2021-2022学年江苏省无锡市宜兴屺亭中学高二数学文联考试卷含解析

2021-2022学年江苏省无锡市宜兴屺亭中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知扇形的圆心角为150°，弧长为5π(rad)，则扇形的半径为（

）A.7 B.6 C.5 D.4参考答案：B【分析】求得圆心角的弧度数，用求得扇形半径.【详解】依题意150°为，所以．故选B.【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制转化，考查扇形的弧长公式的运用，属于基础题.2.已知球直径SC=8，A、B是该球面上的两点，AB=2,ASC=BSC=300,则三棱锥S—ABC的体积为（

）A．3

B．8

C．4

D．参考答案：B3.双曲线中心在原点，且一个焦点为，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为，则该双曲线的方程是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.在棱长为2的正方体中，动点P在ABCD内，且P到直线AA1，BB1的距离之和等于，则ΔPAB的面积最大值是（

）A．

B．1

C．2

D．4参考答案：B5.若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的高和底面边长分别为()A．2,2B．2,4

C．4,2

D．2，2参考答案：B6.某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有A、24种

B、18种

C、48种

D、36种（

）参考答案：A略7.在中，“”是“”的（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C8.设A（3,3,1），B（1,0,5），C（0,1,0）则AB中点M到点C距离为(

)

A、

B、

C、

D、参考答案：A略9.“双曲线方程为x2﹣y2=3”是“双曲线离心率e=”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则a=b=，则双曲线为等轴双曲线，则双曲线离心率e=，即充分性成立，反之若双曲线离心率e=，则双曲线为等轴双曲线，但方程不一定为x2﹣y2=3，即必要性不成立，即“双曲线方程为x2﹣y2=3”是“双曲线离心率e=”的充分不必要条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的性质是解决本题的关键．10.把“二进制”数化为“五进制”数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设向量，若的夹角为钝角，则取值范围为_____。参考答案：12.在平行六面体中，为与的交点.若，则向量可以用表示

．参考答案：在平行四边形中，与交于M点，，所以。

13.曲线与直线所围成平面图形的面积为

.参考答案：略14.直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，曲线，若两曲线有公共点，则的取值范围是

。参考答案：（1）

15.如果复数，则=________，=________.参考答案：略16.若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)，c在R增函数，则a，b，c的关系式为是

.

参考答案：b2－3ac≤017.设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=，面积S=2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设f（x）=2（cosCsinx﹣cosAcosx），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到g（x）的图象，求g（x）的单调增区间．参考答案：【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）首先利用三角形的面积公式求出c边的长，进一步利用余弦定理求出a的长．（Ⅱ）利用上步的结论，进一步求出B的大小和C的大小，进一步把函数关系式变性成正弦型函数，再利用函数图象的变换求出g（x）=2sin（2x﹣），最后利用整体思想求出函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=，面积S=2．则：S=．解得：c=2．a2=b2+c2﹣2bccosA则：a=．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，，所以：，解得：sinB=1，由于0＜B＜π则：，C=．f（x）=2（cosCsinx﹣cosAcosx）=2sin（x﹣），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到g（x）=2sin（2x﹣），令：（k∈Z）解得：则函数g（x）的单调递增区间为：[]（k∈Z）19.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sinB＝4cosAsinC，求B．参考答案：由余弦定理得a2－c2＝b2－2bccosA，又a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2c·cosA+2.由正弦定理得，又由已知得，∴b＝4c·cosA，由可得b＝4.20.设椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数，且椭圆与y轴的一个交点坐标为（0，）．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若直线y=（x﹣m）交椭圆与A，B两点，椭圆上一点C（，1），求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，求得a，b，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线的离心率为，由题意可得椭圆的离心率e==，由b=，b2=a2﹣c2，得a=2，c=，故椭圆M的方程为+=1；（Ⅱ）联立方程，得2x2﹣2mx+m2﹣4=0，由△=4m2﹣8（m2﹣4）＞0，得﹣2＜m＜2．且x1+x2=m，x1x2=，所以|AB|=?=?=?．又C到直线AB的距离为d==，所以S△ABC=|AB|d=≤?=，当且仅当m=±2∈（﹣2，2）时取等号，所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=x3+ax2﹣3x（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=是函数f（x）的极值点，求函数f（x）在[﹣a，1]上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出导函数f′（x），通过f（x）在[1，+∞）上是增函数，得到f′（x）≥0．即可求出a的范围．（2）由f′（）=0，求出a，然后求出极值点，求出极值以及端点函数值，即可得到最大值．（3）两个函数图象恰有3个交点，转化为方程x3+4x2﹣3x=bx恰有3个不等实根．利用判别式以及根的分布求解即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2ax﹣3，∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0．∴﹣≤1且f′（1）=2a≥0．∴a≥0．（2）由题意知f′（）=0，即+﹣3=0，∴a=4．∴f（x）=x3+4x2﹣3x．令f′（x）=3x2+8x﹣3=0得x=或x=﹣3．∵f（﹣4）=12，f（﹣3）=18，f（）=﹣，f（1）=2，∴f（x）在[﹣a，1]上的最大值是f（﹣3）=18．（3）若函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x3+4x2﹣3x=bx恰有3个不等实根．∵x=0是其中一个根，∴方程x2+4x﹣（3+b）=0有两个非零不等实根．∴，∴b＞﹣7且b≠﹣3．∴满足条件的b存在，其取值范围是（﹣7，﹣3）∪（﹣3，+∞）．22.在△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，，．求：（1）sin∠BAD；（2）AD的长．参考答案：【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（1）先求出sin∠ADC=，cosB=，由sin∠BAD=sin（∠ADC﹣B），利用正弦加法定理能求出结果．（2）由正弦定理能求