空间解析几何与向量代数-课件教程文件

四、利用坐标(zuòbiāo)作向量的线性运算第一节一、向量(xiàngliàng)的概念二、向量(xiàngliàng)的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影机动目录上页下页返回结束向量及其线性运算第七章第一页，共27页。表示法:向量(xiàngliàng)的模:向量(xiàngliàng)的大小,一、向量(xiàngliàng)的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1

M2,或a,机动目录上页下页返回结束第二页，共27页。规定:零向量(xiàngliàng)与任何向量(xiàngliàng)平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一(tóngyī)直线上,故两向量(xiàngliàng)平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;机动目录上页下页返回结束第三页，共27页。二、向量(xiàngliàng)的线性运算1.向量(xiàngliàng)的加法三角形法则(fǎzé):平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.机动目录上页下页返回结束第四页，共27页。机动目录(mùlù)上页下页返回结束第五页，共27页。2.向量(xiàngliàng)的减法三角(sānjiǎo)不等式机动目录上页下页返回(fǎnhuí)结束第六页，共27页。3.向量(xiàngliàng)与数的乘法是一个(yīɡè)数,规定(guīdìng):可见与a

的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此机动目录上页下页返回结束第七页，共27页。定理(dìnglǐ)1.设a为非零向量(xiàngliàng),则(为唯一(wéiyī)实数)证:“”.,取＝±且再证数的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b

同向时则b与a同向,设又有b＝

a,机动目录上页下页返回结束第八页，共27页。“”则例1.设M为解:ABCD对角线的交点,已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b机动(jīdòng)目录上页下页返回结束第九页，共27页。ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间(kōngjiān)直角坐标系由三条互相垂直的数轴(shùzhóu)按右手规则组成一个(yīɡè)空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念机动目录上页下页返回结束Ⅰ第十页，共27页。向径在直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)系下坐标轴上的点

P,Q,R;坐标(zuòbiāo)面上的点A,B,C点

M特殊(tèshū)点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);机动目录上页下页返回结束第十一页，共27页。坐标轴:坐标(zuòbiāo)面:机动(jīdòng)目录上页下页返回结束第十二页，共27页。2.向量(xiàngliàng)的坐标表示在空间(kōngjiān)直角坐标系下,设点M

则沿三个坐标轴方向(fāngxiàng)的分向量.的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,任意向量r

可用向径OM

表示.机动目录上页下页返回结束第十三页，共27页。四、利用(lìyòng)坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标(zuòbiāo)成比例:机动(jīdòng)目录上页下页返回结束第十四页，共27页。例2.求解(qiújiě)以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×②,得代入②得机动(jīdòng)目录上页下页返回结束第十五页，共27页。例3.已知两点在AB直线(zhíxiàn)上求一点M,使解:设M的坐标(zuòbiāo)为如图所示及实数(shìshù)得即机动目录上页下页返回结束第十六页，共27页。说明(shuōmíng):由得定比分(bǐfēn)点公式:点M为AB的中点(zhōnɡdiǎn),于是得中点公式:机动目录上页下页返回结束第十七页，共27页。五、向量的模、方向(fāngxiàng)角、投影1.向量(xiàngliàng)的模与两点间的距离公式则有由勾股定理(ɡōuɡǔdìnɡlǐ)得因得两点间的距离公式:对两点与机动目录上页下页返回结束第十八页，共27页。例4.求证(qiúzhèng)以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点(dǐngdiǎn)机动目录(mùlù)上页下页返回结束第十九页，共27页。例5.

在z

轴上求与两点等距解:

设该点为解得故所求点为及思考(sīkǎo):(1)如何求在xoy面上与A,B等距离(jùlí)之点的轨迹方程?(2)如何求在空间(kōngjiān)与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.机动目录上页下页返回结束第二十页，共27页。提示(tíshì):(1)设动点为利用(lìyòng)得(2)设动点为利用(lìyòng)得且例6.已知两点和解:求机动目录上页下页返回结束第二十一页，共27页。2.方向(fāngxiàng)角与方向(fāngxiàng)余弦设有两非零向量(xiàngliàng)任取空间(kōngjiān)一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量

的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

记作机动目录上页下页返回结束第二十二页，共27页。方向余弦(yúxián)的性质:机动(jīdòng)目录上页下页返回结束第二十三页，共27页。例7.已知两点和的模、方向(fāngxiàng)余弦和方向(fāngxiàng)角.解:计算(jìsuàn)向量机动(jīdòng)目录上页下页返回结束第二十四页，共27页。例8.设点A位于(wèiyú)第一卦限,解:已知作业(zuòyè)P3003,5,13,14,15,18,19角依次(yīcì)为求点A的坐标.则因点A在第一卦限,故于是故点A的坐标为向径OA与x轴y轴的夹第二节目录上页下页返回结束第二十五页，共27页。备用(bèiyòng)题解:

因1.

设求向量(xiàngliàng)在x轴上的投影(tóuyǐng)及在y轴上的分