模块一 数字电路逻辑控制表示

武汉职业技术学院机电学院黄京数字电子技术模块一数字电路逻辑控制表示

1.1什么是数字电路1.2逻辑代数基础1.3逻辑代数的基本定律和规则1.4逻辑函数的化简主要要求：

了解数字电路的特点和分类。掌握各种进制及它们之间的相互转换。1.1什么是数字电路

模拟电路是传递、处理模拟信号的电子电路

数字电路是传递、处理数字信号的电子电路数字信号时间上和幅度上都不连续变化的信号

模拟信号时间上和幅度上都连续变化的信号数字电路中典型信号波形1、模拟信号与数字信号1.1.1几个基本概念数字电路中只有两种状态，如真与假、开与关、高与低、有与无等，这两种状态可分别用0和1来表示。双极型数字集成电路单极型数字集成电路根据半导体的导电类型不同分为以双极型晶体管作为基本器件以单极型晶体管作为基本器件例如

CMOS、NMOS等例如TTL、ECL2、模拟电路与数字电路现代数字电路一般为集成电路。集成电路是将晶体管、电容、电阻等元器件和导线通过半导体制造工艺做在一块硅片上而成为一个不可分割的整体电路。集成电路分类集成度电路规模与范围小规模集成电路SSI1-10门/片或10-100个元件/片逻辑单元电路包括：逻辑门电路、集成触发器中规模集成电路MSI10-100门/片或100-1000个元件/片逻辑部件

包括：计数器、译码器、编码器、数据选择器、寄存器、算术运算器、比较器、转换电路等大规模集成电路LSI100

-

1000

门/片或

1000

-100000

个元件/片数字逻辑系统包括：中央控制器、存储器、各种接口电路等超大规模集成电路VLSI大于1000门/片或大于10万个元件/片高集成度的数字逻辑系统

例如：各种型号的单片机，即在一片硅片上集成一个完整的微型计算机根据集成密度不同分为便于高度集成化工作可靠性高、抗干扰能力强数字信息便于保存集成电路成本低、通用性强保密性好数字电路的优点模拟信号：在一定电压范围内连续变化的信号。数字信号：由离散电平组成的信号。小结二进制码数制不同数制之间的相互转换1.1.2数制和二进制码按进位规则进行计数的体制

1、

数制

数制中采用数码的个数为该数制的基数：

十进制的基数为10，数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、92×101

4×100

1×10-1

3×10-2权权权

权(24.13)10

10i

称十进制的权

10称为基数

0~9

十个数码称系数数码与权的乘积，称为加权系数十进制数可表示为各位加权系数之和，称为按权展开式

(246.134)10

=2×102+4×101

+6×100

+1×10-1+3×10-2

+4×10-3二进制的基数为2，数码：0、1十六进制的基数为16，数码：0~9、A、B、C、D、E、F

例如0+1=11+1=1011+1=10010–1=1

2、

不同数制之间的相互转换

(xxx)2或(xxx)B

例如(1001.01)2或(1001.01)B

数码：0、1进位规律：逢二进一，借一当二权：2i

基数：2

系数：0、1按权展开式表示

(1001.01)2=1×23+0×22

+0×21+1×20+0×2-1

+1×2-2

将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。=8+0+0+1+0+0.25

(1001.01)2=(9.25)10

=9.25(1001.01)2=1×23+0×22+0×21

+1×20

+0×2-1

+1×2-2二进制举例

八进制

十六进制

进制数的表示计数规律

基数

权

数码八进制

(Octal)

(xxx)8或(xxx)O逢八进一,借一当八

8

0~7

8i

十六进制(Hexadecimal)

(xxx)16

或(xxx)H

逢十六进一，借一当十六

160

~

9、A、B、C、D、E、F

16i例如

(425.25)8=4×82+2×81+5×80+2×8-1+5×8-2=256+16+5+0.25+0.078125=(277.328125)10

例如(3C1.C4)16=3×162+12×161+1×160+12×16-1+4×16-2=768+192+1+0.75+0.015625=(961.765625)10

