2022-2023学年浙江省杭州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2022-2023学年浙江省杭州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(40题)1.曲线y=x+(1/x)的凹区间是

A.(-∞，-1)B.(-1，+∞)C.(-∞，0)D.(0，+∞)

2.微分方程y''-2y'=x的特解应设为

A.AxB.Ax+BC.Ax2+BxD.Ax2+Bx+c

3.

4.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是()。A.椭球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.柱面

5.设函数f(x)在区间(0，1)内可导f(x)>0，则在(0，1)内f(x)（）．

A.单调增加B.单调减少C.为常量D.既非单调，也非常量

6.

7.A.A.

B.

C.

D.

8.设函数f(x)在区间(0，1)内可导，f'(x)＞0，则在(0，1)内f(x)()．A.单调增加B.单调减少C.为常量D.既非单调，也非常量

9.（）．A.A.单调增加且为凹B.单调增加且为凸C.单调减少且为凹D.单调减少且为凸

10.微分方程y''-7y'+12y=0的通解为（）A.y=C1e3x+C2e-4x

B.y=C1e-3x+C2e4x

C.y=C1e3x+C2e4x

D.y=C1e-3x+C2e-4x

11.等于()A.A.

B.

C.

D.

12.

13.

14.

A.

B.

C.

D.

15.A.

B.

C.

D.

16.设y=2^x，则dy等于()．

A.x.2x-1dx

B.2x-1dx

C.2xdx

D.2xln2dx

17.曲线Y=x-3在点(1，1)处的切线的斜率为()．

A.-1

B.-2

C.-3

D.-4

18.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=A.-1/x

B.1/x

C.-1/x2

D.1/x2

19.

20.

21.

22.

23.设un≤aυn(n=1，2，…)(a＞0)，且收敛，则()A.必定收敛B.必定发散C.收敛性与a有关D.上述三个结论都不正确

24.以下结论正确的是（）．

A.

B.

C.

D.

25.A.

B.

C.

D.

26.

27.设y=e-3x，则dy=A.e-3xdx

B.-e-3xdx

C.-3e-3xdx

D.3e-3xdx

28.

A.-e

B.-e-1

C.e-1

D.e

29.

30.“目标的可接受性”可以用（）来解释。

A.公平理论B.双因素理论C.期望理论D.强化理论

31.

32.

33.

34.A.A.

B.e

C.e2

D.1

35.

36.设f(x)=x3+x，则等于()。A.0

B.8

C.

D.

37.

38.

39.

40.

二、填空题(50题)41.设y=f(x)在点x=0处可导，且x=0为f(x)的极值点，则f(0)=__________

42.

43.

44.设y＝3＋cosx，则y＝．45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.函数f(x)=2x2+4x+2的极小值点为x=_________。

52.设是收敛的，则后的取值范围为______．

53.

54.

55.

56.

57.y=lnx，则dy=__________。

58.

59.

60.

61.

62.

63.设f(x)=esinx，则=________。64.65.空间直角坐标系中方程x2+y2=9表示的曲线是________。66.

67.68.

69.

70.

71.

72.

73.74.

75.f(x)=sinx，则f"(x)=_________。

76.

77.

78.y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为______．

79.

80.

81.

82.

83.

84.设y=x2+e2，则dy=________

85.86.87.88.89.设z=ln(x2+y)，则全微分dz=__________。

90.

三、计算题(20题)91.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

92.

93.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．94.95.证明：96.97.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．98.求微分方程的通解．99.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．100.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

101.

102.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

103.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

104.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．105.

106.

107.

108.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．109.求曲线在点(1，3)处的切线方程．110.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则四、解答题(10题)111.112.

113.设函数f(x)=ax3＋bx2＋cx＋d，问常数a，b，c满足什么关系时，f(x)分别没有极值、可能有一个极值、可能有两个极值?

114.115.

116.

117.求，其中区域D是由曲线y=1+x2与y=0，x=0，x=1所围成．118.已知f(x)在[a，b]上连续且f(a)=f(b)，在（a，b)内f''(x)存在，连接A(a，f(a))，B(b，f(b))两点的直线交曲线y=f(x)于C(c，f(c))且a＜c＜b，试证在（a，b)内至少有一点ξ使得f''(ξ)=0.

119.

120.

五、高等数学(0题)121.已知f(x)的一个原函数为(1+sinz)lnz，求∫xf(x)dx。

六、解答题(0题)122.

参考答案

1.D解析：

2.C本题考查了二阶常系数微分方程的特解的知识点。

因f(x)=x为一次函数,且特征方程为r2-2r=0,得特征根为r1=0,r2=2.于是特解应设为y*=(Ax+B)x=Ax2+Bx.

