《等差数列的前n项和》同步练习 市赛一等奖

《等差数列的前n项和》同步练习课时目标1．掌握等差数列前n项和公式及其性质．2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn之间的关系．1．把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做Sn.例如a1＋a2＋…＋a16可以记作S16；a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1(n≥2)．2．若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝eq\f(na1＋an,2)；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d.3．等差数列前n项和的性质(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq\f(d,2).(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).一、选择题1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A．13B．35C．49D．63答案C解析S7＝eq\f(7a1＋a7,2)＝eq\f(7a2＋a6,2)＝49.2．等差数列{an}中，S10＝4S5，则eq\f(a1,d)等于()\f(1,2)B．2\f(1,4)D．4答案A解析由题意得：10a1＋eq\f(1,2)×10×9d＝4(5a1＋eq\f(1,2)×5×4d)，∴10a1＋45d＝20a1＋40∴10a1＝5d，∴eq\f(a1,d)＝eq\f(1,2).3．已知等差数列{an}中，aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,8)＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为()A．－9B．－11C答案D解析由aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,8)＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9，∵an<0，∴a3＋a8＝－3，∴S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝eq\f(10a3＋a8,2)＝eq\f(10×－3,2)＝－15.4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36答案B解析数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A．765B．665C．763答案B解析∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋eq\f(1,2)×14×13×7＝665.6．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是()A．3B．－3C．－2答案B解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a3＋…＋a2n－1＝na1＋\f(nn－1,2)×2d＝90，,a2＋a4＋…＋a2n＝na2＋\f(nn－1,2)×2d＝72，))得nd＝－18.又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.二、填空题7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.答案15解析设等差数列的公差为d，则S3＝3a1＋eq\f(3×2,2)d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，S6＝6a1＋eq\f(6×5,2)d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝1，,2a1＋5d＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,d＝2.))故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.8．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(7n＋2,n＋3)，则eq\f(a5,b5)的值是________．答案eq\f(65,12)解析eq\f(a5,b5)＝eq\f(9a1＋a9,9b1＋b9)＝eq\f(S9,T9)＝eq\f(65,12).9．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为________．答案10解析S奇＝eq\f(n＋1a1＋a2n＋1,2)＝165，S偶＝eq\f(na2＋a2n,2)＝150.∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴eq\f(n＋1,n)＝eq\f(165,150)＝eq\f(11,10)，∴n＝10.10．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S答案210解析方法一在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S∴30,70，S3m∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3方法二在等差数列中，eq\f(Sm,m)，eq\f(S2m,2m)，eq\f(S3m,3m)成等差数列，∴eq\f(2S2m,2m)＝eq\f(Sm,m)＋eq\f(S3m,3m).即S3m＝3(S2m－S三、解答题11．在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝a1＋n－1d，,Sn＝na1＋\f(nn－1,2)d，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2n－1＝11，,na1＋\f(nn－1,2)×2＝35，))解方程组得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝5,a1＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝7，,a1＝－1.))12．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前n项和，求Tn.解设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d，∵S7＝7，S15＝75，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a1＋21d＝7,15a1＋105d＝75))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝1,a1＋7d＝5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－2,d＝1))，∴eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(1,2)(n－1)d＝－2＋eq\f(1,2)(n－1)，∵eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(1,2)，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差数列，其首项为－2，公差为eq\f(1,2)，∴Tn＝n×(－2)＋eq\f(nn－1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)n2－eq\f(9,4)n.能力提升13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A．9B．10C答案B解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．14．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且eq\f(An,Bn)＝eq\f(7n＋45,n＋3)，则使得eq\f(an,bn)为整数的正整数n的个数是()A．2B．3C答案D解析eq\f(an,bn)＝eq\f(A2n－1,B2n－1)＝eq\f(14n＋38,2n＋2)＝eq\f(7n＋19,n＋1)＝eq\f(7n＋1＋12,n＋1)＝7＋eq\f(12,n＋1)，∴n＝1,2,3,5,11.1．等差数