价性，对任一种向量范数

有正实数

使

令取极限即知定义6：设有矩阵序列如果对均有矩阵序列收敛，如令称为的极限。记为或

任何则说矩阵序列不收敛时称为发散。矩阵序列极限的性质1、若

为数列且

则

特别当为常数时，2、若

则

3、若

则

4、若

且诸及均可逆，则收敛，并且定理5：对于矩阵序列

一种矩阵范数有

对任何

第三节矩阵的导数本节讨论三种导数：

★矩阵对变量的导数

★函数对矩阵的导数

★矩阵对矩阵的导数一、函数矩阵对变量的导数如果矩阵中诸元素都是某实变量的函数，则称这种矩阵为函数矩阵。它的一般形式是其中都是实的函数。变量定义7：设函数矩阵

如果对一切正均有整数则说当时函数矩阵有极限,叫做的极限,记为定义8:对于函数矩阵

如果所有元素在某点处[或在某区间则称在处[或在某区间上]可导。上]均可导，导数[或导函数]记为

简记为并规定其中表示对的一阶导数。矩阵对变量的导数运算具有如下一些性质：1、若函数矩阵都可导，则它们的和亦并且可导，2、若可导，k为常数，则可导且3、若可导，则可导，并且4、若可导，是的可导函数，则可导，且5、若可导且二者可乘，则亦可导，且推论：若可导，为数字矩阵，则6、若为可逆的可导函数矩阵，则亦可导，且例1：设为阶可导函数矩阵，求的一、二阶导数。解：例2：设均为其中的可导函数，为阶实对称矩阵，求二次型对的导数。解：又为数字矩阵，又为的函数，而有所以二、函数对矩阵的导数定义9：设为多元实变量矩阵，是以变量的多元函数，并且偏导数都存在，则定义函数对矩阵的导数为中诸元素为特别，当为向量时，函数对之导数为例3：设

求

解：对矩阵三、矩阵对矩阵的导数定义10：设矩阵中每一个元素都是矩阵中各元素的函数，当对中各元素都可导时，则称矩阵可导，且规定对的导数为其中是一个矩阵。例4：设求

解：则这里元素是1，其余元素都是0的矩阵。例5：设

其中

如果都存在，对可导且第四节矩阵的微分与积分定义11:当函数矩阵可导时,其微分性质:,,(为常数),(可微)定义12:如果函数矩阵中各元素均对可积,则称可积,且的不定积分和定积分分别为:性质: