概率统计基础讲义主讲王

第一章 概率论的基本概念问一、随机试验与随机事件并用字母EE1,E2,L表示。字母A，B，C等表示，为讨论需要，将每次试验一定发生的事件称为必然事件，记为， 间记为，即随机事件A总是由若干个基本事件组成，即A是的子集，AAB（BAAB相等（或等价AB之和（或并AUBAB的积（或交AIB（简记A-AAB互不相容（A互斥AIB1ABAUBAUBA2ABAAB3ABA例 设A，B，C为三个事件，试表示如下事件②AB③AB2（88）A，B，CAUCBUC（A） A B (D)若CA、B 概率论的概念及性质，古典概型与几①0P(A)②P()1,P()ABP(BAP(BPA，PA设随机试验E的样本空间1,2L,n，n为有限的正整数，且每个样本点PAm(1i,i n，即PA)有利于事件A的基本事件数 1

基本事件的总数PlL的长率P为PgG的面PUV的体m1m2nmn种，则完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种方法。n个步骤（n个步骤都完成，才能完成这件事若第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，…，第n步有mn种方法，则完成这件事共有N=m1m2mn种方法。nm(mnn个不mnm个元素的所有排列种数，记为Pmn(n1)L[n(m1)] (n从n个不同元素中全部取出的排列称为全排列，其排列的种数，记为Pnn(n1)L1n!nm个按照一定顺序排列成一列，其排列的种NnnLnnm个。nmnnm个元素的一个组合，其组合总数记为Cmn n(n1)L(nm1) Cmn m!(n例 已知P(A)0.4,P(B)0.3,P(AUB)0.6,则P(AB) 12（92）设A，B，C4

=0，

，则A，B，C至少出现一个的概率 8， 例4把10本书随意的放在书架上，则其中指定的5本书放在一起的概率 5（88）在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“。

65 条件概率、乘法定理、全概率公式与公P(BA)P(P(P(A)>01P(BA02P(A1,PAA3B1B2不相容时P[B1UB2/AP(B1AP(B2/A4P(A)>0P(BAP(BA)15ABP[(BACP(BCPAC6PAUBCPACP(BCPABCP(B)P(AP(B)P(A

P(A1A2LAn)P(AnA1LAn1)P(An1A1LAn2)LP(A3A1A2)P(

ni1,2,LnBP(BPAi)P(BAi四、公A1LAnPAi0,(i1,LnP(B0一事A(PA0

P(BjA)P(

PP(Bj)P(ABjnP(Bi)P(ABii

,(j1,注意：公式右边可这样：分母为全概率公式，是n项之和，分子是分母中的某1：AB独立AB互不影响P(AB)=P(A)P(BP(B/A)=P(B=P(AAB独立AB独立ABP(AB)P(2：若PACPA)P(CA、B、CP(BC)3A、B、C两两独立且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称A、B、C相互独立1（87）若二事件AB同时出现的概率P（AB）=0，则（A）A和B不相容（互斥 （B）AB是不可能事件（C）AB未必是不可能事件 （D）P（A）=0或例 设A，B，C三个事件两两独立，则A，B，C相互独立的充分必要条件（A）A与BC独立 （B）AB与AUC独立（C）AB与AC独立 1设A、B、C为三个事件，P(ABC)=0,0<P(C)<1，则有P(ABC)P(（C）P[(AUB)/C]P(A/C)P(B/

P(AUBUC)P(A)P(B)（D）P[(AUB)/C]P(A/C)P(B/例 设A、B是两个随机事件，且0<P(A)<1,P(B)>0,P(B|A)=P(B|A)，则有（A）P（A|B）=P(A （B）P（A|B）≠P(A（C）P（AB）= 例 的对立事件，那么积事件AB的概率P（AB 例2 例 某光光仪器厂制造的透镜第一次落下时打破的概率为1若第一次落下未打破2第二次落下时打破的概率为

4（96）AB1%2%AB厂的产品分60%40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次A厂生产的概率是。例5（98）袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率是 6（08）5010第二章一维随 分布律，分布函数，概率密度的概念及性质一 有关定义及主要结论 量X的分布函数F(x)PXx,(x（2）F(x1)F(x2),(x1x2limF(x)0,limF(x) F(x0)F(xF(x) XX x1x2Lxn （2）pkk(x),(x（1）(x)（2）(x)dx （3）P(xxx)x21F(x)(xx为(x的连续点x注：连续型随量的两个特性1、设X为连续型随量，a为常数，则P(xa)二、重点题型及解题方例1．设随量X的分布为P{Xk} k(k

(k1,2,L)，则系数A 2fx)

kx,0x1

为某随量X的密度函数，则k 例3（05）设连续型随量X的分布函数F(x)F(x)Asin

若x若0x2若x2则 6

例4设随量X的分布律为X0PaF(x)是X的分布函数，则a ，F(a) 例5某射手参加射击比赛，共有4发，为P，各次独立射击，求命中目标为止时射击次数X的分布律。例 在高为h的△ABC中任取一点P，P到底边AB的距离为X，求X的概率密度 关于利用已知分布求概率

