2021-2022学年江苏省泰州市姜堰第八中学高二数学理测试题含解析

2021-2022学年江苏省泰州市姜堰第八中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（

）

A．（－1，0）∪（1，+）

B．（－1，0）∪（0，1）

C．（－，－1）∪（1，+）

D．（－，－1）∪（0，1）参考答案：C略2.某种心脏病手术，成功率为0.6，现准备进行3例此种手术，利用计算机取整数值随机数模拟，用0,1,2,3代表手术不成功，用4,5,6,7,8,9代表手术成功，产生20组随机数：966，907，191，924，270，832，912，468，578，582，134，370，113，573，998，397，027，488，703，725，则恰好成功1例的概率为（

）

A.0.6

B.0.4

C.

D.参考答案：B略3.命题“存在R，0”的否定是

（

）

A、不存在R,>0

B、存在R,0

C、对任意的R,0

D、对任意的R,>0参考答案：D略4.若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为()A．2x＋y－3＝0

B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0

D．2x－y－1＝0参考答案：D5.在△中，如果，，，那么等于

A．

B．

C．

D．参考答案：B6.若P是棱长1的正四面体内的任意一点，则它到这个四面体各面的距离之和为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】先求出正四面体的体积，利用正四面体的体积相等，求出它到四个面的距离．【解答】解：因为正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，设它到四个面的距离分别为a，b，c，d，由于棱长为1的正四面体，故四个面的面积都是×1×1×sin60°=．又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的，又高为1×sin60°=，故底面中心到底面顶点的距离都是．由此知顶点到底面的距离是==．此正四面体的体积是××=．所以：=×（a+b+c+d），解得a+b+c+d=．故选：B．7.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．则x+y的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：B【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可．【解答】解：由茎叶图可知甲班学生的总分为70×2+80×3+90×2+（8+9+5+x+0+6+2）=590+x，又甲班学生的平均分是85，总分又等于85×7=595．所以x=5乙班学生成绩的中位数是80+y=83，得y=3．∴x+y=8．故选B．8.“”是“”成立的

（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

参考答案：B9.若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先由渐近线过点，得到与关系，进而可求出结果.【详解】因为双曲线的一条渐近线经过点，所以，即，即，所以.故选C

10.若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（

）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等差数列，的前项和分别为，，且，则_____参考答案：912.青年歌手大奖赛共有10名选手参赛，并请了7名评委，如图是7名评委给参加最后决赛的两位选手甲、乙评定的成绩的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙选手剩余数据的平均成绩分别为

．

参考答案：84.2，85；13.函数的图象关于直线对称，它的最小正周期为π．则函数y=f（x）图象上离坐标原点O最近的对称中心是．参考答案：考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：先根据函数的最小正周期求出ω的值，因为函数的对称轴为，所以在对称轴左右两侧取关于对称轴对称的两个x的值，则其函数值相等，就可求出?的值，得到函数的解析式．再根据基本正弦函数的对称中心求出此函数的对称中心即可．解答： 解：函数f（x）=Asin（ωx+?）的周期T==π，∴ω=2∵函数f（x）=Asin（2x+?）的图象关于直线对称，∴f（0）=f（）即Asin?=Asin（+?），化简得，sin?=﹣cos?﹣sinφsin?=﹣cos?，tan?=﹣，又∵|?|＜，∴?=﹣，∴f（x）=Asin（2x﹣）令2x﹣=kπ，k∈Z，解得，x=，k∈Z，∴函数y=f（x）图象的对称中心是（，0），k∈Z其中，离坐标原点O最近的对称中心是（，0）故答案为（，0）点评：本题主要考查y=Asin（ωx+?）的图象与性质，解题时借助基本的正弦函数的图象和性质．14.函数，则

▲

；若，则=

▲

．参考答案：

试题分析：，所以；若，转化为，或，解得，或，所以.考点：分段函数15.球的体积是，则球的表面积是

参考答案：略16.从抛物线y2=4x图象上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线焦点为F，则△PFM的面积为

．参考答案：10【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】设P（x0，y0），通过|PM|=x0+，求出P的坐标，然后求解三角形的面积．【解答】解：抛物线y2=4x中p=2，设P（x0，y0），则|PM|=x0+，即5=x0+1，得x0=4，所以y0=±4，所以=10．故答案为：10．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．17.设有棱长等于a的正四面体A1，作它的内切球R1，再作R1的内接正四面体A2，接着再作A2的内切球R2和R2的内接正四面体A3，如此继续下去，……，得到无限多个正四面体，它们的体积之和等于

。参考答案：a3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为边长为2对的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由；（2）若PA=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）判断垂直．证明AE⊥BC．PA⊥AE．推出AE⊥平面PAD，然后证明AE⊥PD．（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面AEF的一个法向量，平面AFC的一个法向量．通过向量的数量积求解二面角的余弦值．【解答】解：（1）垂直．证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD，所以AE⊥PD．（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，∴A（0，0，0），，，D（0，2，0），P（0，0，2），，，所以，．设平面AEF的一个法向量为，则，因此，取z1=﹣1，则．因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一个法向量．又，所以．因为二面角E﹣AF﹣C为锐角，所以所求二面角的余弦值为．19.已知集合，，（1）当时，求和；（2）当时，求实数的取值范围．参考答案：(1)，;(2)或.试题分析：(1)当时，分别求解集合和;再利用数轴求两个集合的交集和并集；（2）若满足，讨论当时，，显然符合，因为空集是任何集合的子集，若时，分别求解两个不等式的解集，根据数轴讨论不等式的端点，使.试题解析：（1）当时，，所以，（2）当时，，显然符合当时，，因为，所以，得，得综上所述，或考点：1.集合的运算；2.集合的关系.20.一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回。（Ⅰ）连续摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；（Ⅱ）如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率。

参考答案：解：（Ⅰ）从袋中依次摸出2个球共有种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有种结果，则所求概率．（Ⅱ）第一次摸出红球的概率为，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的概率为，则摸球次数不超过3次的概率为

略21.(12分)等边三角形的边长为，沿平行于的线段折起，使平面平面，设点到直线的距离为，的长为．（1）为何值时，取得最小值，最小值是多少；（2）若，求的最小值．参考答案：解：如图（1）为折叠前对照图，图（2）为折叠后空间图形。

略22.（14分）如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点，点Q在AB上，且BQ=．（I）求证：QP∥平面AMD；（Ⅱ）求七面体ABCDMN的体积．参考答案：（I）证明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．∴，又=，∴，∴在△MAB中，QP∥AM．又QP?平面AMD，AM?平面AMD．∴QP∥平面AMD．（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD=D，∴AC⊥平面MNBD．∴AO为四棱锥A﹣MNBD的高，又=．∴=2．∴V几何体ABCDMN=2VA﹣MNBD=4．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD∥NB．进而得到，又已知=，可得，于是在△MAB中，QP∥AM．再利用线面平行的性质即可得出QP∥平面AMD．（II）连接BD，AC交于点O，则AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可得MD⊥AC，再利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面MNBD．于是AO为四棱锥A﹣MNBD的高，进而得到VA﹣MNBD的体积．即可得出V几何体ABCDMN=2VA﹣MNBD