第三节单相交流电路

《电工基础》

第三节单相交流电路培训要点：本节应正确理解并掌握正弦交流电的基本概念及交流电瞬时值、波形图、相量法、正弦量三要素。掌握纯电阻、纯电感、纯电容、电阻与电感串联、电阻与电容串联及电阻、电感、电容单相交流电的分析方法。掌握有功功率、无功功率及功率因素的计算方法及提高功率因素意义。1/14/20231本节难点：正弦交流电旋转相量的表示。单相交流电路的分析计算。1/14/20232一、正弦交流电的产生1、正弦交流电是由交流发电机产生的。交流发电机是利用电磁感应原理发电的。转子以ω角速度转动一周，两边线圈也以ω角速度转动一周且经过一次N极和S极，同时因切割磁力线而产生感应电动势，根据右手定则，线圈经过N极和S极，感应电动势方向相反，且经过N极和S极时，线圈垂直切割，感应电动势最大，线圈经过中心位置时，不切割磁力线，不产生感应电动势，转子每转一周，感应电动势的方向和大小就变化一周。1/14/202332、若线圈起始位置角度为φ（导线和中性面夹角），正弦交流电瞬时值表达式——正弦电动势瞬时值的表达式：e=EmSin（ωt+φ）正弦交变电压瞬时值表达式：（0≦SinX≦1）

u=UmSin（ωt+φu）正弦交变电流瞬时值表达式：i=ImSin（ωt+φi）式中：e、u、i—电动势、电压、电流瞬时值Em、Um、Im—电动势、电压、电流最大值ωt+φ—相位角，简称相位（弧度，rad）φ—初相角，简称初相（弧度，rad）ω—角频率（弧度/秒，rad/s）1/14/20234二、正弦交流电的三要素：

在交流电瞬时值表达式中，最大值、角频率和初相位能具体形象的描述交流电，同时也是交流电进行区分和比较的依据，称为交流电的三要素。（1）周期、频率和角频率交流电交变一次所需要的时间，称为周期，用T表示，单位为秒（S）；交流电在1秒内变化的次数，称为频率，用f表示，单位为赫兹（HZ）。常用单位：千赫（KHZ)，兆赫（ＭＨＺ）。周期和频率关系：在我国电力网供电系统中，交流电的标准频率为：50HZ，习惯上称为工频，周期为0.02S或f·T=11/14/20235角频率：指正弦交流电在一秒钟内转过的角度。用ω表示。由于转子在一周期T内旋转2π角弧度，所以角速度：f=ω/2π1/14/20236角频率ω、周期T以及频率f都是反映交流电变化快慢的物理量。（一个量知其二个量）例题1—10：已知某正弦交流电的角频率ω=314rad/s，试求其频率和周期。解：f=ω/(2π)=314/(2×3.14)=50HzT=1/f=1/50=0.02s1/14/20237（2）交流电的瞬时值、最大值和有效值交流电在某一瞬时的值，叫瞬时值，用小写字母表示，如：e、u、i—电动势、电压、电流瞬时值。瞬时值中最大的值，叫最大值（幅值），用带下标m的大写字母表示，如：Ｅm、Ｕm、Ｉm—电动势、电压、电流最大值。为反映实际效果，工程上通常用有效值来表示交流电的大小。1/14/20238有效值定义：将交流电和直流电分别通过相同的电阻Ｒ，如果在相同的时间t内产生的热量相等，则把这个直流电的数值叫做交流电的有效值。2、有效值表示：用大写字母E、U、I分别表示电势、电压、电流的有效值。平时所说的交流电数值、各种交流电工仪表的读数都是有效值。1/14/20239

3、有效值的大小：正弦交流电的有效值是最大值的1/√2。即：I=Im/√2=0.707ImU=Um/√2=0.707UmE=Em/√2=0.707Em注意：用仪表测出的是交流电的有效值例题1—11：一只耐压为250V的电容器，能否接在220V电源上使用？解：Ｕm＝√2Ｕ＝√2×220≈311﹥250所以不能接在220V电源上使用。1/14/202310（3）相位和初相φ

