MATLAB中数学物理建模与方程分类

数学物理建模与计算机辅助设计第3章数学物理建模与方程分类1本章内容§3.1数学物理建模的相关概念§3.2物理模型的数学物理建模举例波动型问题的建模热传导型问题的建模稳定型问题的建模§3.3数学物理方程的定解条件§3.4二阶偏微分方程的分类相关基本概念什么是数学物理？建立与研究物理现象的数学模型的理论连接物理学与数学的一门交叉学科什么是数学物理建模？寻求把物理问题和其他自然科学和技术科学转换成数学模型的过程什么是数学物理方程(数理方程)？从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程凡是在建立和研究描述物理现象的数学模型时所用到的数学方法，都属于数学物理方法的范畴3.1数学物理建模的相关概念数学物理的发展历史17世纪末——创建Newton和Leibniz创立了微积分并用于表述力学基本定律与万有引力定律18世纪——形成和发展分析学稳步发展，并广泛地应用于理论物理学19世纪——长足进展数学物理方法成功地应用于研究与各类物理场和波动过程有关的物理现象的数学模型20世纪——现代数学物理量子物理和相对论的理论研究，空气动力学、粒子转换现象和等离物理中新问题的出现，大大扩展了数学物理所使用的数学工具3.1数学物理建模的相关概念数学物理的特点建立具有共性的数学模型建立具有归纳和演绎双重功能的的数学模型结合已有的物理模型开发新的数学方法结合计算技术推动物理学的发展3.1数学物理建模的相关概念数学物理建模数学物理方法解决问题的立足点是某物理现象的内在物理规律vgF=ma-+U=Ed3.1数学物理建模的相关概念数学物理建模在获得物理规律的情况下可以根据现象归纳其具体的物理过程也可以根据具体的物理过程演绎将出现的现象求解定解问题就是通过建立数学物理模型、确定定解条件现象现象现象现象现象现象物理模型3.1数学物理建模的相关概念数学物理建模的主要步骤将物理问题转换成数学问题对物理问题根据相关的物理定律建立相应的数学模型，也就是将物理问题归结成数学上的定解问题求解定解问题用数学方法求出满足方程和定解条件的解验证模型的正确性并理解模型的物理意义对所得的解通过输血的论证和客观实践的检验鉴定其正确性，并将所得的解作适当的物理意义解释，从而理解遵循同一类方程的普遍物理模型3.1数学物理建模的相关概念本课程的数学物理建模的重点二阶线性偏微分方程规律的物理问题的建模静电势和引力势满足的Laplace方程或Poisson方程波的传播所满足的波动方程热传导问题和扩散问题中的热传导方程连续介质力学中的Navier-Stockes方程组合Euler方程组描写电磁场运动变化的MAxwell方程组作为微观物质运动基本规律的Schrodinger方程和Dirac方程弹性力学中的Saint-Venant方程3.1数学物理建模的相关概念典型数学物理方程的大致分类三类典型的数学物理方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程热传导方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表3.1数学物理建模的相关概念波动物理模型弦的微小横振动方程问题：有一条完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后用某种方式激发，使弦在同一个平面上作小振动，列出弦的微小横振动方程3.2物理模型的数学物理建模举例波动物理模型弦的微小横振动方程根据牛顿第二定律F=ma，微元横向运动方程为微元的纵向运动方程为仅考虑微小的横振动，可忽略高阶小量，即3.2物理模型的数学物理建模举例波动物理模型弦的微小横振动方程注意到因此有这样弦的横向和纵向振动方程便化简成3.2物理模型的数学物理建模举例波动物理模型弦的微小横振动方程令T=T1=T2，进而可以化简成由于dx很小，因此有因此可以得到运动方程3.2物理模型的数学物理建模举例波动物理模型弦的微小横振动方程讨论：(1)若设弦的重量远小于弦的张力，则重力加速度项可以忽略，可得到齐次偏微分方程(弦的自由振动方程)(2)若在弦的单位长度上还有横向外力F(x,t)的作用，则可以得到弦的受迫振动方程3.2物理模型的数学物理建模举例波动物理模型薄膜的微小横振动方程问题：有一条完全柔软的均匀薄膜，沿水平面上绷紧，薄膜的重量和张力相比可以忽略，而后用某种方式激发，使弦在垂直于水平面方向上作小振动3.2物理模型的数学物理建模举例波动物理模型薄膜的微小横振动方程注意到二维情况与一维情况的相似之处