大学高等数学-16重积分的应用-含参积分及习题课

第四节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力机动目录上页下页返回结束重积分的应用

第九章1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是对区域具有可加性

从定积分定义出发建立积分式

用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量3.解题要点

画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法机动目录上页下页返回结束一、立体体积

曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为

占有空间有界域

的立体的体积为机动目录上页下页返回结束任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.解:

曲面的切平面方程为它与曲面的交线在

xoy

面上的投影为(记所围域为D)在点例1.求曲面机动目录上页下页返回结束例2.求半径为a

的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为机动目录上页下页返回结束二、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D

上的投影为d

,(称为面积元素)则机动目录上页下页返回结束故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即机动目录上页下页返回结束若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且机动目录上页下页返回结束例3.计算双曲抛物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影为则出的面积A.机动目录上页下页返回结束例4.计算半径为a的球的表面积.解:设球面方程为球面面积元素为方法2利用直角坐标方程.(见书P109)方法1利用球坐标方程.机动目录上页下页返回结束三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域

,有连续密度函数则公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心机动目录上页下页返回结束将分成

n

小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点机动目录上页下页返回结束同理可得则得形心坐标：机动目录上页下页返回结束若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(A

为D

的面积)得D

的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度—对x

轴的

静矩—对y

轴的

静矩机动目录上页下页返回结束例5.求位于两圆和的质心.

解:

利用对称性可知而之间均匀薄片机动目录上页下页返回结束例6.一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为内储有高为

h

的均质钢液,解:利用对称性可知质心在z

轴上，采用柱坐标,则炉壁方程为因此故自重,求它的质心.若炉不计炉体的其坐标为机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束四、物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元因此物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.机动目录上页下页返回结束类似可得:对x

轴的转动惯量对y

轴的转动惯量对原点的转动惯量机动目录上页下页返回结束如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.机动目录上页下页返回结束例7.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.机动目录上页下页返回结束解:

取球心为原点,z轴为l

轴,则球体的质量例8.求均匀球体对于过球心的一条轴

l

的转动惯量.设球所占域为(用球坐标)机动目录上页下页返回结束

G

为引力常数五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为机动目录上页下页返回结束对xoy面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为机动目录上页下页返回结束例9.设面密度为μ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解:由对称性知引力处的单位质量质点的引力.。机动目录上页下页返回结束例10.求半径R的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解:

利用对称性知引力分量点机动目录上页下页返回结束为球的质量机动目录上页下页返回结束作业P96

7，10,17P116

1，3，6,11,13,14习题课目录上页下页返回结束(t

为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130cm

的雪堆全部融化需要多少小时?(2001考研)机动目录上页下页返回结束备用题提示:记雪堆体积为V,侧面积为S,则(用极坐标)机动目录上页下页返回结束由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.机动目录上页下页返回结束*第五节一、被积函数含参变量的积分二、积分限含参变量的积分机动目录上页下页返回结束含参变量的积分

第九章一、被积函数含参变量的积分上的连续函数,则积分确定了一个定义在[a,b]上的函数,记作x

称为参变量,上式称为含参变量的积分.含参积分的性质定理1.(连续性)

上连续,则由①确定的含参积分在[a,b]上连续.—连续性,可积性,可微性:①机动目录上页下页返回结束证:在闭区域R上连续,所以一致连续,即只要就有就有这说明机动目录上页下页返回结束定理1表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可交换的.同理可证,续,则含参变量的积分机动目录上页下页返回结束由连续性定理易得下述可积性定理:定理2.(可积性)上连续,同样,推论:在定理2的条件下,累次积分可交换求积顺序,即机动目录上页下页返回结束定理3.(可微性)都在证:

令函数,机动目录上页下页返回结束因上式左边的变上限积分可导,因此右边且有此定理说明,被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时,求导与求积运算是可以交换顺序的.机动目录上页下页返回结束例1.解:由被积函数的特点想到积分:机动目录上页下页返回结束例2.解:考虑含参变量t

的积分所确定的函数显然,由于机动目录上页下页返回结束故因此得机动目录上页下页返回结束二、积分限含参变量的积分在实际问题中,常遇到积分限含参变量的情形,例如,为定义在区域上的连续函数,则也是参变量x

的函数,其定义域为[a,b].利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.机动目录上页下页返回结束定理4.(连续性)上连续,则函数证:令则由于被积函数在矩形域上连续,由定理1知,上述积分确定的函数定理5.(可微性)都在中的可微函数,则证:令机动目录上页下页返回结束利用复合函数求导法则及变限积分求导,得机动目录上页下页返回结束例3.解:机动目录上页下页返回结束例4.分小时,函数的n

阶导数存在,且证:令

在原点的某个闭矩形邻域内连续,由定理5可得机动目录上页下页返回结束即同理于是作业

(*习题9-5)P1231(2),(3);2(2),(4);3;4(1);5(1)习题课目录上页下页返回结束习题课一、重积分计算的基本方法二、重积分计算的基本技巧三、重积分的应用机动目录上页下页返回结束

第九章重积分的计算及应用一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:

面、线、点)3.掌握确定积分限的方法——

累次积分法机动目录上页下页返回结束练习计算积分其中D由所围成.

P1242(3);6;7(1),(3)补充题:解答提示:(接下页)

机动目录上页下页返回结束2(3).计算二重积分其中D为圆周所围成的闭区域.提示:

利用极坐标原式机动目录上页下页返回结束P1246.

把积分化为三次积分,其中由曲面提示:

积分域为原式及平面所围成的闭区域.机动目录上页下页返回结束P1247(1).计算积分其中是两个球(R>0)的公共部分.提示:

由于被积函数缺x,y,原式=利用“先二后一”计算方便.机动目录上页下页返回结束P1247(3).计算三重积分其中是由

xoy平面上曲线所围成的闭区域.提示:

利用柱坐标原式绕x

轴旋转而成的曲面与平面机动目录上页下页返回结束P124补充题.计算积分其中D由所围成

.提示:如图所示连续,所以机动目录上页下页返回结束二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或重心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号练习题4.利用重积分换元公式P1231(总习题九);P1244,7(2),9解答提示:(接下页)机动目录上页下页返回结束证明:提示:

左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.P1244.7(2).其中是所围成的闭区域.提示:

被积函数在对称域上关于z

为奇函数,利用对称性可知原式为0.机动目录上页下页返回结束由球面P1249.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个的另一边长度应为多少?提示:

建立坐标系如图.由对称性知由此解得问接上去的均匀矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圆心上,机动目录上页下页返回结束例1.

计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)

利用对称性.围成.机动目录上页下页返回结束(2)

积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得机动目录上页下页返回结束例2.计算二重积分其中D是由曲所围成的平面域.解:其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标机动目录上页下页返回结束例3.计算二重积分在第一象限部分.解:(1)两部分,则其中D为圆域把与D分成作辅助线机动目录上页下页返回结束(2)提示:两部分说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D分成机动目录上页下页返回结束例4.如图所示交换下列二次积分的顺序:解:机动目录上页下页返回结束例5.解: