电力系统第四章

第四章电力网络的数学模型节点导纳矩阵网络方程的解法节点阻抗矩阵2023/1/15数学模型：对电力系统运行状态的数学描述将物理现象的分析-〉某种形式的数学问题电力网络模型、发电机模型、负荷模型网络元件（线路/变压器）：恒定参数的等值电路发电机：给定电势源的恒参数支路负荷：恒定阻抗、异步电动机……电力系统稳态：一组代数方程组描述建立、求解2023/1/15电力系统数学模型2023/1/153哪些是已知量？需要知道哪些量?如何求解？电路线性代数支路电流法网孔电流法回路电流法节点电压法基尔霍夫定律（KCL，KVL）2023/1/15电路图的解法节点方程母线电压为待求量基尔霍夫电流定律列写方程母线电压可唯一地确定网络的运行状态根据母线电压，可计算母线功率/支路功率和电流2023/1/154-1、节点导纳矩阵网络参数节点注入电流母线电压母线功率支路功率支路电流2023/1/15电力网络→电路图G G 1243

→

→y24I1·I44y1212y203y23y34y’10y’40●y40+_y24+_4y10。y1212y203y23y34·1E2023/1/15节点方程的列写y24I1·I44y1212y203y23y34y’10y’40●2023/1/15节点方程的列写I4y244y1212y203y23y34y’10I1y’40·.2023/1/15节点导纳矩阵可由网络接线图和支路参数直接求得接于节点i、j间的支路互导纳为负值计算简单，稀疏矩阵(直接并联的支路平均不超过3～4个)2023/1/15节点导纳矩阵2023/1/15节点导纳矩阵的物理意义定义：从节点i

注入网络的电流/

施加于节点i的电压条件：除i以外所有节点都接地Yii=yi0+∑yij如果i、k之间无支路直接连接：Yik=02023/1/15以书本p71图4-1（c）为例子(以节点2为例，并简化了该节点部分)2023/1/15节点2以外电压为0Y22=y12+y23+y24+y20y2404y1223y23y34y10V2y4000＋－y20y24I4I1·4y1212y203y23y34y’10y’40节点导纳矩阵的物理意义定义：从节点i注入网络(其他节点)的电流/

施加于节点k的电压除k以外所有节点都接地Yik=Yki=－yiji、k之间无支路直接连接：Yik=02023/1/15节点导纳矩阵的物理意义以书本p71图4-1（c）为例子(以节点2为例，并简化了该节点部分)2023/1/15节点2以外电压为0电流由1到2y24I4I1·4y1212y203y23y34y’10y’40400y24y1223y34y10V2y40y2301+-y20变压器等值网络2023/1/15pqz导纳矩阵：取决于网络参数网络接线改变－〉节点导纳矩阵改变网络接线改变后的导纳矩阵完全重新计算在原有基础上修改只需少量计算两种情况从一个节点引出一条新的支路，并增加一个节点两个节点之间新增一条支路在两个节点之间切除一条支路2023/1/15节点导纳矩阵的修改节点数+1支路数+1导纳矩阵增加一行一列对角线元素：Ykk=ykk非对角线元素：Yik=Yki=-yik其余非对角线元素为零原有部分仅修改节点i自导纳2023/1/152)从节点i引出一条新支路i

k，新增节点kikyik不增加节点导纳矩阵阶次不变只需修改与节点i、j有关的部分元素2023/1/151)两个节点i、j之间新增一条支路ijyij相当于在之间增加导纳为-yij的支路不增加节点导纳矩阵阶次不变只需修改与节点i、j有关的部分元素2023/1/153)两个原有节点i、j之间切除一支路ijyij支路间存在互感时的节点导纳矩阵

2023/1/15○○●●○○●●

﹜zmpqrs（4－10）支路间存在互感时的节点导纳矩阵

或写成2023/1/152023/1/1523节点导纳矩阵、实际系统、等值电路的对应关系？包含哪些信息？高斯消去法基本原理高斯消去法求解网络方程高斯消去法的物理意义(星网变换)高斯消去法简化网络4.2网络方程的解法2023/1/1525怎样求解三元一次方程组？已知网络参数和节点注入电流，求节点电压线性方程——高斯消去法问题的提出逐步消元把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组用回代法解此三角形方程组高斯消去法基本原理方程（I）乘（-3/2）后加到方程（II）上去方程（I）乘（-4/2）后加到方程（III）上去可消去方程（II）、（III）中的x1，得同解方程组高斯消去法举例(III)+(II)*6消去高斯消去法举例x3=2x2=8x1=-13回代高斯消去法基本原理高斯消去法求解网络方程高斯消去法的物理意义(星网变换)高斯消去法简化网络4.2网络方程的解法高斯消去法求解网络方程消元回代高斯消去法求解网络方程第一次消元高斯消去法求解网络方程第2次消元高斯消去法求解网络方程第k次消元高斯消去法求解网络方程第n次消元高斯消去法基本原理高斯消去法求解网络方程高斯消去法的物理意义(星网变换)高斯消去法简化网络4.2网络方程的解法2023/1/1537高斯消去法和实际系统什么关系？高斯消去法的物理意义：第一次消元网络降一阶-(n-1)消去节点1高斯消去法的物理意义：第2次消元网络再降一阶-(n-2)再消去节点2高斯消去法的物理意义：第n-1次消元网络再降一阶消去节点n-1只剩一条支路一个节点（不包括地）依次消去一个节点，直到只剩一个节点。修改导纳矩阵，修改电流源注入电流计算最后一个节点的电压依次回代，计算其它节点的电压高斯消去法的物理意义：3条支路的星网变换消去一个节点：星网变换R1=三角形三边电阻之和R12R31三角形三边电阻之和R12R2=R23三角形三边电阻之和R31R3=R23R12=R3R1R2R2R3R3R1++R23=R1R1R2R2R3R3R1++R31=R2R1R2R2R3R3R1++Y→ΔR3R1R2123i1i2i3R12R23R31Δ