，可得到微元在x和x+dx两边受力为微元在y和y+dy两边受力为那么运动方程为3.2物理模型的数学物理建模举例波动物理模型薄膜的微小横振动方程经过化简可以得到二维模微小横振动方程用符号化的语言可以写成如果单位面积上受横向外力为F(x,y,t)，则模的受迫振动方程为3.2物理模型的数学物理建模举例波动物理模型杆的纵向振动问题问题：考虑一均匀细杆，沿杆长方向作小振动，假设在垂直杆长方向上的任一横截面上各点的振动情况完全相同3.2物理模型的数学物理建模举例波动物理模型杆的纵向振动问题微元的运动方程为可以得到杆的纵向振动方程更一般地，在三维空间中的波动方程为杆的纵振动和弦的横振动机理并不完全相同，但满足的偏微分方程形式完全一样，这类方程统称波动方程。3.2物理模型的数学物理建模举例波动物理模型传输线方程(电报方程)问题：两条长的平行传输线在加上交流电压的时候会出现电感、电阻、静电容和漏电导等效应，建立传输线上的电压和电流满足的方程3.2物理模型的数学物理建模举例波动物理模型传输线方程(电报方程)分析微元电路，应用基尔霍夫第二定律可得到考虑到dx0，则方程可以化简成同理利用基尔霍夫第一定律可以得到类似地可以化简得到3.2物理模型的数学物理建模举例波动物理模型传输线方程(电报方程)注意到电流和电压所服从的两个微分方程形式相似，对他们进行变量代换，即可得以下两个方程这两个方程就是一般的传输线方程(电报方程)。3.2物理模型的数学物理建模举例波动物理模型传输线方程(电报方程)讨论：(1)无失真线：RC=LG，信号无失真。方程化为3.2物理模型的数学物理建模举例波动物理模型传输线方程(电报方程)(2)无损耗线：R≈G≈0，无损耗，如高频条件下有ωL>>R，ωC>>G。方程化简为具有与振动方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同3.2物理模型的数学物理建模举例波动物理模型传输线方程(电报方程)(3)无漏导，无电感线：R≈L≈0，如同轴电缆。方程可以化简为这与后面将讲到的一维热传导方程具有类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同3.2物理模型的数学物理建模举例波动物理模型电磁波传播方程问题：设空间没有电荷，且E和H分别表示电场强度和磁感应强度。建立空间电场强度和磁感应强度的数学物理模型3.2物理模型的数学物理建模举例波动物理模型电磁波传播方程由电磁理论，描述介质中电磁场运动的方程为麦克斯韦方程组，其微分形式为为了分析方便，考虑各向同性的均匀介质，则介电常数、磁导率和电导率都是常数3.2物理模型的数学物理建模举例波动物理模型电磁波传播方程对方程进行化简可以得到这两个方程是矢量方程，将其在特定方向上(如三个正交坐标轴方向)进行投影，则可以得到普通的标量方程这两个方程就是电磁波传播方程3.2物理模型的数学物理建模举例波动物理模型电磁波传播方程讨论：(1)考虑电导率很小的情况，即σ≈0，如真空中。方程化简为(2)考虑介质具有很高的导电性的情况，即σ>>ε，如金属材料中，则方程可以写成3.2物理模型的数学物理建模举例热传导物理模型热传导方程问题：由于温度不均匀，热量将从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象叫热传导。试建立热传导方程3.2物理模型的数学物理建模举例热传导物理模型热传导方程推导热传导方程的时候主要根据热传导的Foriour定律在dt时间内从ABCD进入小体积元的热量为同理从EFGH进入体积元的热量为3.2物理模型的数学物理建模举例热传导物理模型热传导方程那么通过这两个垂直于x轴方向流入小体积元的热量为类似地有3.2物理模型的数学物理建模举例热传导物理模型热传导方程那么经过六个面进入小体积元的热量为根据物体吸热和温度变化的关系可以得到3.2物理模型的数学物理建模举例热传导物理模型热传导方程讨论：(1)对各向同性的均匀物体，k为常数，方程变为(2)若物体内有热源，单位时间单位体积内发出热量为F(x,y,z,t)，则有非齐次热传导方程3.2物理模型的数学物理建模举例热传导物理模型扩散方程问题：设有一块横截面积为S的半导体材料，把所需的杂质涂敷在材料的表面上，杂质就会向材料里扩散。试建立杂质的扩散方程。3.2物理模型的数学物理建模举例热传导物理模型扩散方程用u(x,t)表示t时刻在x处的杂质浓度。杂质的扩散服从的物理定律为扩散定律单位时间内，从x+dx处横截面流过的杂质量是流入x到x+dx一个薄层内的杂质将引起浓度增加3.2物理模型的数学物理建模举例热传导物理模型扩散方程因此可以得到即此即一维形式的扩散方程。