线圈在磁场中转过的角度（ωt+φ），确定了交流电的每一瞬间的状态，称为相位角。t=0时的相位角φ称为初相角，简称初相。初相与计时起点有关，计时起点不同，初相角不同，交流电的初始状态也不同。1/14/202311１、初相：正弦交流电起始时刻(即t=0）的相位角，它与计时起点有关。在波形图上，初相规定为正半波的起点与坐标原点之间夹角。当φ=0时，正半波起点正好在原点，当φ＞0时，正半波起点正好在原点左边，当φ＜0时，正半波起点正好在原点右边。1/14/202312２、相位差：两个同频率正弦量的相位之差。例如：u1=Um1Sin（ωt+φ1）u2=Um2Sin（ωt+φ2）它们的相位差：φ=（ωt+φ1）－（ωt+φ2）=φ1－φ2即：同频率正弦量的相位差为初相之差，并且任何时候相位差都是不变的。1/14/202313相位差同相、反相、超前、滞后同相：两个同频率的正弦量的相位差为０。反相：两个同频率的正弦量的相位差为π。超前（滞后）：如果两个同频率正弦量（设a和b正弦量）相位差为正(φab>0)，a超前b,相位差为负(φab＜0)，a滞后b

。1/14/202314例题：电路电压u=UmSin（ωt+π/2），电流i=ImSinωt，电路的频率为50Hz，试求电压和电流的相位差，并说明超前、滞后的关系？解：已知φu=π/2，φi=0相位差为φ=φu－φi=π/2（＞０），所以u超前iπ/2（或者说i滞后uπ/2）1/14/202315以正弦电流为例振幅、角频率和初相称为正弦量的三要素。只要已知上述三要素，就可以写出正弦交流的瞬时表达式了！！！例如：已知某正弦量的最大值为２０（Ａ），角频率ω

为１００rad/s，初相为πrad其正弦量的表达式为

同样，已知某正弦量的瞬时表达式，就可以知道其中的三要素了！！！例如：某正弦量的表达式为i=16.8Sin（26t+π/3）其最大值、角频率、初相角分别为

1/14/202316练习：已知交流电压的数学表达式是u=28.2Sin（628t+π/3）V，则电压的最大值为_____V，初相为_____，该交流电的频率为_____Hz，角频率为_______弧度/秒；当ωt=π/6时，电压的瞬时值为_______V。

1/14/202317e=EmSin（ωt+φ）例题：已知交流电动势为e=14.1Sin（800πt+π/2）V，试求该正弦交流电动势的最大值、有效值、角频率、

频率、周期、初相以及t=0时的电动势的瞬时值。1/14/202318解：最大值：Em=14.1V有效值：E=Em/√2=10V角频率：ω=800πrad/s频率：f=ω/2π=400Hz周期：T=1/f=1/400=0.0025s初相：φ=π/2当t=0时，瞬时值e=14.1Sin（0+π/2）=14.1V1/14/202319练习：已知交流电流的瞬时值表达式：i=56.4Sin（314t+π/6）A，则电压的最大值为_____A，有效值为______A，初相为_____，该交流电的频率为_____Hz，角频率为_______弧度/秒；当ωt=π/3时，电流的瞬时值为_______A。

1/14/202320三、交流电的表示法（一）解析式i=ImSin（ωt+φi）u=UmSin（ωt+φu）e=EmSin（ωt+φ）（二）波形图1/14/202321（三）旋转向量法（见教材介绍）1/14/2023222、向量的加减——平行四边形法则

aba+baba－b向量和向量差1/14/202323四、单相交流电路⑴、交流电路研究分析的主要问题包括两个方面内容：①电路中的电压、电流及元件之间的相互关系。②电路中电源与负载之间的功率关系⑵、分析交流电路的主要依据：欧姆定律和基尔霍夫定律。1/14/202324（一）、纯电阻交流电路纯电阻电路：一个实际的交流电路，由电阻起决定性作用，而电感和电容可以忽略不计的电路。如白炽灯、电阻炉、电烙铁等。１、电压与电流的关系：符合欧姆定律。i=u/R=Um·Sinωt/R电压与电流有效值关系：I=U/R（同相）即纯电阻电路电压与电流符合欧姆定律IRUIU纯电阻电路及向量图1/14/202325２、电路的功率ⅰ、瞬时功率：电路上任一瞬时电压与电流瞬时值的乘积。用小写字母p表示。p=ui=i2Rⅱ、平均功率（有功功率）：瞬时功率在一周内的平均值。即为电压与电流有效值的乘积。用大写字母p表示。

