陈林华241圆的有关性质时2复习进程

陈林华241圆的有关性质时2导入2、将圆绕圆心任意旋转：Oα圆具有旋转不变性,是中心对称图形.OAB圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转.OBA圆绕圆心旋转.OB圆绕圆心旋转A.OAB圆绕圆心旋转.OAB圆绕圆心旋转.OBA180°

所以圆是中心对称图形.圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆重合。

圆心就是它的对称中心.

圆心角所对的弧为AB，

过点O作弦AB的垂线,垂足为M,OABM

有关概念：顶点在圆心的角,叫圆心角，如,所对的弦为AB；则垂线段OM的长度,即圆心到弦的距离，叫弦心距,如图，OM为AB弦的弦心距。1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。①②③④任意给圆心角，对应出现四个量：圆心角弧弦弦心距探究OαABA′B′α

将∠AOB绕O旋转到∠A/OB/

，你能发现哪些等量关系？·OABA′B′同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____，所对的弦________；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________．这样，我们就得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．相等相等相等相等同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．定理∵∠AOB=∠A｀OB｀AB⌒A′B′,⌒=∴·OABA′B′新授

OαABA′B′α在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。等对等定理(1)圆心角(2)弧(3)弦(4)弦心距延伸OαABA′B′α(1)圆心角(2)弧(3)弦(4)弦心距等对等定理整体理解：知一得三证明：∵AB=AC∴AB=AC,△ABC等腰三角形．又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.·ABCO五、例题例1如图,在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.⌒⌒⌒⌒1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．（2）如果=，那么____________，______________．（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________．（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？·CABDEFOAB=CDAB=CD相等

因为AB=CD

，所以∠AOB=∠COD.

又因为AO=CO，BO=DO，

所以△AOB≌△COD.

又因为OE

、OF是AB与CD对应边上的高，所以OE=OF.六、练习⌒CD⌒AB⌒AB⌒CD=⌒AB⌒CD=2.如图，AB是⊙O的直径，

,∠COD=35°，求∠AOE的度数．·AOBCDE解：⌒BC⌒CD==⌒DE⌒BC⌒CD==⌒DE3.

解：∵⌒AB

=⌒AC,∴AB=AC,∴∠B=∠C=75〬，∴∠A=180〬-75〬-75〬=30〬.即∠A的度数是30〬.

.习题24.11、如图3，AB、CD是⊙O的两条弦。（1）如果AB=CD，那么

，

。（2）如果AB=CD，那么

，

。（3）如果∠AOB=∠COD，那么

，

。（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？基础训练

⌒⌒例题解析例1

如图1，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。⌒⌒例题解析例2

已知：如图2，AB、CD是⊙O的弦，且AB与CD不平行，M、N分别是AB、CD的中点，AB=CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？为什么？解：连结OM、ON，

∵M、N分别为弦AB、CD的中点，

∴∠AMO=∠CNO=90°∵AB=CD∴OM=ON∴∠OMN=∠CNM∴∠AMN=∠CNM2、如图4，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数。基础训练

⌒⌒⌒3、如图，点O是∠EPF角平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D。求证：AB=CD。OABPCDEFMN基础训练

4、在⊙O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的1/4，则弦AB所对的圆心角为

。5、在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数为

。6、如图5，在⊙O中AB=AC，∠C=75°，求∠A的度数。基础训练

⌒⌒7、如图，已知AD=BC、求证AB=CD变式：如图，如果AD=BC，求证：AB=CD基础训练

⌒⌒

如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、B。（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；（2）求证：AC=BD拓展训练

⌒⌒1.如图，⊙O中两条相等的弦AB、CD分别延长到E、F，使BE=DF。求证：EF的垂直平分线必经过点O。OABCDEFMN课后思考题2.如图，已知AB、CD是⊙O中互相垂直的两条直径，又两条弦AE、CF垂直相交与点G，试证明：AE=CFP.OABCD┌┐GEF

如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，点B与B′重合．·OAB·OABA′B′A′B′三、探究因此，弧AB与弧A′B′

重合，AB与A′B′重合．同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____，所对的弦________；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________．这样，我们就得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．相等相等相等相等同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．四、定理证明：∵AB=AC∴AB=AC,△ABC等腰三角形．又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.·ABCO五、例题例1如图,在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.⌒⌒⌒⌒1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．（2）如果=，那么____________，______________．（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________．（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？·CABDEFOAB=CDAB=CD相等

因为AB=CD

，所以∠AOB=∠COD.

又因为AO=CO，BO=DO，

所以△AOB≌△COD.

又因为OE

、OF是AB与CD对应边上的高，所以OE=OF.六、练习⌒CD⌒AB⌒AB⌒CD=⌒AB⌒CD=2.如图，AB是⊙O的直径，

,∠COD=35°，求∠AOE的度数．·AOBCDE解：⌒BC⌒CD==⌒DE⌒BC⌒CD==⌒DE3.

解：∵⌒AB

=⌒AC,∴AB=AC,∴∠B=∠C=75〬，∴∠A=180〬-75〬-75〬=30〬.即∠A的度数是30〬.

4.

解：⌒AB

=⌒CD,证明如下：∵AD=BC,∴⌒AD=⌒BC,∴⌒AD+⌒AC

=⌒BC

+⌒AC,即⌒DC=⌒AB.习题24.15.

解：如图40所示，连接OC.∵OA⊥BC,∴=⌒AB,∴∠COA=∠AOB,∵∠AOB=50〬，∴∠COA=50〬，∴∠ADC=1/2∠AOC=1/2×50〬=25〬，即∠ADC=25〬.习题24.1P891°弧n°1°n°弧∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心角是1º.同时整个圆也被分成了360份.则每一份这样的弧叫做1º的弧.这样,1º的圆心角对着1º的弧,1º的弧对着1º的圆心角.nº的圆心角对着nº的弧,nº的弧对着nº的圆心角.性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.小结（2）所对的圆心角和所对的圆心角相等在两个圆中，分别有,若的度数和相等，则有

（1）和相等判断1.在半径相等的⊙O和⊙O中,AB和AB所对的圆心角都是60°.(1)AB和AB各是多少度?(2)AB和AB相等吗?(3)在同圆或等圆中,度数相度的弧相等.为什么?2.若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆8等分,那么每一份弧是多少度?3.圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距.求证:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦的弦心距相等.⌒⌒⌒´´´´⌒´´´⌒⌒结束试一试例2：如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为4cm，求AB的长OABCOABCD

如图