2021-2022学年河南省南阳市河南大学附属高级中学高一数学理上学期期末试卷含解析

2021-2022学年河南省南阳市河南大学附属高级中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）A.2 B.Sin2 C. D.参考答案：C【分析】连接圆心与弦的中点，则得到弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径是，利用弧长公式求弧长即可．【详解】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1，故半径为，这个圆心角所对的弧长为，故选：C．【点睛】本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，求出半径，熟练记忆弧长公式也是正确解题的关键．2.已知集合为正整数}，则M的所有非空真子集的个数是（

）A.30 B.31 C.510 D.511参考答案：C【分析】根据为正整数可计算出集合M中的元素，然后根据非空真子集个数的计算公式（是元素个数）计算出结果.【详解】因为为正整数，所以{?，0，，1，，2，，3，}，所以集合M中共有9个元素，所以M的非空真子集个数为29-2=510，故选：C.【点睛】本题考查用列举法表示集合以及计算集合的非空真子集的个数，难度较易.一个集合中含有个元素则：集合的子集个数为：；真子集、非空子集个数为：；非空真子集个数为：.3.设a、b为实数，且a＋b＝3，则的最小值为A.6

B.

C.

D.8参考答案：B4.在中，，则一定是

A、直角三角形

B、钝角三角形

C、等腰三角形

D、等边三角形参考答案：A5.已知函数对任意都有则等于（

）A.或

B.或

C.

D.或参考答案：B

解析：对称轴6.若的面积为，，，则边的长为（▲）A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.函数f（x）=的图象如图所示，则a+b+c等于（）A．6 B．7 C．﹣2 D．﹣1参考答案：B【考点】分段函数的应用．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数图象关系建立方程组进行求解即可．【解答】解：当x≥﹣1时，函数过（﹣1，0），即ln（﹣1+c）=0，即c﹣1=1，则c=2，函数f（x）过（﹣2，﹣1）和（﹣，0），则得a=2，b=3，则a+b+c=2+3+2=7，故选：B．【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据函数图象结合已知条件，建立方程组是解决本题的关键．8.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题:①若；②，则；③若则且；④若其中正确的命题是

．（写出所有真命题的序号）．参考答案：略9.用二分法求方程x3﹣2x﹣5=0在区间[2，3]上的实根，取区间中点x0=2.5，则下一个有根区间是（）A．[2，2.5] B．[2.5，3] C． D．以上都不对参考答案：A【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题．【分析】方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由f（2）＜0，f（2.5）＞0知，f（x）零点所在的区间为[2，2.5]．【解答】解：设f（x）=x3﹣2x﹣5，f（2）=﹣1＜0，f（3）=16＞0，f（2.5）=﹣10=＞0，f（x）零点所在的区间为[2，2.5]，方程x3﹣2x﹣5=0有根的区间是[2，2.5]，故选A．【点评】本题考查用二分法求方程的根所在的区间的方法，方程的实根就是对应函数f（x）的零点，函数在区间上存在零点的条件是函数在区间的端点处的函数值异号．10.若定义运算f（a*b）=则函数f（3x*3﹣x）的值域是（）A．（0，1] B．[1，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣∞，+∞）参考答案：A【考点】指数函数综合题．【分析】根据题意将函数f（3x*3﹣x）解析式写出即可得到答案．【解答】解：当x＞0时；f（3x*3﹣x）=3﹣x∈（0，1）；当x=0时，f（30*30）=30=1，当x＜0时，f（3x*3﹣x）=3x，∈（0，1）．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，若△ABC的面积为，则ab=__参考答案：4【分析】由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可得，根据同角三角函数基本关系式可得，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】，由正弦定理可得，，即：，由余弦定理可得，，可得，∵△ABC的面积为，可得，解得，故答案为4．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．12.（2014?商丘二模）在△ABC中，D为边BC上的中点，AB=2，AC=1，∠BAD=30°，则AD=_________．参考答案：13.正项等比数列{an}中，，则