类似有三维扩散方程3.2物理模型的数学物理建模举例热传导物理模型扩散方程若外界有扩散源，扩散源的强度(单位时间、单位体积内产生的杂质粒子数)为f(x,y,z,t)，则扩散方程为我们注意到，热传导和扩散这两种不同的物理现象，但可以用同一类方程来描述。3.2物理模型的数学物理建模举例稳定型物理模型静电场电势方程问题：静电场是有源无旋场，电力线不闭合，始于正电荷，终于负电荷。反映静电场的定理是高斯定理和电场强度的无旋性。试推导静电场的方程。3.2物理模型的数学物理建模举例稳定型物理模型静电场电势方程微分形式的高斯定理为静电场中电场和电势的关系为因此可以得到泊松(Poisson)方程3.2物理模型的数学物理建模举例稳定型物理模型稳定温度分布问题：如果热源分布和边界条件都不随事件发生变化，则过相当的时间后物体内部的温度分布将达到稳定状态。求其温度分布方程。在这种情况下热传导方程中随时间变化的项将消失，类似地可以得到泊松方程和拉普拉斯方程3.2物理模型的数学物理建模举例稳定型物理模型稳定浓度分布问题：如果扩散源强度f(x,y,z)不随时间和边界条件都不随事件发生变化，则扩散运动将持续下去，最终达到稳定状态，空间中各点浓度不变。求其浓度分布方程。与温度稳定分布相似有泊松方程和拉普拉斯方程3.2物理模型的数学物理建模举例稳定型物理模型单色波问题：若电磁波是单色的，即只有一个频率，那么电磁波将会在空间形成稳定的分布。根据要求电磁波场以单一频率周期变化为那么复振幅将满足亥姆霍兹(Helmhotz)方程其中k=ω/a为波数。3.2物理模型的数学物理建模举例完整描述一个物理过程需两个条件描述过程变化的规律——数学物理方程描述过程的满足条件——定解条件例：3.3数学物理方程的定解条件初始条件初始条件是物理过程刚开始的时候，也就是初始时刻的系统状态对时间的二阶偏微分方程来说初始条件包括变量对时间的零阶和一阶导数的初始时刻的值。3.3数学物理方程的定解条件初始条件举例例1：一根长度为l的弦，两端固定于x=0和x=l处，然后在距离坐标原点b的位置沿横向拉开距离h，然后放手让其振动，试写出其初始条件。3.3数学物理方程的定解条件边界条件一个物理系统，除了描述其运动特征的数学物理方程和描述初始状态的初始条件外，还需要考虑系统所处的特定的环境周边的环境对物理系统的影响通常由边界上的物理状况决定，也就是边界条件3.3数学物理方程的定解条件第二类边界条件第一类边界条件第三类边界条件波动方程的边界条件例1：例2：例3：3.3数学物理方程的定解条件热传导方程的边界条件例4：边界Σ上的温度分布为f(Σ,t)例5：单位时间内从单位面积上流入的热量为例6：物体表面通过辐射或对流与外界交换热量的时候肯能够与边界上的温度有关，有牛顿冷却定律：3.3数学物理方程的定解条件稳定场方程的边界条件稳定场不存在初始条件对稳定场一样也存在三种边界条件第一类边界条件：狄利克雷问题，给出边界上的变量值第二类边界条件：诺依曼问题，给出边界上变量导数值第三类边界条件：洛平问题，给出边界上的变量值和变量导数值的线性组合3.3数学物理方程的定解条件二阶线性偏微分方程的基本概念偏微分方程方程的阶：未知函数偏导数的最高阶数方程的次数：最高阶偏导数的次数线性方程：所有阶(组合)偏导数的次数都为1准线性方程：仅最高阶偏导数是线性的自由项：不含未知函数及其偏导数的项齐次方程：没有自由项的偏微分方程§3.4二阶偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的基本概念方程的解：若某函数带入偏微分方程后，使方程化简成一个恒等式，则此函数为方程的解通解：包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的个数等于方程的阶数特解：从通解中选择任意函数而得到的解§3.4二阶偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的基本概念通解与特解举例：二阶线性非齐次偏微分方程的通解为其中F(x)和G(y)为任意函数。若令则可以得到方程的一个特解§3.4二阶偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类在利用MATLAB的一些特别的命令和工具求解二阶偏微分方程的时候需要把方程进行归类和标准化前面已经初步给出了波动型方程、热传导型方程和稳定场型方程，代表三种不同类别的物理过程二阶偏微分方程的分类标准：类似于二次曲线的分类标准§3.4二阶偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类两个自变量的二阶偏微分方程的一般形式为：§3.4二阶偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类考虑到A、B和C不同时全为0。