福建省莆田市塘头学校2022高三数学文联考试卷含解析

福建省莆田市塘头学校2022高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等腰梯形中，分别是底边的中点，把四边形沿直线折

起后，点，设所成的角分别为（均不为零）.

若，则点的轨迹为（

）

A.直线

B.圆

C.椭圆

D.抛物线参考答案：B2.设

，则等于（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A解法一：利用公式：。由，得，化简得。

两边平方得，从而，故选择A。解法二：变角利用二倍角余弦公式：。

，故选择A。3.某班有学生60人，将这60名学生随机编号为1﹣60号，用系统抽样的方法从中抽出4名学生，已知3号、33号、48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（）A．28 B．23 C．18 D．13参考答案：C【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号．【解答】解：抽样间隔为15，故另一个学生的编号为3+15=18，故选C．【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于简单题．4.已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为（A）2

（B）4

（C）6

（D）8参考答案：A略5.某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为（

）（A）6

（B）4 （C）3

（D）2参考答案：C6.（5分）下列说法中，不正确的是（）A．命题p：x∈R，sinx≤1，则￢p：x∈R，sinx＞1B．在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的必要不充分条件C．命题p：点为函数的一个对称中心．命题q：如果，那么在方向上的投影为1．则（￢p）∨（￢q）为真命题D．命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则△ABC为等腰三角形”的否命题为真命题．参考答案：D命题p：x∈R，sinx≤1的否定是：x∈R，sinx＞1，故A正确；在△ABC中，若A＞150°此时sinA＜，故“A＞30°”是“sinA＞”的不充分条件，但“sinA＞”时，30°＜A＜150°，故“A＞30°”是“sinA＞”的必要条件，故B正确；函数的对称中心坐标为（+，0），kZ，令+=，则k=Z，故命题p为假命题；∵，则那么在方向上的投影为2?cos120°=﹣1，故命题q为假命题；则（￢p）∨（￢q）为真命题，故C正确；命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则△ABC为等腰三角形”的否命题为“在△ABC中，若sinA≠sinB，则△ABC为不等腰三角形”，当A=C=45°时，sinA≠sinB，但三角形为等腰三角形，故为假命题，故D错误故选D7.若平面向量与的夹角是，且，则的坐标为A．B．C．D．参考答案：A8.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为(A)120

(B)80

(C)100

(D)60参考答案：C9.2010年上海世博会组委会分配甲、乙、丙、丁四人做三项不同的工作，每一项工作至少分一人，且甲、乙两人不能同时做同一项工作，则不同的分配种数是

（

）

A．24

B．30

C．36

D．48

参考答案：B略10.已知函数=A．-1

B．0

C．1

D．2参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，则

▲

．参考答案：略12.某几何体的三视图如图所示，它的体积为____________．参考答案：略13.＝▲参考答案：答案：2解析：14.设f(x)是定义在R上的奇函数，且满足，则

▲

．参考答案：0∵f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（1﹣x）=f（x），∴由奇函数性质得：f（0）=0，下面我们用归纳法证明f（n）=0对一切正整数n成立．f（1）=f（1﹣1）=f（0）=0；如果f（n﹣1）=0，n＞1，则f（n）=f（1﹣n）=﹣f（n﹣1）=0；所以：f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0．故答案为：0．

11.已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm3.参考答案：-1016.垂直于直线且与曲线相切的直线方程是

。参考答案：略17.已知，则 .

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1＜x2），AB的中点为C（x0，0），求证：g（x）在x0处的导数g′（x0）≠0．参考答案：解：（Ⅰ）f′（x）==﹣2bx，，f（2）=aln2﹣4b．∴，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2．解得a=2，b=1．（Ⅱ）f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，则，令h′（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在内，当时，h′（x）＞0，∴h（x）是增函数；当x∈[1，e]时，h′（x）＜0，∴h（x）是减函数，则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是：即1＜m．（Ⅲ）g（x）=2lnx﹣x2﹣kx，．假设结论不成立，则有：①﹣②，得．∴．由④得，∴即，即．⑤令，（0＜t＜1），则＞0．∴u（t）在0＜t＜1上增函数，∴u（t）＜u（1）=0，∴⑤式不成立，与假设矛盾．∴g'（x0）≠0．考点： 函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的单调性．专题： 计算题；证明题；压轴题．分析： （Ⅰ）只需要利用导数的几何意义即可获得两个方程解得两个未知数；（Ⅱ）先要利用导数研究好函数h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，的单调性，结合单调性及在内有两个不等实根通过数形结合易知m满足的关系从而问题获得解答；（Ⅲ）用反证法现将问题转化为有关方程根的形式，在通过研究函数的单调性进而通过最值性找到矛盾即可获得解答．解答： 解：（Ⅰ）f′（x）==﹣2bx，，f（2）=aln2﹣4b．∴，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2．解得a=2，b=1．（Ⅱ）f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，则，令h′（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在内，当时，h′（x）＞0，∴h（x）是增函数；当x∈[1，e]时，h′（x）＜0，∴h（x）是减函数，则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是：即1＜m．（Ⅲ）g（x）=2lnx﹣x2﹣kx，．假设结论不成立，则有：①﹣②，得．∴．由④得，∴即，即．⑤令，（0＜t＜1），则＞0．∴u（t）在0＜t＜1上增函数，∴u（t）＜u（1）=0，∴⑤式不成立，与假设矛盾．∴g'（x0）≠0．点评： 本题考查的是函数与方程以及导数知识的综合应用问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想、问题转化的思想以及反证法．值得同学们体会反思19.（本小题满分12分）已知点，其中是曲线上的两点，A，D两点在轴上的射影分别为点B，C，且.（I）当点B的坐标为(1,0)时，求直线AD的斜率；（II）记△OAD的面积为，梯形ABCD的面积为，求证：.

参考答案：解：（Ⅰ）因为，所以代入，得到…1分又，所以，所以…2分代入，得到…3分所以…4分（Ⅱ）法一：设直线的方程为.则…6分由,

得,所以…8分所以,…10分又，所以，所以，因为，所以,所以.…12分法二：设直线的方程为.由,

得,所以…6分,点到直线的距离为,所以

…………8分所以

…10分又，所以因为，所以所以…12分

20.(本小题满分12分)已知函数.（Ⅰ）若在时有极值，求的值及函数的单调递减区间；（Ⅱ）当时，，求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）.

由得,……………2分当时，，当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减少,则在时有极小值,所以,函数的单调递减区间为（-1，0）.………………6分（Ⅱ）.令，则。若，则当时，，为减函数，而，从而当x≥0时≥0，即≥0.

…9分若，则当时，，为减函数，而，从而当时＜0，即＜0.

……………11分综合得的取值范围为

…12分另解:（Ⅱ）当时，，即.①当时，；

………………7分②当时，等价于，也即.记，，则.

…………8分记，，则，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增.

…9分由洛必达法则有，即当时，所以，即有.

……………11分综上①、②所述，的取值范围为

…12分21.如图所示，扇形AOB，圆心角∠AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；（2）设，求△COP面积的最大值及此时的值.参考答案：解（1）在中，，，由得，解得（2）∵，∴，在中，由正弦定理得，即∴，又∴.解法一：记的面积为，则∴时，取得最大值为.解法二：即，又，即当且仅当时等号成立.所以∵∴时，取得最大值为.

22.为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：组别候车时间人数一2二6三4四2五1（Ⅰ）求这15名乘客的平均候车时间；（Ⅱ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（Ⅲ）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．

参考答案：解：（Ⅰ）由图表得：，所以这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟.---------3分（Ⅱ）由图表得：这15名乘客中候车时间少于1