二、不同数制间的关系与转换

十进制、二进制、八进制、十六进制对照表不同数制之间有关系吗？77011176601106550101544010043300113220010211000110000000十六八二十F17111115E16111014D15110113C14110012B13101111A121010109111001981010008十六八二十（1）十进制转换为R进制

整数和小数分别转换整数部分：除R取余法①将给定的十进制整数除以R，余数作为R进制数小数点前的最低位。②把前一步的商再除以R，余数作为次低位。③重复步骤②，记下余数，直至商为0，最后的余数即为R进制的最高位。小数部分：乘R取整法①将给定的十进制小数乘以R，整数作为R进制数小数点后的最高位。②把前一步的积再乘以R，整数作为次高位。③重复步骤②，记下整数，直至最后积为0或达到一定的精度。十进制二进制[例1]（47）10＝（？）24721232111251221210201最高位MSB最低位LSB（47）10＝（101111）2(26)10=(11010)2

一直除到商为0为止

读数顺序［例2］将十进制数(26)10转换成二进制

商

01361326余数11010÷2［例3］将十进制数(26)10转换成八进制数

商

0326余数32÷8(26)10=(32)8(0.875)10=(0.111)2一直乘到积为0或达到一定的精度

［例4］将十进制数(0.875)10转换成二进制数1.500

1

整数1.750

1

×2

×21.000

1

×2读数顺序0.875（2）R进制转换成十进制按权展开求和［例5］将二进制数

(11010.011)2转换成十进制数

(11010.011)2=1×24

+1×23

+0×22

+1×21

+0×20+0×2-1

+1×2-2

+0×2-3=16+8+0+2+0+0.25+0.125=(26.375)10

［例6］将八进制数(137.504)8转换成十进制数

(137.504)8=1×82

+3×81

+7×80

+5×8-1+0×8-2+4×8-3=64+24+7+0.625+0+0.078125=(95.6328125)10［例7］将十六进制数(12AF.B4)16转换成十进制数

(12AF.B4)16=1×163

+2×162+10×161

+15×160+11×16-1

+4×16-2=16+8+0+2+0+0.25+0.125=(26.375)10

（3）基数R为2K的各进制之间的转换

每位八进制数用三位二进制数代替，再按原顺序排列。八进制→二进制

二进制→八进制

从小数点开始，整数部分向左(小数部分向右)三位一组，最后不足三位的加0，补足三位，再按顺序写出各组对应的八进制数。

一位八进制数对应三位二进制数，因此二进制数三位为一组。

一位十六进制数对应四位二进制数，因此二进制数四位为一组。十六进制→二进制:

每位十六进制数用四位二进制数代替，再按原顺序排列。二进制→十六进制:

从小数点开始，整数部分向左(小数部分向右)四位一组，最后不足四位的加0，补足四位，再按顺序写出各组对应的十六进制数。(10100110.1110101)2=(246.724)8

补0（1）(10100110.1110101)2=(?)8

10100110.1110101

000

246724补010100110111010［例8］将下列二进制数分别

转换成八进制数或十六进制数(10010100111.11001)2=(4A7.C8)16

（2）(10010100111.11001)2=(?)16

10010100111.11100100

4A7C80

补010010100111111001补01［例9］将下列数

转换成二进制数

(537.361)8=(101011111.011110001)2

=(101011111.011110001)2(4B5D.97D)16=(0100101101011101.100101111101）2=(100101101011101.100101111101)2

小结：数制及其转换十进制（289）10基数十进制数码：二进制二进制→十进制：（1011.01）2二进制数码：＝2×102＋8×101＋9×1000～9＝1×23＋0×22＋1×21＋1×20＋0×2-1＋1×2-2＝（11.25）100，1各位位权值各位数码八进制[例10]：（1110010.0101）2＝（？）81110010.01010016224（1110010.0101）2＝（162.24）8八进制数码：0～700十六进制[例11]：(4A.CF)16=(?)24A.CF0100101011001111十六进制数码：0～15（其中10～15用A～F表示）(4A.CF)16=(1001010.11001111)23、二进制码

