2022山西省长治市天脊集团教育中心子弟中学高二数学理期末试题含解析

2022山西省长治市天脊集团教育中心子弟中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.给出三个命题（

）①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行②若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行其中正确的命题个数是（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B略3.下列命题中的假命题是（）A.， B.，C.， D.，参考答案：B【分析】对赋值直接排除即可.【详解】对于B选项，当时，满足，但是，与矛盾.故选：B【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，考查赋值法及转化思想，属于基础题。4.在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为（）A．8 B．±8 C．16 D．±16参考答案：A【考点】等比数列的通项公式．

【专题】计算题．【分析】设这个等比数列为{an}，根据等比中项的性质可知a2?a4=a1?a5=a23进而求得a3，进而根据a2a3a4=a33，得到答案．【解答】解：设这个等比数列为{an}，依题意可知a1=，a5=8，则插入的3个数依次为a2，a3，a4，∴a2?a4=a1?a5=a23=4∴a3=2∴a2a3a4=a33=8故选A．【点评】本题主要考查了等比数列的性质．主要是利用等比中项的性质来解决．5.下列曲线中离心率为的是(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过验证法可得双曲线的方程为时，．【解答】解：选项A中a=，b=2，c==，e=排除．选项B中a=2，c=，则e=符合题意选项C中a=2，c=，则e=不符合题意选项D中a=2，c=则e=，不符合题意故选B【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了双曲线方程中利用，a，b和c的关系求离心率问题．6.原点和点在直线的两侧，则的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B7.点（1，2）到直线y=2x+1的距离为（）A． B． C． D．2参考答案：A【考点】点到直线的距离公式．【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：由点到直线的距离公式d==，故选：A．8.下列求导正确的是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据导数的运算公式，对四个选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，，故A选项正确.对于B选项，，故B选项错误.对于C选项，，故C选项错误.对于D选项，，故D选项错误.综上所述，本小题选A.【点睛】本小题主要考查加减法、乘除法的导数的运算，考查运算求解能力，属于基础题.9.=（

）A．1 B．e-1 C．e D．e+1参考答案：C10.已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是

（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线y=x2+在点（1，2）处的切线方程为．参考答案：x﹣y+1=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．【解答】解：曲线y=x2+，可得y′=2x﹣，切线的斜率为：k=2﹣1=1．切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．12.已知A、B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为．参考答案：100π【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB==，故R=5，则球O的表面积为4πR2=100π，故答案为：100π．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．13.已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆的方程．参考答案：解：设所求椭圆的方程为，点P（）、Q（）依题意，点P、Q满足方程组解得或所以，

①

，

②

由OP⊥OQ

③

又由|PQ|==

=

=④

由①②③④可得：

故所求椭圆方程为，或14.函数的对称轴是参考答案：15.已知为正数，且，则的最小值是__________．参考答案：3略16.已知定义在上的函数，函数，若在处取得最大值，则正数的取值范围是

.参考答案：略17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1与DM所成的角为________.参考答案：90°三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°-sin13°cos17°；

②sin215°＋cos215°-sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°-sin18°cos12°；

④sin2(-18°)＋cos248°-sin(-18°)cos48°；⑤sin2(-25°)＋cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．参考答案：(1)选择②式，计算如下：

…4分(2)三角恒等式为…6分证明如下：…………12分法二：(1)同法一．(2)三角恒等式为证明如下：.略19.某公司生产陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每天的固定成本为14000元，每生产一件产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量与产量件之间的关系式为：，每件产品的售价与产量之间的关系式为：．（Ⅰ）写出该陶瓷厂的日销售利润与产量之间的关系式；（Ⅱ）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润．参考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)400件，30000元试题分析：(Ⅰ)由已知得总成本为，所以日销售利润；(Ⅱ)①当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在时取到最大值，且最大值为30000；②当时，，因此若要使得日销售利润最大，每天该生产400件产品，其最大利润为30000元．试题解析：(Ⅰ)总成本为．所以日销售利润(Ⅱ)①当时，令，解得或于是在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在时取到最大值，且最大值为30000；②当时，．

综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产400件产品，其最大利润为30000元．考点：1.分段函数的解析式；2.分段函数的最值20.已知函数（1）讨论f(x)的单调性；（2）若恰有两个整数解，求a的取值范围．参考答案：（1）当时，为上的减函数；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）【分析】（1）求导后，分别在和两种情况下判断导函数的正负，从而得到原函数的单调性；（2）将问题转变为恰有两个整数解，令，通过导数可得函数的单调性，进而得到函数图象，利用数形结合的方式判断出恰有两个整数解的情况，从而得到所求范围.【详解】（1）由题意知：当时，

为上的减函数当时，由，解得：当时，；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为综上所述：当时，为上的减函数；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为（2）由恰有两个整数解可得恰有两个整数解设，则：令，解得：当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减又，，，可得图象如下图所示：根据数形结合可知，若恰有两个整数解，则需即当时，恰有两个整数解【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到对含参数函数单调性的讨论、根据整数解个数求解参数范围的问题，考查学生对于导数与函数单调性之间关系的掌握，考查学生转化与化归思想的应用.21.在四边形中，已知，，点在轴上，，且对角线．（1）求点的轨迹的方程；（2）若点是直线上任意一点，过点作点的轨迹的两切线，为切点，直线是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．参考答案：（1）．（2）直线恒过定点（1）设点，则，∴，．∵，∴，即．（2）对函数求导数．设切点，则过该切点的切线的斜率为，∴切线方程为．设点，由于切线经过点，∴．化为．设点，．则是方程的两个实数根，∴，，设为中点，∴.∴∴点又∵∴直线的方程为，即（*）∴当时，方程（*）恒成立.∴对任意实数，直线恒过定点.点睛：熟练掌握向量垂直与数量积的关系、直线与抛物线相切问题、根与系数的关系、直线的点斜式及其直线过定点问题等是解题关键。22.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．（1）证明：CE⊥AB；（2）若二面角P﹣CD﹣A为60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值；（3）若AB=kPA，求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间角．【分析】（1）取AB中点F，连结EF、FC，则EF∥PA，CF∥AD，从而EF⊥AB，AB⊥CF，由此能证明CE⊥AB．（2）推导出PA⊥CD，CD⊥PD，则∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，由此能求出直线CE与平面PAB所成角的正切值．（3）过P作PG∥CD，推导出∠APD为所求锐二面角的平面角，由此能求出平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取AB中点F，连结EF、FC，则EF∥PA，CF∥AD，∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∵AB?平面ABCD，∴EF⊥AB，∵AB⊥AD，∴AB⊥CF，∵EF?平面EFC，CF?平面EFC，∴AB⊥平面EFC，∵CE?平面EFC，∴CE⊥AB．解：（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，∴∠P