→YY和Δ之间可以互相变换消去一个节点：星网变换3条支路的星网变换导纳形式参数y3y1y2123i1i2i3y12y23y31Y→ΔΔ

→Y任意节点数网络的星网变换包括对地支路星网变换中中心节点电流的移置星网变换中中心节点电流的移置对以节点1为中心的星形网进行星网变换相当于：消去节点1同时，修改导纳矩阵，并对电流源进行移置任意节点数网络的星网变换导纳矩阵的修改：任意节点数网络的星网变换中心节点电流的移置:

对以节点1为中心的星形电力进行星网变换相当于高斯消去法中的第一次消去运算利用星网变换方法，依次消去一个节点直到只剩一个非地节点可以一次消去多个节点化简网络，消去不关心的节点联络节点/浮游节点高斯消去法的物理意义4-3节点阻抗矩阵2023/1/1551节点阻抗矩阵和节点导纳矩阵什么关系？二者的异同？4-3节点阻抗矩阵电力系统中计算中，节点方程也常写成阻抗形式，由：展开成由节点阻抗矩阵的物理意义从节点k向整个网络看进去的对地总阻抗把节点k作为一端，参考节点为另一端，从这两个端口看进去的无源两端网络地等值阻抗ii=k时自阻抗

节点k单独注入电流，其他节点注入电流为零

节点k产生电压/注入电流节点阻抗矩阵的物理意义节点阻抗矩阵的物理意义k!=i时,节点i、k之间的互阻抗1。节点k单独注入电流，其他节点注入电流为零2。节点i产生电压/注入节点k电流节点阻抗矩阵的物理意义以书本p71图4-1（c）为例子(以节点2为例，并简化了该节点部分)·I4z244z12123z23z34z10I1z40.节点2单独注入电流其他节点注入电流为零z244z12123z23z34z10I2z40.节点阻抗矩阵的物理意义自阻抗Z22等效电路2z121z10I2Z20=Z24//(Z23+Z34)+Z40则：（其中，Z20=Z24//(Z23+Z34)）+Z40节点阻抗矩阵的物理意义互阻抗Z122z121z10I2Z20=Z24//(Z23+Z34)

+Z40等效电路则：（其中，Z20=Z24//(Z23+Z34)

+Z40）其他互阻抗方法类似节点阻抗矩阵的物理意义由此可见：1节点阻抗矩阵元素计算很复杂，不可能从网络接线图和支路参数直观地求出；2阻抗矩阵没有零元素，是一个满矩阵节点阻抗矩阵的物理意义常用求取阻抗矩阵方法主要有两种：以上述物理概念为基础的支路追加法2从节点导纳矩阵求取逆阵1根据物理意义直接求解支路追加法阻抗矩阵的形成方法逐步增加支路扩大阻抗矩阵的阶次某一个与地相连的支路整个系统的节点阻抗矩阵(体会该方法的思路即可)注意:在追加过程中，阻抗矩阵元素的计算和修正始终是以自阻抗和互阻抗的定义作为依据的从导纳矩阵求逆

<线性代数>各种求逆矩阵的方法阻抗矩阵的形成方法线性方程组的求逆法阻抗矩阵的形成方法将阻抗矩阵和单位矩阵都按列分块第j个将YZ=1展开阻抗矩阵的形成方法物理意义：节点注入流节点电压只有节点j注入单位电流，其余节点电流都为零时，网络各节点的电压在数值上就同阻抗矩阵的第j列的对应元素相等阻抗矩阵的形成方法求解方法：对Y阵LDU分解：分解成三个方程组：阻抗矩阵的形成方法计算公式：由于节点导纳矩阵是对称矩阵，则：阻抗矩阵的形成方法4-6题图如右所示为一5节点网络，已知各支路阻抗标幺值及编号顺序，（1）形成节点导纳矩阵Y；（2）对Y阵进行LDU分解；（3）计算与节点4对应的一列阻抗矩阵元素。j0.2j1j0.5j0.3j0.15j0.4j0.2523451解：（1）阻抗矩阵的形成方法（2）对Y矩阵进行LDU分解：d11=Y11=-j5.33;u12=0;u14=0;u13=Y13/d11=j3.33/(-j5.33)=-0.38;u15=Y15/d11=j3.33/(-j5.33)=-0.63；……其余计算类似阻抗矩阵的形成方法于是得到因子表如下其中下三角部分因子存L（=U的求反），对角线存D，上三角部分因子存U阻抗矩阵的形成方法（3）利用因子表计算阻抗矩阵第j列元素，需求解方程其余阻抗计算类似,得：Z34=j1.1;Z24=j1.1;Z14=j1.1f1=f2=f3=0;f4=1;f5=-l54f4=-(-1)*1=1；h1=f1/d11=0;h2=f2/d22=0;h3=f3/d33=0;h4=f4/d44=1/(-j6.4)=j0.16;h5=f5/d55=1/(-j1)=j1;Z54=h5=j1;Z44=h4-u45Z54=