（1）BCD码：用4位二进制数表示1位十进制数码（0-9）8421BCD码就只有0~9；而四位自然二进制数，可有0~F。0～9，两种数的形式是相同的；A~F，只有四位自然二进制数才具有。

（2）ASCII码：用7位二进制编码，表示27=128个字符。主要要求：

掌握三种基本逻辑函数及运算掌握逻辑函数及其表示法1.2逻辑代数基础1.2.1基本逻辑函数及运算与运算或运算非运算复合逻辑元算如图所示是一个与逻辑实际电路，图中有两个开关，只有当开关全部闭合时，灯才亮。只有当决定某一事件（如灯亮）的条件（如开关闭合）全部具备时，这一事件才会发生。我们把这种因果关系称之为与逻辑关系。1、与运算与逻辑设A(B)=1闭合0断开L=1灯亮0灯灭真值表输入输出ABL000100010111L=A·B与运算表达式ABL&与门逻辑符号如图所示是一个或逻辑实际电路，图中有两个开关，只要开关有一个闭合，或者两个都闭合，灯就会亮。只要在决定某一事件（如灯亮）的条件（如开关闭合）中，有一个或几个条件具备时，这一事件就会发生。我们把这种因果关系称之为或逻辑关系。2、或运算或逻辑或逻辑真值表000101101111ABLL=A+B或逻辑运算表达式或门逻辑符号ABL≥1如图所示是一个非逻辑实际电路，当开关闭合时，灯灭，反之，当开关断开时，灯亮。事件（如灯亮）发生的条件（如开关闭合）具备时，事件（如灯亮）不会发生，反之，事件发生的条件不具备时，事件发生。这种因果关系称之为非逻辑关系。3、非运算非逻辑真值表输入输出AL1001LA=非逻辑表达式非门逻辑符号LA1111LAB000001010有0出0；全1出1

000111LA

B101110有1出1；全0出0

AL0110进1出0；进0出1

与逻辑真值表及逻辑规律或逻辑真值表及逻辑规律非逻辑真值表及逻辑规律与、或、非运算小结1、逻辑函数

一般，人们称决定事物的因素为逻辑自变量，而称事物的结果为逻辑因变量，被概括的以某种形式表达的逻辑自变量和逻辑因变量的函数关系称为逻辑函数。1.2.2逻辑函数及其表示方法

逻辑自变量（输入逻辑变量）和逻辑因变量（输出逻辑变量）统称为逻辑变量。逻辑变量用字母表示，其取值只有两个，1和0。这里1和0不表示数量的大小，只表示变量两种对立的状态，比如真和假、是和非、有和无、高和低、开和关等。如果对应于输入逻辑变量A、B、C、…的每一组确定值，输出逻辑变量Y都有唯一确定的值与之对应，则Y是A、B、C、…的逻辑函数。记为Y=f（A、B、C、…）。逻辑变量、逻辑函数

逻辑函数表达式是实际逻辑问题的抽象表达，是由逻辑变量和逻辑运算符号连接起来所构成的式子。

与、或、非逻辑的运算符分别为：“·”、“+”、字母头上加一横。在逻辑表达式中，等式右边的字母是输入逻辑变量，等式左边的字母是输出逻辑变量。逻辑函数的表示形式有逻辑函数表达式、真值表、逻辑图和卡诺图，它们之间可以互相转换。

与逻辑表达式

Y=A·

B

或

Y=AB或逻辑表达式

Y=A+

B非逻辑表达式Y=A

2、逻辑函数的表示方法（1）逻辑函数表达式

对于输入变量的不同取值（n个输入变量的函数有2n个取值组合），输出变量均有与其相对应的逻辑值。把输入、输出变量所有相互对应的逻辑值（状态）列在一个表格内，这种表格称为逻辑函数真值表，简称真值表。真值表中，输入变量按二进制数序列顺序由上而下排列，输出变量是实际逻辑事件含义（因果关系）的逻辑值。2、真值表

