IOChapter0113二维傅里叶变换

19世纪初，傅里叶在向巴黎科学院呈交的关于热传导的著名论文中提出了傅里叶级数．傅里叶分析方法已经广泛用于物理学及工程学科的各个领域．1.3二维傅里叶变换(2-dfouriertransform,ft)lordkelvinonfourier’stheoremfourier’stheoremisnotonlyoneofthemostbeautifulresultsofmodernanalysis,butitmaybesaidtofurnishanindispensableinstrumentinthetreatmentofnearlyeveryreconditequestioninmodernphysics.lordkelvinjosephfourier,ourherofourierwasobsessedwiththephysicsofheatanddevelopedthefourierseriesandtransformtomodelheat-flowproblems.三角函数形式的傅里叶级数t在一个周期内，n=0,1,...,由积分可知1.三角函数集是一个完备的正交函数集1.3.1傅里叶级数(fourierseries)在满足狄氏条件时，可展成称为三角形式的傅里叶级数，其系数2．级数形式直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度指数函数形式的傅里叶级数3．系数利用复变函数的正交特性也可写为fn1．复指数正交函数集2．级数形式说明周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式三角形式指数形式都是离散求和的形式，表明

(1)

一个随时间或空间变化的周期函数(信号)

,可以看作是许多具有不同频率的基元简谐波信号的叠加．各简谐波分量的频率为,是离散的，取值为0,,,,,为直流分量，为基频，其余为高次谐波分量．

(2)是其中一个简谐波成分，或是该简谐波成分的权重，它是频率的函数，称为傅里叶频谱(简称频谱)—fourierspectrum．一维傅里叶变换：周期信号非周期信号连续谱，幅度无限小；离散谱0再用

表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数.0单位频带上的频谱值频谱密度函数(spectrumdensityfunction)，简称频谱函数w傅里叶变换傅里叶逆变换1.3.2傅里叶变换1.直角坐标系内的二维傅里叶变换二元函数的傅里叶变换(即傅里叶谱或频谱)定义为其傅里叶逆变换定义为非周期函数可分解为连续频率的余弦分量的积分，是各频率成分的权重因子(weightingfactor)．在电信号处理、通信中，一般是1d的时间信号，经常用到一维傅里叶级数和傅里叶变换.在光学中，多数情况下研究的对象是2d或3d

图像处理或成像，一般是二维或三维空间分布(可表示为二维或三维空间函数).

可分离变量函数的傅里叶变换ifthetwo-dimensionalfunctionisseparable,itsftistheproductoftwoone-dimensionalfts.

letandthen2.极坐标系内的二维傅里叶变换或1)定义式对于具有圆对称的函数，采用极坐标形式比较方便.

2)傅里叶－贝塞尔变换(ftforthecaseof

circularsymmetry)圆对称函数，有

其中，利用了贝塞尔函数关系式式中是第一类零阶贝塞尔函数(isabesselfunctionoffirstkind,zeroorder)．与无关，表明圆对称函数的傅里叶变换和逆变换仍为圆对称，可表示为圆对称函数的傅里叶正变换和逆变换的运算形式相同，常称之为傅里叶－贝塞尔变换(fourier-besseltransform)．3.傅里叶变换存在及其应用条件(requirements)tousefouriertransform(ft),therearerequirementson:systemandsignal.1)systemrequirements

touseftthesystemmustbe:

a.linear:nonlinearsystemsoftenusespecializedmethodsuniquetoeachsystem.nogeneraltheoryexistsfornonlinearsystems.

b.timeorspaceinvariant.

c.memoryless.2).signalrequirements(绝对可积及狄里赫利条件)touseftthesignalmustbe:a.

mustbeabsolutelyintegrableoverthe

infinitexyplane;b.musthaveonlyafinitenumberofdiscontinuitiesandafinitenumberofmaximaandminimainanyfiniterectangle;c.musthavenoinfinitediscontinuities.说明：(1)物理上的可能性是保证傅里叶变换存在的充分条件．即物理上实际存在的物理量(如各种随时间或空间变化的函数)，其傅里叶变换总是存在的．r.n.bracewell曾指出：物理上的可能是一个变换存在的有效的充分条件(physicalpossibilityisavalidsufficientfortheexistenceofatransform)．(2)物理上，为了数学描述的方便，常引入一些理想化的函数(idealizedmathematicalfunctions)(物理上不能严格存在)，如正余弦函数、常数、阶跃函数、δ函数等，尽管它们的经典意义下的傅里叶变换不存在，但可以引入广义傅里叶变换．引入广义傅里叶变换(generalizedft)后，不仅在理论上成立、自洽，在应用上也能得出符合实际的结果．1.3.3广义傅里叶变换1.极限意义下的傅里叶变换无经典意义下的傅里叶变换．但和一个函数序列具有以下关系而函数序列中的每一个函数，其狭义傅里叶变换都存在，而且在时，函数序列也有确定的极限，则定义(1)可先定义一个函数序列可见例如：不满足绝对可积条件，无经典意义下的傅里叶变换．(2)求的傅里叶变换(3)的极限即为傅里叶变换2．函数的傅里叶变换即的傅里叶变换是常数1．那么常数1的傅里叶逆变换是否成立呢？根据函数的广义定义，只要证明在积分中的作用相当于函数即可．根据函数的定义式，可直接求出它的傅里叶变换设有一个函数，它在处连续，并且其傅里叶变换存在，即有：．证明：可见在积分中的作用相当于函数，所以有，即存在：类似的有