.参考答案：1

14.已知向量，则________参考答案：2【分析】由向量的模长公式，计算得到答案.【详解】因为向量，所以，所以答案为2.【点睛】本题考查向量的模长公式，属于简单题.15.如图，某海事部门举行安保海上安全演习．为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该航船在A处，此时测得∠ADC＝30°，3分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则船速为___________千米/分钟.（用含根号的式子表示）参考答案：略16.已知数列{an}的前n项和为Sn，若，则an=______.参考答案：【分析】利用和的关系计算得到答案.【详解】当时，满足通项公式故答案为【点睛】本题考查了和的关系，忽略的情况是容易发生的错误.17.若si且π<x<2π，则x等于________．参考答案：210。略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1﹣2Sn=1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=n+，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由题意可得Sn+1+1=2（Sn+1），即有数列{Sn+1}是以S1+1=2，2为公比的等比数列，运用等比数列的通项公式和数列的递推式，可得所求通项公式；（2）求出bn=n+=n+n?（）n﹣1，运用数列的求和方法：分组求和和错位相减法，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求和．【解答】解：（1）a1=1，Sn+1﹣2Sn=1，即为Sn+1+1=2（Sn+1），即有数列{Sn+1}是以S1+1=2，2为公比的等比数列，则Sn+1=2?2n﹣1=2n，即Sn=2n﹣1，n∈N*，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，上式对n=1也成立，则数列{an}的通项公式为an=2n﹣1，n∈N*；（2）bn=n+=n+n?（）n﹣1，前n项和Tn=（1+2+3+…+n）+[1?1+2?（）+3?（）2+…+n?（）n﹣1]，设Mn=1?1+2?（）+3?（）2+…+n?（）n﹣1，Mn=1?+2?（）2+3?（）3+…+n?（）n，相减可得，Mn=1++（）2+（）3+…+（）n﹣1﹣n?（）n=﹣n?（）n，化简可得Mn=4﹣（n+2）?（）n﹣1，则Tn=n（n+1）+4﹣（n+2）?（）n﹣1．19.四边形ABCD中，E，F分别为BD，DC的中点，AE=DC=3，BC=2，BD=4．（1）试求，表示；（2）求2+2的值；（3）求的最大值．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）由已知结合共线向量基本定理得答案；（2）由已知结合向量加法、减法的运算法则求解；（3）由向量加法、减法及向量的数量积运算得答案．【解答】解：（1）∵E，F分别为BD，DC的中点，∴，则；（2）=；（3）=，∵=10﹣6cos∠AEF．∴当∠AEF=π时，取得最大值16．∴的最大值为．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法与减法的三角形法则，是中档题．20.已知函数（a＞0，a≠1）（1）写出函数f（x）的值域、单调区间（不必证明）（2）是否存在实数a使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+logan，1+logam]？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在说明理由．参考答案：【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数的定义域及其求法；函数的值域．【分析】（1）由真数可以取到不等于1的所有正实数得函数的值域，分析出真数的单调性，由复合函数的单调性得到原函数的单调期间；（2）假设存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+logan，1+logam]，可得0＜a＜1，问题转化为m，n是f（x）=1+logax的两根，进一步整理得到ax2+（a﹣1）x+1=0在（1，+∞）上有两不同解，然后利用三个二次结合得到关于a的不等式组，求解不等式组得答案．【解答】解：（1）∵≠1，∴，则的值域为：（﹣∞，0）∪（0，+∞）；由，解得x＜﹣1或x＞1，且1﹣在（﹣∞，0）、（0，+∞）上为增函数，∴当a＞1时，f（x）的增区间：（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；当0＜a＜1时，f（x）的减区间：（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；（2）假设存在实数a，使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+logan，1+logam]，由m＜n，及1+logan＜1+logam，得0＜a＜1，∴f（m）=1+logam，f（n）=1+logan，∴m，n是f（x）=1+logax的两根，∴，化简得ax2+（a﹣1）x+1=0在（1，+∞）上有两不同解，设G（x）=ax2+（a﹣1）x+1，则，解得．∴存在实数a∈（0，3﹣），使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+logan，1+logam]．21.已知函数在时有最大值1，，并且时，的取值范围为．试求m，n的值．参考答案：解析：由题，

……5分