作变换同时保证变换的雅可比行列式必须满足利用多元函数求导法则进行化简可以得到§3.4二阶偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类其中的系数为§3.4二阶偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类注意到关系注意到：(1)在作满足雅可比行列式不为零的变换的时候仍然有两个相互独立的变量，并且变化过程中的“判别式”的符号不变。(2)可以通过合适的变换，使得a、b和c的一个或几个为零，达到化简方程的目的§3.4二阶偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类为了实现化简，我们首先看下面方程如何求解：为了求解此方程，引入定理：定理：如果是方程的一般积分，则是方程的一个特解。§3.4二阶偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类此定理说明：可以通过求解常微分方程得到两个变换。一般情况下这两个解是无关的，称为偏微分方程的特征线方程，构成的曲线为特征曲线。在求解此方程的时候，需要判断其判别式§3.4二阶偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类讨论(1)Δ=B2-4AC>0。方程可以得到两个实数解：令则可以得到a=c=0，则偏微分方程可以化简为再作进一步变换偏微分方程可以化简成双曲型方程§3.4二阶偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类讨论(2)Δ=B2-4AC=0。方程可以得到两个重根，因而只能得到一个解。此时作变换即可使得a=0，进一步有b=0。只要任取变换使得雅可比行列式不为零，即可保证两个变换相互独立。若取c=1，即可得到抛物线方程§3.4二阶偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类(3)Δ=B2-4AC<0。方程可以得到两个互为共轭复数的根。此时偏微分方程的两条特征线是一对共轭复函数族。可以得到两个互为共轭复数的变换进一步地作变换因此可以得到椭圆方程§3.4二阶偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类讨论综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只需讨论判别式Δ=B2-4AC

的符号即可。在作变换的时候，需要弄清的几点是：(1)判别式的符号，直接决定偏微分方程的类型(2)如何通过常微分方程求的偏微分方程的特征线方程，进而得到所需的变换(3)对抛物线型的偏微分方程，如何寻求另一个变换下面将通过几个例子来加以说明。§3.4二阶偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类举例例1：讨论方程的类型，并将其化成标准型。解：偏微分方程的特征方程为求解可以得到§3.4二阶偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类举例因此特征曲线为作变换则偏微分方程化为§3.4二阶偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类举例再作变换则偏微分方程可以进一步化为§3.4二阶偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类举例例2：将偏微分方程化为标准型，并求其通解。解：上述偏微分方程对应的特征方程为可以解得§3.4二阶偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类举例令则原方程可以化为注意，这儿的的取法不是唯一的，只要满足雅可比行列式不为零即可§3.4二阶偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类举例例3：判断偏微分方程的类型，并化