四边形(菱形,正方形的性质和判定)

八年级数学(下)第八章证明(三)8.2.特殊平行四边形(1-3)菱形,正方形的性质及判定学好几何标志是会“证明”证明命题的一般步骤:(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.

回顾与思考1平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等.′证明后的结论,以后可以直接运用.

BDCA∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB=CD,BC=DA.定理:平行四边形的对角相等.∵四边形ABCD是平行四边形.∴∠A=∠C,∠B=∠D.定理:平行四边形的对角线互相平分.∵四边形ABCD是平行四边形.∴CO=AO,BO=DO.BDCAO定理:夹在两条平等线间的平等线段相等.∵MN∥PQ,AB∥CD,∴AB=CD.BDCAMNPQ回顾思考平行四边形的判定′定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.回顾思考∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.BDCABDCAO∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠A=∠C,∠B=∠D.∴四边形ABCD是平行四边形.四边形之间的关系

我思,我进步1四边形之间有何关系？特殊的平行四边形之间呢？还记得它们与平行四边形的关系吗?能用一张图来表示它们之间的关系吗?四边形平行四边形矩形菱形正方形两组对边分别平行有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等一组对边平行另一组对边不平行梯形两腰相等等腰梯形腰与底垂直直角梯形矩形的性质,推论定理:矩形的四个角都是直角.定理:矩形的两条对角线相等.推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.回顾思考∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=900.DBCADBCA∵AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.∴AC=BD.在△ABC中,∠ACB=900,∵AD=BD,ABCD矩形的判定,直角三角形的判定定理:有三个角是直角的四边形是矩形.定理:对角线相等的平行四边形是矩形.定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.回顾思考∵∠A=∠B=∠C=900,∴四边形ABCD是矩形.DBCADBCA∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AC=DB.∴四边形ABCD是矩形.ABCD∴∠ACB=900.在△ABC中,∵AD=BD=CD,菱形的性质定理:菱形的四条边都相等.

我思,我进步2已知:如图,四边形ABCD是菱形.分析:由菱形的定义,利用平行四边形性质可使问题得证.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形.∴AB=CD,AD=BC.求证:AB=BC=CD=DA.∴AB=BC=CD=AD.CBDA菱形的性质

我思,我进步3定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O.求证:(1).AC⊥BD;(2).AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,AO=CO.分析:根据平行四边形对角线互相平分和等腰三角形“三线合一”来证明.∵DO=DO,∴△AOD≌△COD(SSS).∴∠AOD=∠COD=900.DBCAO∴AC⊥BD.(2)∵AD=AB,DA=DC,AC⊥BD;∴AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.菱形性质的应用

例题欣赏4已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1).对角线AC的长度;(2).菱形ABCD的面积.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,=2×△ABD的面积∴∠AED=900,(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE菱形的判定定理:四条边都相等的四边形是菱形.

我思,我进步2已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA..分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可使问题得证.证明:∵AB=BC=CD=DA,∴AB=CD,BC=DA.∴四边形ABCD是平行四边形..求证:四边形ABCD是菱形.∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.CBDA菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

我思,我进步2已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD.求证:四边形ABCD是菱形.分析:要证明□ABCD是菱形,就要证明有一组邻边相等即可.证明:∴AO=CO.∵AC⊥BD,∴DA=DC.∵四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是菱形.DBCAO正方形的性质

我思,我进步4定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.求证:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=900.(2)AB=BC=CD=DA.分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.证明:∴四边形ABCD是矩形,也是菱形.∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA.∵四边形ABCD是正方形,ABCD已知:四边形ABCD是正方形.正方形的性质

我思,我进步4定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.求证:(1).AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO;(2).AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.证明:∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.∴AO=CO,BO=DO;AC=BD;∵四边形ABCD是正方形,AC⊥BD;AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.ABCDO正方形的判定

我思,我进步4定理:有一个角是直角的菱形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可.证明:∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.∴∠A=∠B=∠C=900.∴四边形ABCD是矩形.∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,∵AB=BC,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900.ABCD正方形的判定

我思,我进步4定理:对角线相等的菱形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可.证明:∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.∵AB=BC,∵四边形ABCD是菱形,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.ABCDO正方形的判定

我思,我进步4定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对角线相等的菱形)即可.证明:∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.∵∠ABC=900.∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD.ABCDO菱形的性质定理:菱形的四条边都相等.定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.回顾思考∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD.∵AC,BD是菱形ABCD的两条对角线.∴AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.CBDADBCAO菱形的判定定理:四条边都相等的四边形是菱形.定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.回顾思考在四边形ABCD中,∵AB=BC=CD=AD,∴四边形ABCD是菱形.∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,AC⊥BD.∴四边形ABCD是菱形.CBDADBCAO正方形的性质定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.回顾思考∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA.∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD;AC⊥BD;AO=CO,BO=DO;AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.ABCDABCDO正方形的判定定理:有一个角是直角的菱形是正方形.定理:对角线相等的菱形是正方形.定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.回顾思考∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,∴四边形ABCD是正方形.∵四边形ABCD是菱形,AC=DB.∴四边形ABCD是正方形.∴四边形ABCD是正方形.ABCDABCDO∵四边形ABCD是矩形,AC⊥BD,知识的升华独立作业习题8.