自动控制cp5-2教学内容

自动控制cp5-25.熟练掌握乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据及其应用。6.熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。7.理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定性关系。8.理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与比较。25－1频率特性一、控制系统在正弦信号作用下的稳态输出输入信号：其拉氏变换式3输出拉氏反变换得其中4同理将B、D代入（5－5）则（5－6）5式中从式（5－6）看出，线性定常系统，在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输入同频率的正弦信号。6二、频率特性的定义线性定常系统，在正弦信号作用下，输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统的频率特性（即为幅相频率特性，简称复相特性）。频率特性表达式为7例子以RC网络为例其传递函数频率特性8三、频率特性的几种表示方法1、幅频特性、相频特性、幅相特性=，为系统的幅频特性。为系统的相频特性。9图5－2RC网络的幅频特性和相频特性10图5－3RC网络的幅相特性曲线112。对数频率特性对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包括对数幅频和对数相频两条曲线对数幅频特性：对数相频特性:12图5－4对数坐标刻度图13注意纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值，是不均匀的。

——这种坐标系称为半对数坐标系。在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数的变化量。145－2典型环节的频率特性一、比例环节（放大环节）幅频特性相频特性对数幅相特性15图5－5比例环节的频率特性曲线16二、积分环节幅相特性传递函数相频特性是一常值17图5－6积分环节的幅频、相频、幅相特性曲线18对数频率特性图5－719三、惯性环节（一阶系统）传递函数幅相特性20图5－8惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线21对数频率特性

当当22图5－9惯性环节的对数频率特性曲线23四、振荡环节（二阶系统）传递函数频率特性241.幅频特性、相频特性、幅相特性25图5－11谐振频率谐振峰值26图5－12振荡环节的幅相特性图5－13振荡环节的对数幅频渐进特性272.对数频率特性28五、微分环节图5－1529六、一阶微分环节图5－1630七、二阶微分环节31图5－17二阶微分环节的对数频率特性32八、一阶不稳定环节图5－1833非最小相位环节定义：传递函数中有右极点、右零点的环节（或系统），称为非最小相位环节（或系统）。由图5－18看出，一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一样。相位的绝对值大，故一阶不稳定环节又称非最小相位环节。34九、延迟环节延迟环节输入输出关系为35365－3系统的开环频率特性一、开环幅相特性曲线设系统开环传递函数由若干典型环节串联开环频率特性37系统开环幅频与相频分别为381、开环幅相特性曲线（1）当系统开环传递函数不包含积分环节和微分环节图5－20系统开环幅相特性曲线时，39（2）当图5－21取m=1,n=3时系统开环幅相特性曲线系统开环传递函数分子有一阶微分环节，其开环幅相特性曲线出现凹凸时，40（3）当图5－22含有积分环节时的开环幅相特性曲线开环传递函数有积分环节时，频率趋于零时，幅值趋于无穷大。时，412.系统开环幅相的特点当频率ω→0时，其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定。当频率ω→∞

时，若n>m，G(jω)|=0相角为(m-n)π/2。若G(s)

中分子含有s因子环节，其G(jω)曲线随

ω变化时发生弯曲。G(jω)曲线与负实轴的交点，是一个关键点。42二、开环对数频率特性曲线的绘制系统开环对数幅频等于各环节的对数幅频之和，相频等于各环节相频之和。系统开环对数幅频与对数相频表达式为43例5－1绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。解：系统开环传递函数44开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与相频曲线绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。45例5－251234五个基本环节46绘制开环系统的波特图将写成典型环节之积；找出各环节的转角频率；画出各环节的渐近线；在转角频率处修正渐近线得各环节曲线；将各环节曲线相加即得波特图。一般规则：475－4频率稳定判据一、奈奎斯特稳定判据图5－17反馈控制系统48开环传递函数闭环传递函数令49将F(s)写成零、极点形式，则辅助函数F(s)具有如下特点：其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。其零点的个数与极点的个数相同。辅助函数与系统开环传递函数只差常数1。501.幅角原理如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点，有P个F(s)的极点，则s依顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点反时针转的圈数R为P和Z之差，即R＝P－Z若R为负,表示F(s)曲线绕原点顺时针转过的圈数。51由522.奈式判据若开环传函在s的右半平面有p个极点，则为了使闭环系统稳定，当从变化时，的轨迹必反时针包围GH平面上的点次。即53s—闭环传递函数在s右半平面的极点数。（的零点数）p—开环传函在s右半平面的极点数。N—绕点逆时针转的次数。若为顺时针转则应为54例5－6已知系统开环传递函数

试应用奈氏判据判别K=0.5和K=2时的闭环系统稳定性。55分别作出K=0.5和K=2时开环幅相特性曲线K=0.5时，闭环系统不稳定。K=2时，闭环系统稳定。图5－32系统开环幅相特性曲线56二、对数频率稳定判据若开环系统稳定（p=0），则闭环系统稳定的充要条件是：在的所有频段内，正负穿越线的次数差为0。注意：在开环对数幅频特性大于零的频段内，相频特性曲线由下（上）往上（下）穿过负1800线为正（负）穿越。N+（N-）为正（负）穿越次数，从负1800线开始往上（下）称为半个正（负）穿越。57图5－34幅相曲线（a)及对应的对数频率特性曲线(b)58系统闭环稳定的条件是：在开环对数幅频的频段内，对应的开环对数相频特性曲线对线的正、负穿越次数之差为。即

