第一节微分方程

第二章自动控制系统的数学模型1/13/20231本章的主要内容控制系统的微分方程的编写

控制系统的传递函数控制系统的结构图-等效变换自动控制系统的传递函数控制系统的信号流图-梅逊公式脉冲响应函数1/13/20232第一节控制系统微分方程的编写1/13/20233

2.根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理列写微分方程。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。控制系统的微分方程一、线性元件的微分方程列写微分方程的一般步骤为：

1.确定元件的输入量输出量，根据需要引进中间变量。

3.消去中间变量得到元件的数学模型。1/13/20234控制系统的微分方程由②：，代入①得：这是一个线性定常二阶微分方程。①②[解]：据基尔霍夫电路定理：输入输出LRCi[例2-1]：写出RLC串联电路的微分方程。1/13/20235[例2-2]求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。F图2图1mfmF根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：控制系统的微分方程[解]：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。1/13/20236[例2-4]电枢控制式直流电动机输入:电枢电压ua、等效到电机转轴上的负载转矩Mc，输出是转速w

电枢回路方程为

其中ea

为反电势此时激磁电流为常数，所以Ce称为电动机电势常数

Cm称为电动机转矩常数，再根据牛顿定律可得机械转动方程电机通电后产生转矩控制系统的微分方程1/13/20237其中和分别称为电磁时间常数和机电时间常数整理得分别是转速与电压传递系数和转速与负载和传递系数。这里已略去摩擦力和扭转弹性力。控制系统的微分方程1/13/20238二、微分方程的增量化表示平衡状态下的静态数学模型：控制特性—Mc为常数机械特性—ua为常数在某个平衡点附近，每个变量都会有所变动：1/13/20239平衡点的变量满足：当状态有所变动时，各变量同时满足化简即可得其增量形式方程：1/13/202310可线性化的条件：非线性化程度不高，对应函数可以做泰勒级数展开；变量只能在平衡点附件变动；平衡点选取不同，线性化结果不同；严重非线性系统不能做线性化处理。非线性环节微分方程的线性化三、非线性微分方程的线性化1/13/202311⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的方程。⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。线性系统微分方程的编写步骤四.线性系统微分方程的编写在列写过程中，为使信号传送更加明确，往往还要画出相应的方块图。1/13/202312[例2-5]编写如图所示的转速控制系统的微分方程[解]：⑴该系统的组成和原理（见第一章）；线性系统微分方程的编写例子[例2-6]负载-+-

+功率放大器测速发电机⑵该系统的输出量是，输入量是，扰动量是1/13/202313线性系统微分方程的编写例子[例2-6]⑸消去中间变量：推出之间的关系：显然，转速既与输入量有关，也与干扰有关。⑷各环节微分方程：运放Ⅰ：，运放Ⅱ：功率放大：，反馈环节：电动机环节：见例2-4测速-运放Ⅰ运放Ⅱ功放电动机⑶速度控制系统方块图：1/13/202314线性系统微分方程的编写例子[例2-6]⑴对于恒值调速系统，=常量，则。转速的变化仅由负载干扰引起。增量表达式如下：⑵对于随动系统，则=常数，，故：根据上式可以讨论输出转速跟随给定输入电压的变化情况。⑶若和都是变化的，则对于线性系统应用叠加原理分别讨论两种输入作用引起的转速变化，然后相加。[增量式分析](上式等号两端取增量)：1/13/202315①定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域t>0，那么下式即是拉氏变换式：

,式中s为复数。记作一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是：⑴t<0时，f(t)=0；⑵t≥0时，f(t)分段连续；⑶。F(s)—象函数，f(t)—原函数。记为反拉氏变换。复习拉氏变换四、复习拉氏变换

1/13/202316⑴线性性质：⑵微分定理：⑶积分定理：（设初值为零）⑷时滞定理：⑸初值定理：复习拉氏变换②性质：1/13/202317⑹终值定理：⑺卷积定理：③常用函数的拉氏变换：单位阶跃函数：单位脉冲函数：单位斜坡函