第四章 扭转 - 天津理工大学

第三章扭转§3-1扭转的概念和实例§3-2外力偶矩的计算扭矩与扭矩图§3-3纯剪切§3-4圆轴扭转时的应力§3-5圆轴扭转变形§3-6圆轴扭转强度条件及刚度条件的应用§3-1扭转的概念和实例一、工程实例1．传动轴数控机床中铣刀

钻床中的钻杆2．钻杆扭转实验机铸铁的扭转破坏

低碳钢的扭转破坏

1．受力特点：外力偶矩的作用平面与杆件的横截面平行MeMe二、圆轴扭转的受力与变形特点

g2．变形特点1)纵向线转过g角，g为切应变(剪切角)；2)相邻横截面绕轴线发生相对转动，l长之间两横截面相对转动角度j称为l长内的相对扭转角。ABA'B'jgTT一、功率、转速与外力偶矩的关系转速：n(r/min)输入功率：P(kW)1分钟输入功：1分钟Me作功：在计算带轮传动轴时，作用在轴上的外力偶矩就是带拉力对轴的力偶矩，但通常给出的是轴所传递的功率、和轴的转速，而不是带的拉力，所以需要将功率、转速换算为力偶矩。M：N.m§3-2外力偶矩的计算扭矩与扭矩图

1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。

2截面法求扭矩mTx3扭矩的符号规定：

“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。mm二、扭矩与扭矩图

4扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xT已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。ABCDm2

m3

m1

m4解：①计算外力偶矩例3-1ABCDm2

m3

m1

m4112233②求图示截面上的扭矩③绘制扭矩图BC段为危险截面。xT4.78kN.m9.56kN.m6.37kN.m––ABCDm2

m3

m1

m4

口决：无力偶段平行线,顺着矩矢上下跳,升多少？降多少？集中力偶作参考。无力偶段平行线在AB、BC、CD轴段上没有力偶作用所以轴力图为水平线，参见轴力图。顺着矩矢上下跳,升多少？降多少？集中力偶作参考：轮A上作用有集中力偶m2=4.78kN.m，转向为从上往下转，因此顺着矩矢向下跳4.78kN.m；Tx4.78kN.m9.56kN.m6.37kN.m––ABCDm2

m3

m1

m4二、扭矩图的快速画法

到轮C时m1=15.9kN.m，转向也为从下往上转，因此顺着矩矢以-9.56kN.m为起点向上跳15.9kN.m得到6.37kN.m,之后走水平到达轮D；轮D为最后一个轮，此时图形回零到轮B时m3=4.78kN.m，转向也为从上往下转，因此顺着矩矢再以4.78kN.m为起点向下跳4.78kN.m得到9.56kN.m；xT4.78kN.m9.56kN.m6.37kN.m––ABCDm2

m3

m1

m4总结对于圆轴扭转问题，作扭矩图时，只需求出各轮上的外力偶矩，再根据口诀即可准确快速地画出扭矩图。一、薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力

薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）实验：实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。§3-3纯剪切实验后：①圆周线不变,只是绕轴线作了相对转动。②纵向线变成斜直线。圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，各纵向线均倾斜了同一微小角度

。

3.结论：①无正应力②无径向应力所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。③横截面上有切应力同一圆周上各点的切应力相等4横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力

，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。薄壁圆筒切应力

大小：

A0：平均半径所作圆的面积。上式称为切应力互等定理。

该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxbdy´´tz二、切应力互等定理

单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。´´

剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，切应力与切应变成正比关系。三、剪切虎克定律：

式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。

剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：

可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。

一、横截面上的应力及横截面的变形1.圆轴扭转的刚性平面假设变形前圆轴的横截面，在变形后仍保持为同样大小的圆形平面，半径仍为直线，相邻两截面的间距不变。§3-4圆轴扭转时的应力ABA'B'jg1TTRdxO2djg112djO2g12．公式推导：