P=UI=I2R=U2/R③、平时用功率表测得的功率为平均功率，习惯称功率或有功功率。1/14/202326例题１—12：一只电阻炉的电阻值为44Ω，接在220V交流电源上，求通过电阻炉的电流及消耗的功率。解：I=U/R=220/44=5AP=UI=220×5=1100W=1.1kW1/14/202327（二）、纯电感交流电路1、电感线圈的特性感性负载：电动机，变压器，日光灯镇流器等。感抗：电感线圈对交流电呈现的阻碍作用。用XL表示。大小：感抗XL与线圈电感和角频率成正比。即XL=ωL=2πfL（Ω）式中：f——交流电的频率Ｌ——线圈的电感系数，单位亨利（Ｈ）电感电路的特点：频率越高感抗越大；对于直流电路：f=0，XL=0，电感相当于短路。电感具有隔交（流）通直（流）的作用。

1/14/2023282、电压和电流的相位关系结论：电感两端电压ＵＬ超前电流iＬπ／２（90°）或电流i滞后电压uπ／２（90°）。iLuIUL纯电感电路及相量图1/14/2023293、电压与电流有效值的关系符合欧姆定律：I=U/XL或U=IXL1/14/2023304、电感电路中的功率平均功率（有功功率）P=0图2—31说明电路中只有磁场能量与电场能量的转换过程，这是一种互逆过程，没有能量损失，因而电感电路是不消耗功率的。1/14/2023315、无功功率

②、电感电路的瞬时功率不为零，这说明电源的电能与电感线圈的磁能量在不停地转换，为了定量地分析电感线圈与电源之间能量交换的规模，把瞬时功率的最大值称为电感电路的无功功率，用QL表示：QL=ULI=I2XL=UL2/XL单位：乏（var）或千乏（kvar）1/14/202332例题：将电感为0.127H的线圈接到电压为220V的工频交流电源上，求电路的电流及无功功率。解：XL=2πfL=2×3.14×50×0.127=40ΩI=U/XL=220/40=5.5A无功功率QL=UI=220×5.5=1210var=1.21kvar1/14/202333练习：将电感为0.03H的线圈接到220V，50Hz的正弦交流电源上，求电路的感抗、电流及功率。解：XL=2πfL=2×3.14×50×0.03=9.42ΩI=U/XL=220/9.42=23.4A有功功率：P=0无功功率QL=UI=220×23.4=5.148var1/14/202334（三）、电阻与电感串联的交流电路1、总电压与电流的关系及电路的性质ＵＩＲＬＵＲＵＬＩＵＲＵＬＵＵＲＵＬＵΦΦＲ—Ｌ串联的感性电路

～1/14/202335电压与电流有效值的关系U=UR+ULU=√UR2+UL2=√I2R2+(IXL）2

=I·√R2+XL2=I·Z式中：Z称为阻抗，单位Ω

Z=√R2+XＬ2=√R2+（ωL）2交流电路欧姆定律：Ｕ＝ＩＺ或Ｉ＝Ｕ／Ｚ1/14/202336相位关系：Ｕ＝ＵＲ＋ＵＬ总电压超前电流Ｉ一个Φ角，Φ角的大小为０°和９０°之间：功率因素：cosΦ=UR/U=R/ZΦＵＬＵＵＲ1/14/202337ＵＵＵＬＵＬＵＲＵＲＵ／ＩＵＬ／ＩＵＲ／ＩＵＩＵＬＩＵＲＩＺＸＬＲＰＱＳ阻抗三角形功率三角形1/14/2023382、电路的功率①、有功功率：P=I2R=IUR=UIcosΦ②、无功功率：Q=I2XL=IUL=UIsinΦ③、视在功率：S=UI=√P2+Q2单位：伏安（V.A）1/14/202339（四）、纯电容电路１、电容及电容量①、电容器任何两个金属导体，中间隔以绝缘材料，就形成电容器，简称电容。电容器可以储存电荷。电容电路的特点：隔直（流）通交（流）。电容的文字符号：C图形符号：1/14/202340电容C：单位：法拉（F），或微法（μF），皮法（PF）换算关系：1μF=10－6F，

1PF=10－12F②、电容的大小：Ｃ＝Ｑ／Ｕ式中：Ｃ——电容（Ｆ）Ｑ——电极上带的电荷（Ｃ）Ｕ——两极间的电压（Ｖ）注意：电容器的电容量与电容器两端的电压U无关。1/14/202341③、电容器的主要参数：电容量额定工作电压（即耐压）1/14/202342２、纯电容电路由电容起决定性作用，而电阻和电感可以忽略的电路。容抗XC：电容器对交流电产生的阻力。XC大小与电容量C及交流电频率f成反比。即，XC=1/ωC=1/2πfC（Ω）当频率f趋近零，容抗XC趋无限大，故电容器对直流电开路；当频率f趋无限大时，容抗XC趋近零，表明电容器对极高频率处于短路。u1/14/202343（１）、电压与电流的相位关系：结论：纯电容电路中电流i超前电压u为90°或电压u滞后电流i