3.D

4.C本题考查的知识点为二次曲面的方程。

将x2+y2-z=0与二次曲面标准方程对照，可知其为旋转抛面，故应选C。

5.A本题考查的知识点为利用导数符号判定函数的单调性．

由于f(x)在(0，1)内有f(x)>0，可知f(x)在(0，1)内单调增加，故应选A．

6.D

7.A

8.A由于f(x)在(0，1)内有f'(x)＞0，可知f(x)在(0，1)内单调增加，故应选A．

9.B本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单调性和利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．

10.C因方程：y''-7y'+12y=0的特征方程为r2-7r+12=0,于是有特征根r1=3，r2=4，故微分方程的通解为：y=C1e3x+C2e4x

11.C本题考查的知识点为不定积分基本公式．

由于

可知应选C．

12.D

13.D

14.C本题考查的知识点为复合函数导数的运算．

由复合函数的导数链式法则知

可知应选C．

15.A本题考查的知识点为偏导数的计算。由于故知应选A。

16.D南微分的基本公式可知，因此选D．

17.C点(1，1)在曲线．由导数的几何意义可知，所求切线的斜率为-3，因此选C．

18.C

19.C解析：

20.D

21.D解析：

22.C

23.D由正项级数的比较判定法知，若un≤υn，则当收敛时，也收敛；若也发散，但题设未交待un与υn的正负性，由此可分析此题选D。

24.C

25.C据右端的二次积分可得积分区域D为选项中显然没有这个结果，于是须将该区域D用另一种不等式（X-型）表示.故D又可表示为

26.B

27.C

28.C所给问题为反常积分问题，由定义可知

因此选C．

29.A

30.C解析：目标的可接受性可用期望理论来理解。

31.D解析：

32.B

33.D

34.C本题考查的知识点为重要极限公式．

35.D

36.A本题考查的知识点为定积分的对称性质。由于所给定积分的积分区间为对称区间，被积函数f(x)=x3+x为连续的奇函数。由定积分的对称性质可知

可知应选A。

37.B

38.B解析：

39.B

40.B解析：

41.

42.

43.22解析：44.－sinX．

本题考查的知识点为导数运算．

45.2本题考查的知识点为极限运算．

由于所给极限为“”型极限，由极限四则运算法则有

46.

47.

48.arctanx+C

49.

50.11解析：

51.-152.k＞1本题考查的知识点为广义积分的收敛性．

由于存在，可知k＞1．

53.

54.

55.0

56.

57.(1/x)dx58.3yx3y-1

59.1/e1/e解析：

60.

61.

62.e63.由f(x)=esinx，则f"(x)=cosxesinx。再根据导数定义有=cosπesinπ=-1。

64.本题考查了函数的一阶导数的知识点。65.以Oz为轴的圆柱面方程。F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程，方程x2+y2=32=0表示母线平行Oz轴的圆柱面方程。66.对已知等式两端求导，得

67.xex(Asin2x+Bcos2x)由特征方程为r2-2r+5=0，得特征根为1±2i，而非齐次项为exsin2x，因此其特解应设为y*=Axexsin2x+Bxexcos2x=xex(Asin2x+Bcos2x).68.1

69.

70.x/1=y/2=z/-1

71.5/4

72.(-22)

73.

74.

75.-sinx

76.

本题考查的知识点为微分的四则运算．

注意若u，v可微，则

77.(-∞2)78.-24本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值．

若f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定f(x)在[a，b]上的最值：

(1)求出f'(x)．

(2)求出f(x)在(a，b)内的驻点x1，…，xk．

(3)比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的点x为f(x)的最大(小)值点．

y=x3-27x+2,

则y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),

令y'=0得y的驻点x1=-3，x2=3，可知这两个驻点都不在(1，2)内．

由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为-24．

本题考生中出现的错误多为求出驻点x1=-3，x2=3之后，直接比较

f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44，

得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为f(-3)=56．其错误的原因是没有判定驻点x1=-3，x2=3是否在给定的区间(1，2)内，这是值得考生注意的问题．在模拟试题中两次出现这类问题，目的就是希望能引起考生的重视．

本题还可以采用下列解法：注意到y'=3(x-3)(x+3)，在区间[1，2]上有y'＜0，因此y为单调减少函数。可知

x=2为y的最小值点，最小值为y|x=2=-44．

x=1为y的最大值点，最大值为y|x=1=-24．

79.

80.

解析：

81.12x82.1

83.84.(2x+e2)dx

85.

86.

87.发散本题考查了级数的敛散性(比较判别法)的知识点.

88.

89.

90.

91.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

92.

则

93.函数的定义域为

注意

94.

95.

96.

97.

98.

99.

列表：

说明

100.由二重积分物理意义知

101.

102.

103.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

104.105.由一阶线性微分方程通解公式有

106.

107.

108.

109.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

110.由等价无穷小量的定义可知

111.

112.

113.解

114.

115.

116.117.积分区域D如图1-4所示。D可以表示为0≤x≤1，0≤y≤1+x2本题考查的知识点为计算二重积分，选择积分次序。如果将二重积分化为先对x后对y的积分，将变得复杂，因此考生应该学会选择合适的积分次序。118.由题意知f(a)=f(b)=f(c)，在(a，c)内有一点η1，使得f'(η1)=0，在（c，6)内有一点η2，使得f'(η2）=0，这里a＜η1＜c＜b，再由罗尔定理，知在(η1，η2)内有一点ξ使得f''(ξ)=0.

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