立体几何中的向量方法(距离问题)讲课教案

3.2.3立体几何中的向量(xiàngliàng)方法（三）空间(kōngjiān)“距离”问题第一页，共17页。复习(fùxí)回顾：1.异面直线(zhíxiàn)所成角：2.直线(zhíxiàn)与平面所成角：3.二面角：关键：观察二面角的范围第二页，共17页。向量法求空间(kōngjiān)距离的求解方法1.空间中的距离主要有:两点间的距离、点到直线(zhíxiàn)的距离、点到平面的距离、直线(zhíxiàn)到平面的距离、平行平面的距离.其中直线(zhíxiàn)到平面的距离、平行平面的距离都可以转化点到平面的距离.2.空间中两点间的距离:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),则第三页，共17页。3、点到直线(zhíxiàn)的距离：点P与直线(zhíxiàn)l的距离为d,则第四页，共17页。例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等(xiāngděng)，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设化为向量(xiàngliàng)问题依据(yījù)向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。第五页，共17页。思考(sīkǎo)：(1)本题(běntí)中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？(2)如果一个(yīɡè)四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?(提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平面的距离或两点间的距离）思考(1)分析:思考(2)分析:∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.第六页，共17页。A1B1C1D1ABCDH分析(fēnxī)：面面距离转化为点面距离来求解：∴所求的距离(jùlí)是思考(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离(jùlí)是多少?如何用向量法求点到平面的距离?第七页，共17页。4、用向量(xiàngliàng)法求点到平面的距离：第八页，共17页。练习如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面(píngmiàn)内,且都垂直AB,已知AB＝4,AC＝6，BD＝8，求CD的长.BACD第九页，共17页。DABCGFExyz第十页，共17页。例2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，(1)求点E到直线(zhíxiàn)A1B的距离.点E到直线(zhíxiàn)A1B的距离为第十一页，共17页。(2)求B1到面A1BE的距离(jùlí)；例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点(zhōnɡdiǎn)，第十二页，共17页。例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点(zhōnɡdiǎn)，(3)求D1C到面A1BE的距离(jùlí)；解:∵D1C∥面A1BE∴D1到面A1BE的距离(jùlí)即为D1C到面A1BE的距离(jùlí)仿上法求得第十三页，共17页。例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点(zhōnɡdiǎn)，(4)求面A1DB与面D1CB1的距离(jùlí)；解:∵面D1CB1∥面A1BD∴D1到面A1BD的距离(jùlí)即为面D1CB1到面A1BD的距离(jùlí)第十四页，共17页。abCDABCD为a,b的公垂线则A，B分别(fēnbié)在直线a,b上已知a,b是异面直线，n为a的法向量3.异面直线(zhíxiàn)间的距离即间的距离可转化为向量在n上的射影长，第十五页，共17页。小结(xiǎojié)：1、怎样利用向量(xiàngliàng)求距离？点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断(pànduàn)方向，可取其射影的绝对值）。点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。第十六页，共17页。