90°。

（２）、电压与电流有效值的关系：XC=U/I或U=IXCiCIcUc纯电容电路及相量图U1/14/202344（３）纯电容电路中的功率有功功率（平均功率）P=0说明纯电容电路中在储存和释放电场能的变化过程中没有能量损耗。无功功率Q：能量转换的最大速率称为无功功率，用QC表示：QC=UI=I2XC=U2/XC单位：乏（var）或千乏（kvar）1/14/202345例题：为改善感性负载的用电情况，将一只40μF的电容器并接在220V，50Hz的正弦交流电源上，求容抗、电容电流及无功功率。解：XC=1/2πfC=1/（2×3.14×50×40×10－6）=80ΩI=U/XC=220/80=2.75A无功功率QC=UI=220×2.75=605var1/14/202346练习：将电容量为20μF的电容器接到220V，50Hz的正弦交流电源上，求电路的电流及功率。解：XC=1/2πfC=1/（2×3.14×50×20×10－6）=159.2ΩI=U/XC=220/159.2=1.38A有功功率P=0无功功率QC=UI=220×1.38=303.6var1/14/202347（五）电阻与电容串联的交流电路1、总电压与电流的关系及电路性质UCURUCRUCURIUΦ电路图电流、电压相量图1/14/202348电压与电流有效值的关系Ｕ＝ＵＲ＋ＵCU=√UR2+UC2=√I2R2+(IXC）2

=I·√R2+XC2=I·Z式中：Z称为阻抗，单位Ω

Z=√R2+XC2=√R2+（1/ωC）2交流电路欧姆定律：Ｕ＝ＩＺ或Ｉ＝Ｕ／Ｚ1/14/202349相位关系：Ｕ＝ＵＲ＋ＵC总电压滞后电流Ｉ一个Φ角，且Φ角的大小为０°和９０°之间：功率因素：cosΦ=UR/U=R/ZIUΦ1/14/2023502、电路的功率①、有功功率：P=I2R=URI=UIcosΦ②、无功功率：Q=I2XC=IUC=UIsinΦ③、视在功率：S=UI=√P2+Q2单位：伏安（V.A）1/14/202351（六）、电阻、电感、电容（R、L、C）串联电路各元件上的电压降为：UR=IR，UR与I同相；UL=IXL，UL超前I90°UC=IXC，UC滞后I90°

IURULUCR、L、C串联相量图1/14/2023521、总电压与电流有效值的关系U=UR+UL+UCU=√UR2+(UL-UC)2=√I2R2+(IXL-IXC)2

=I·√R2+(XL-XC)2=I·√R2+X2=I·Z式中：Z称为阻抗，单位Ω

Z=√R2+(XL-XC)2=

√R2+X2X称为电抗，单位Ω。X=XL-XC

IURULUC1/14/2023532、R、L、C串联电路的特性分析①、当XL＞XC，则UL＞UC时，称为感性电路；其ø角为正值，总电压超前电流。②、当XL＜XC时，则UL＜UC，称为容性电路；其ø角为负值，总电压滞后电流③、当XL＝XC时，则UL＝UC，称为电阻性电路，电压与电流同相位。称串联谐振或电压谐振。当XL=XC时，X=XL-XC=0，此时总电压与电流是同相位，电路是纯电阻性的。这时阻抗Z=R为最小，电流有效值I=U/Z=U/R为最大。Q=0，COSΦ=1。这种状态为串联谐振，又称电压谐振。1/14/2023543、电路的功率

①、有功功率P：

P=URI=I2R=UIcosφ

单位：瓦特（W）②、无功功率Q：

Q=IUX==I2X=UIsinφ=I（UL－UC）=QL－QC单位乏（Var）③、视在功率S：

S=IU=I√UR2+UX2

单位：伏安（VA）1/14/202355④、功率因素cosΦ:有功功率与视在功率的比值。cosΦ=P/S=R/Z1/14/202356例题：在R、L、C串联电路中，已知R=4Ω，XL=9Ω，XC=6Ω，电源电压U=100V，试求电阻、电感、电容上的电压及功率因素cosΦ？解：电路电抗：X=XL－XC=9－6=3Ω电路阻抗：Z=√R2+X2=√42+32=5Ω电路电流：I=U/Z=100/5=20A电阻电压：UR=IR=20×4=80V电感电压：UL=IXL=20×9=180V