1)几何关系

1212djO2g1rgrO2djABC单位长度——

扭转角扭转的虚拟仿真OT——剪切胡克定律切应力大小与点到圆心距离成正比t1t1纵向切应力：2)物理关系：OTORrdA其中：——横截面对圆心的极惯性矩4)应力公式

横截面上的任意点：T

——横截面上的扭矩r

——点到圆心的距离横截面上的边缘点：——抗扭截面系数3)力学关系TOtmaxtmaxTOtmaxtmax横截面上的切应力画法：极惯性矩：实心圆截面圆环截面抗扭截面系数：实心圆截面圆环截面dOOODddAdrra=d/D圆形截面的极惯性矩

§3-5圆轴扭转变形单位长度扭转角：相对扭转角：GIp——杆的抗扭刚度反映杆件抵抗扭转变形的能力2)应力与变形公式的适用范围等直圆轴：实心及空心圆轴、分段阶梯圆轴、小锥度的圆锥轴；线弹性范围：切应力小于比例极限tp。1)变形公式

3-2图示一传动轴，主动轮I传递力偶矩1kN.m，从动轮Ⅱ传递力偶矩0.4kN.m，从动轮Ⅲ传递力偶矩0.6kN.m。已知轴的直径d=40mm，各轮间距l=500mm。材料的剪切弹性模量G=80GPa。要求1.合理布置各轮的位置；2.求出轴在合理位置时的最大切应力和最大扭转角。解：（1）各轮比较合理的位置是：轮Ⅰ位于中间。在这种情况下轴的最大扭矩为0.6kN.m。（2）轮在合理位置时的最大剪应力：（3）轮在合理位置时的最大扭转角§3-6圆轴扭转时的强度和刚度条件一、传动轴的强度和刚度条件1．强度条件：2．刚度条件：[t]——许用切应力[q]——许用单位扭转角解：1)空心轴例3-4汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩T=1.98kN·m，[t]=100MPa，G=80GPa，[q]=2o/m，校核轴的强度与刚度，若采用强度相同的实心轴，试比较两者使用的材料。计算截面参数：由强度条件：由刚度条件：2)采用实心轴时的直径(tmax=97.5MPa)3)空心轴与实心轴的材料比：取相同长度，只需比较横截面面积对于相同强度的受扭构件，空心轴较实心轴大大节省材料；选：d=50mm2)设计轴直径由刚度条件：由强度条件：图示某皮带轮传动轴，已知：P=14kW，n=300r/min，[t]=40MPa，[q]=0.01rad/m，G=80GPa。试根据强度和刚度条件计算两种截面的直径：1.实心圆截面的直径d；2.空心圆截面的内径d1和外径d2（d1/d2=3/4）。50cm解：（1）计算扭矩计算外力偶矩轴引起的扭矩为（2）校核强度例3-5对于实心圆轴对于空心圆轴（3）校核刚度对于实心圆轴对于空心圆轴

3-6图示阶梯形圆轴的AC段和CB段的直径分别为d1=40mm、d2=70mm，轴上装有三个皮带轮。已知由轮B输入的功率为PB=30kW，轮A输出的功率为PA=13kW，轴作匀速转动，转速n=200r/min，材料的许用切应力[t]=60MPa，切变模量G=80GPa，许用单位长度扭转角[q]=2°/m。试校核该轴的强度和刚度。解（1）外力偶矩的计算(2)强度校核AC段和DB段均危险620.75N.m1432.5N.m强度合格（3）刚度校核刚度合格小结一、本章重点扭矩求解，扭矩图作法，外力偶矩的求解；受扭等直圆轴横截面上的应力、横截面的变形计算；传动轴的强度和刚度计算。小结二、思考题试总结扭转构件横截面及纵截面上的切应力特点；试述符号GIp的名称及含义，并与EA相比较；试述符号Ip、Wp的名称以及圆形截