为系统开环传递函数位于右半平面的极点数。

59例5－8已知系统开环传递函数试用对数判据判别闭环稳定性。60解：绘制系统开环对数频率特性如图。由开环传递函数可知P=0。图5－35所以闭环稳定61例5－10已知系统开环传递函数试用对数判据判别闭环稳定性。62解：绘制系统开环对数频率特性如图图5－3763在处振荡环节的对数幅频值为闭环不稳定。闭环特征方程的正根数为64三、稳定裕度设计控制系统，要求它必须稳定，这是控制系统赖以正常工作的必要条件。除此之外，还要求控制系统具有适当的相对稳定性。相对稳定性的概念：基于Nyquist判剧，当控制系统的开环传递函数在s平面右半部无极点时，其开环频率响应若通过点（-1，j0），则控制系统处于临界稳定边缘。在这种情况下若控制系统的参数发生漂移，便有可能使控制系统的开环频率响应包围点（-1，j0），从而造成控制系统不稳定。因此，在Nyquist

图上，开环频率响应与点（-1，j0

）的接近程度可直接表征控制系统的稳定程度。65其定性关系是：在Nyquist图上，不包围点（-1，j0）的情况下，若离点（-1，j0）越远，说明具有P=0的控制系统的稳定性程度越高；反之，越靠近点（-1，j0），则上述系统的稳定程度越低。在控制系统稳定的基础上，进一步用以表征其稳定程度高、低的概念，便是通常所谓的控制系统的相对稳定性。66稳定裕度是衡量系统相对稳定性的指标，有相角裕度和幅值裕度1相角裕度当系统开环频率特性的幅值为1时，系统开环频率特性相角与的和定义为相角裕度，所对应的频率称系统的剪切频率，即式中满足672幅值裕度当系统开环频率特性为时，系统开环频率幅值的倒数定义为幅值裕度，所对应的频率称相位交界频率，即如果以分贝为单位来表示幅值裕度时，有保持适当的稳定裕度，可以预防系统中元件性能变化等可能带来的不利影响。为了得到较满意的暂态响应，一般相角裕度应当为在到之间，而幅值裕度应大于686970一般要求715－5

系统闭环频率特性与阶跃响应的关系图示单位反馈系统的闭环传递函数为图5－4072图5－41由开环幅相特性曲线确定闭环频率特性73一、等M圆图和等N圆图根据开环幅相曲线，应用等M圆图，可以作出闭环幅频特性曲线，应用等N圆图，可以作出闭环相频特性曲线。74令M为常数，得到等M圆图75因此76令N为零，得到等N圆图77二、尼科尔斯图（N.b.Nichols)如果将开环频率特性表示为则78做变换得由等M线和等线组成的图，称为尼科尔斯图。如图5－45所示。79图5－45尼科尔斯图80三、利用闭环幅频特性分析和估算

系统的性能在已知闭环系统稳定的条件下，可以只根据系统闭环幅频特性曲线，对系统的动态响应过程进行定性分析和定量估算。图5－48闭环幅频特性曲线81闭环频率特性性能指标常用的指标有谐振峰值，系统带宽和带宽频率。1谐振峰值谐振峰值是指系统闭环频率特性幅值的最大值2系统带宽和带宽频率设为系统的闭环频率特性，当幅值特性下降到时，对应的频率称为带宽频率。频率范围称为系统带宽。

82定性分析零频的幅值反映系统在阶跃信号作用下是否存在静差。谐振峰值反映系统的平稳性。带宽频率反映系统的快速性。闭环幅频在处的斜率反映系统抗高频干扰的能力。83§5－6

开环频率特性与系统阶跃响应的关系图5－51系统开环对数幅频渐近特性曲线84低频段通常是指的渐近曲线在第一个转折频率以前的区段，这一段的特性完全由积分环节和开环增益决定。一、低频段85二、中频段中频段特性集中反映了系统的平稳性和快速性。图5－5386三、高频段系统开环对数幅频在高频段的幅值，直接反映了系统对输入高频干扰信号的抑制能力。高频特性的分贝值越低，系统抗干扰能力越强。

三个频段的划分并没有严格的确定准则，但是三频段的概念，为直接运用开环特性判别稳定的闭环系统的动态性能指出了原则和方向。87例题1已知系统的开环传递函数试绘制系统开环幅相特性与对数频率特性。88解：惯性环节的交接频率为找渐近线89则90奈氏图91伯特图92例题2如图所示的奈氏曲线中，判别哪些是稳定的，哪些是不稳定的。

93解：所以系统稳定所以系统不稳定所以系统不稳定94所以系统稳定所以系统不稳定所以系统稳定95例题3已知最小相位开环系统的渐近对数幅频特性如图所示。试写出系统的开环传递函数。绘制相应的相频特性图并判断其闭环系统是否稳定。

96解：（1）由图可知在频率之前，对数幅频特性斜率为这是积分环节（2）（3）图中频段上，对数幅频特性斜率为，这意味着在出现了惯性环节，即97（4）图中频段上，对数幅频特性斜率为，即由原来的变为，即出现