数字电路中常采用一些符号图形表示常用的逻辑关系，这些符号图形叫做逻辑关系的逻辑符号。与、或、非三种基本逻辑关系的逻辑符号，如图所示。

与门ANDgate

或门ORgate

非门NOTgate又称“反相器”3、逻辑图

人们在研究实际问题时发现，事物的各个因素之间的逻辑关系往往要比单一的与、或、非复杂得多。不过它们都可以用与、或、非的组合来实现。含有两种或两种以上逻辑运算的逻辑函数称为复合逻辑函数。逻辑运算的优先级从低到高依次为：小括号、非、或、与。逻辑图：逻辑图是逻辑函数的表示形式之一。若已知逻辑函数的逻辑表达式，把逻辑表达式中的各逻辑运算用相应门电路的逻辑符号代替，就可画出和逻辑表达式相对应的逻辑图。补充：复合逻辑常用复合逻辑运算

与非逻辑(NAND)先与后非若有

0出

1，若全

1

出

0100011YA

B101110011或非逻辑(NOR)先或后非若有

1出

0，若全

0

出

1100YA

B001010与或非逻辑(AND–OR–INVERT)先与后或再非异或逻辑(Exclusive–OR)若相异出1若相同出0同或逻辑(Exclusive-NOR，即异或非)若相同出1若相异出0000011YAB101110100111YAB001010注意：异或和同或互为反函数，即常用复合逻辑运算的逻辑符号

与非逻辑或非逻辑与或非逻辑

异或逻辑

同或逻辑复合逻辑函数小结

名称与非门或非门与或非门异或门同或门逻辑符号逻辑表达式&AYBAYB1=1AYBY=

1ABAYB&1CDY

AB=Y

A

B=+Y

ABCD=+YABAB=+AB=BAABY+==A⊙B

逻辑代数是逻辑学家乔治·布尔创立的，又称为布尔代数。

逻辑代数与普通代数相似之处在于它们都是用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。不同的是，逻辑代数描述的是逻辑关系，逻辑函数表达式中的逻辑变量的取值和逻辑函数值都只有两个值，即0和1。这两个值仅表示两种相反的状态，如开关的闭合与断开；电位的高低；真与假等。因此，逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则。1.3逻辑代数的基本规律和规则1、公理

0+A=A1+A=11·A=A0·A=0A+A=AA·A=A

1.3.1逻辑代数的基本定律2、基本定律

交换律

A+B=B+AA·B=B·A结合律(A+B)+C=A+(B+C)(A·B)·C=A·(B·C)分配律

A(B+C)=AB+AC

A+BC=(A+B)(A+C)

普通代数没有！吸收律A+AB=A

A+AB=A(1+B)=A冗余律扩展：0011111011011100A+BA·BA

B0011001000011100A·BA+BA

B推广公式：摩根定律(又称反演律)

1.

代入规则

从而摩根定理得到扩展

将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。摩根定理的两变量形式为

B均用BC代替1.3.2逻辑代数的基本规则变换时注意：①保持变换前的运算优先顺序不变，必要时加括号表明运算的先后顺序。②不属于单个变量上的反号应保留不变。2.反演规则

对任一个逻辑函数式Y，将“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数。【例1.2.1】

求下列函数的反函数3.对偶规则

对任一个逻辑函数式Y，将“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到原逻辑函数式的对偶式Y。

对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。

【例】求下列函数的对偶函数（1）公理①⑤②③④A

0若，A1,若A0=则则A1=逻辑代数小结（2）基本定律定律名称逻辑代数表达式交换律结合律分配律0、1律互补律重叠律反演律（德.摩根定律）还原律吸收律还原律冗余律AB=BAA+B=B+AA(BC)=(AB)CA+(B+C)=(A+B)+CA(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)1•A=A0•

A=00+A=A1+A=1AA=AA+A=AA+AB=AA+A=1AB=A+BA

A=A+AB=A+BA(A+B)=AA(A+B)=ABAB+AB=A(A+B)(A+B)=AAB+AC+BC=AB+ACBA·BA=+（3）3个规则①代入规则：

在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边出现的所有同一变量都以一个相同的逻辑函数代入，则等式仍然成立。例：ABC=++BCBC②对偶规则“对偶式”对于一个逻辑表达式Z,将Z中：“•”→“＋”“＋”→“•”“1”→“0”“0”→“1”得到一个新的逻辑表达式Z’，则Z与Z’互为“对偶式”。“对偶规则”：当某等式成立时，其等式两边的对偶式也成立。例：则：③反演规则：对于一个逻辑表达式Z，将Z中：“•”→“＋”“＋”→“•”“1”→“0”“0”→“1”“原变量”→“反变量”“反变量”→“原变量”得到一个新的逻辑表达式例：则：主要要求：

1.4逻辑函数的化简了解逻辑函数的卡诺图化简法。理解最简与-或式的标准。

了解逻辑函数的公式化简法。

逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间可以相互变换。1、逻辑函数的变换

【例如】

与或表达式

或与表达式

与非-与非表达式

或非-或非表达式

与或非表达式逻辑函数相等

设有两个逻辑函数，Y1=f（A、B、C、…），Y2=g（A、B、C、…），它们的变量都是A、B、C、…，如果对应于A、B、C、…的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和Y2是相等的，记为Y1=Y2。

显然，若两个逻辑函数相等，那么它们的真值表一定相同；若两个函数的真值表完全相同，那么这两个函数一定相等。这个概念为逻辑函数的化简提供了基础。最简与或表达式的标准:

逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少最简与或表达式用与门个数最少与门的输入端数最少

运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。并项法

运用，将两项合并为一项，并消去一个变量。1.4.1公式化简法吸收法利用A+AB

=A，消去多余项。利用，消去多余项。配项法利用

，为某一项配上所缺的变量，以便用其他方法进行化简。利用A+A=A，为某项配上其所能合并的项。消去冗余项法利用，将冗余项BC消去。利用公式，将两项合并成一项，例如：(2)吸收法利用公式A+AB=A和将多余项吸收，例如，（1）并项法B⊙C]=A公式化简法小结利用公式，消去多余因子，例如，（4）配项法利用公式使一项变两项，然后在与其他项合并化简，例如，实际化简时，一般应综合上述几种方法，灵活应用进行化简。（3）消去法1.4.2卡诺图化简法一、最小项和最小项表达式三变量函数的所有最小项真值表变量全部最小项ABC0000010100111001011101111000000001000000001000000001000000001000000001000000001100000000逻辑函数的最小项

如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准乘积项，又叫最小项。

根据最小项的定义，一个变量A可以组成2个最小项:；两个变量A、B可组成4个最小项：；三个变量A、B、C可组成8个最小项:

一般地，n个变量可组成2n个最小项。

为了叙述和书写方便，通常用符号来表示最小项。其中下标i是这样确定的：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定的后，可以按顺序排列成一个二进制数，与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。如：

按照这个原则，三变量的8个最小项可分别表示为：

如果一个逻辑函数的某两个最小项只有一个变量不同，其余变量均相同，则称这样的两个最小项为相邻最小项。如：两个相邻最小项可以合并成一项并消去一个变量如：

逻辑函数的最小项表达式

每个逻辑函数都可以化成最小项之和的形式，这种表达形式称为函数的最小项表达式。逻辑函数的真值表和最小项表达式都是唯一的，由真值表可以很容易地写出函数的最小项表达式。Y的真值表如表所示。逻辑函数的真值表和最小项表达式都是唯一的，且是一一对应的，所以由真值表也可以很容易地写出函数的最小项表达式。写出逻辑函数的最小项表达式。用最小项编号来代表最小项，Y的最小项表达式可以写为：ABCY最小项0000m00011m10101m20111m31000m41011m51100m61110m7

写出函数的最小项表达式。解:二、卡诺图

将逻辑函数真值表中的最小项排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。

以格雷码排列以保证相邻性二变量卡诺图AB0101三变量卡诺图ABC0100011011四变量卡诺图ABCD0001111000011110特点：变量取值次序：循环码位置上反映：逻辑相邻性卡诺图的特点是：任意两个相邻的最小项在图中几何位置和对称位置上都是相邻的，即卡诺图中最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的，最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的。如何写出卡诺图方格对应的最小项？

已知最小项如何找相应小方格？例如

原变量取1，反变量取0。1001？ABCD0001111000011110

逻辑函数在卡诺图上的表示1.

如果已知某逻辑函数的真值表或者最小项表达式，那么只要在卡诺图上将该逻辑函数对应的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0，即得到该函数的卡诺图。用卡诺图表示下表所示的逻辑函数。

ABC

Y000001010011100101110111

100

1

10

10

1

1

1

1在卡诺图中对应于ABC取值分别为000、011、100和110的方格内填入1，其余填入0，即得到如图所示的卡诺图。m0m3m4m6用卡诺图表示逻辑函数：Y（A，B，C，D）=∑m（1，3，4，6，7，11，14，15）在与最小项m1、m3、m4、m6、m7、m11、m14、m15相对应的方格内填入1，其余填入0，即得该函数的卡诺图2.如果已知逻辑函数的一般逻辑表达式，可先将该函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后找出函数的每一个乘积项所包含的最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子），再在与这些最小项对应的方格内填入1，其余填入0，即得到该函数的卡诺图。用卡诺图表示逻辑函数：

其中

同理

11

对应最小项为同时满足B

=0,D

=1的方格。111

对应最小项为同时满足A=0，

C=0的方格。三、卡诺图化简例：画出函数的卡诺图。解:

Z为三变量函数，所以先画出三变量卡诺图的一般形式，然后在该图中对应于最小项编号为1，3，6，7的位置填入1，在其余位置填0或空着，即可得到函数Z的卡诺图，如下图所示。ABC01000111101111合并最小项规则规则1：卡诺图中两个相邻的1方格可以合并成一个与项，并消去一个变量。BCBCA010001111011A010001111011(a)(b)(c)(d)两个相邻1方格的合并举例ABCD000111100001111011ABCD000111100001111011规则2：卡诺图中4个相邻的1方格可以合并成一个与项，并消去两个变量。（a）(b)(c)(d)(e)(f)规则3：卡诺图中8个相邻的1方格可以合并成一个与项，并消去3个变量。(a)(b)(c)ABCD000111100001111011111111ABCD000111100001111011111111ABCD000111100001111011111111

1.卡诺图上任何2个相邻最小项，可以合并为一项并消去1个变量。

2.卡诺图上任何4个相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。

3.卡诺图上任何2n个相邻最小项，可以合并为一项，并消去n个变量。卡诺图化简规则小结化简原则（1）所有的1方格必须被圈过。（2）卡诺圈中包含的1方格应尽量多，但要保证圈中的1方格具有相邻性，且1方格的个数为2n。（3）每个卡诺圈中必须包含至少一个未被其他卡诺圈圈过的1方格，否则这个圈是多余的。化简步骤（1）圈出孤立的1方格（即没有相邻的1方格）；（2）圈出只能按唯一路径合并的两相邻1方格，对于多于一条路径可合并成一组的两相邻1方格，暂不管它；（3）圈出只能按唯一路径合并的4个相邻1方格，对于多于一条路径可合并成一组的4个相邻1方格，暂不管它；（4）对于8个相邻的1方格组，重复以上步骤；（5）将剩下的未被圈入的1方格按照卡诺圈的个数尽量少、卡诺圈中的1方格尽量多且尽可能包含多的未被圈过的1方格的原则将它们圈起来。例：用卡诺图化简下列逻辑函数。①

ABCD0001111000011110111111111●●