PP ①如果每次试验只有两个结果AA，且在每次试验中A发生的概率都相等（P(A)p将这种试验独立重复n次，则称这种试验为n重试验nkPXkCkpkqnkk0,1,n服从二项分布X~B(np2，…

则在一次试验中成功次数X服从参数为p0-1分布：试验，则成功总次数X服从二项分布，既独立同分布的0-1分布的和为二项分布。

k

，k0,12,L0X服从参数为k nkkn很大，pPXkCnp(1

，其中npk2 e2 xxXX~N(0,1)(xx

e2②一般正态分布：若随量X的密度函数为：f(x) e2(x其中0，与均为常数，其分布函数F(x) e22 (x(0)1,(a)12X~N(,2x~N(0,1);P(xxx)(x2)(x1 量X的概率密度为f(x)b

ax

0,xbf(xxaab

xX的概率密度为(x) x

xxCnCkCnkP(Xk) MNMCnN

0knN,k二、重点题型及解题例1（00）设随量X的概率密度1f(x)

若x 若x 若k使得P{Xk

2,则k的取值范围 3例 设随量X的概率密度f(x)以YX的三次独立重复观察中事件{X

0x}出现的次数，则P{Y2} 2例3 e600f(x)=

若x0例4（02）设 量X服从正态分布N(,2)(0)，且二次方y24yX0无实根的概率为1，则 2例 X～（0102的近似值（要求小数点后取两位有效数字，已知(1.96)0.975。 一维随量函数的分Xx1x2Xx1x2LxkP p2LpkY y2LykY y2LykP yif(xi)(i1,2,Lyi互不相等时，Yyif(xi)(i1,2,L的各值不是互不相等时，应把相分别合并，并相应地将其概率相加，例如yi=yj，则Y的概率分布Yy2yiykPp2(pipjpk( 0.20.30.1例 33

，则Y=X2的分布律分别 例2设随量X的概率密度函数为ffYy

(x) (1x2

，求随量 例 设随量X的概率密度efX(x)

xx求 量YeX的概率密度fY(y)例4（99）设随量X服从指数分布，则随量Y=min{X,2}的分布函（A）是连续函 （D）恰好有一个间断例5（03）设随量X的概率密度 f(x)33x

第三 §1涉及基本概念的问1F(xyPXx,YyPXxI(Y①若X，Y为离散型 量，则P(Xxi,Yyj)P(Xxi)I(Yyj P(x1Xx2,y1Yy2)P(x1Xx2)I(y1Yy2二维随量（X，Y）的分布函y(x,x（1）0F(x,y)F(,)0，F(,)（3）F(xyF(x0,yF(xyF(xy0)y1Yy2Px1Xx2y1Yy2F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)F(x1,y1（X,Y）为离散（X,Y）为连续（X,Y）的联合分布P(Xxi,Yyj)pij,(i,j1,性质：（1）Pij0（2）piji1j（1）(x,y)0（2）(x,y)dxdy12F(x,y)（3） (x,y)（x,y）为(x,y的连续点（4）P(X,Y)G(x,G F(x,y)(u,YXYX y p1j p2jMM…… pij例2（98）设F1(x)与F2(x)分别为随量X1与X2的分布函数。为F(x)a1F1(x)bF2(x)是某一 a

3,b

a

2,b a

1,b

a

1,b mm1P{X1212m1P{Y1212X（C）P{XY}2

P{XY}（D）P{XY}

§2边缘分布，条件分布，随量的独立(x,y)dx Y F(y)(x, X F(x) Y(y)(x,X(x)(x,(xyP(Yyj)pijiP(Xxi)pijj（即联合分布律中第i行各元素相加PijP{Xxi,Yyj}(ij1,（X，Y）为离散（X，Y）为连续二维随量(X,Y)在条件Yyj下XPXxi,YyjPXxiYyjP(YyjPij(i1,设(X,Y)的概率密度为(x,y)，则在条件Y=yX的条件概率密(xy)(x,y)Y((yx)(x,XPXxi,YyjPYyjXxi P(Xxi其中Yy),X(xYX的边缘概率x(x, (xy) x (xy)dxX ( XYy(x, FYX(yx) YX(yX设随量(X,Y)的联合分布函数，边缘分布函数分别为F(x,y)及FX(x),FY(y)，若对所有的x,y都有F(x,y)FX(x)FY(y)，则称随量X与Y是相互独立的。（X，Y）为离散（X，Y）为连续X与Y相互独立pijpipj，pipX与Y的边缘分布律XY相互独立(xyX(x)Y几乎处处成立．其中X(x),Y(y)为边缘 若二维随量(X,Y)的联合密度(x,y)(x,y)D 其 若二维随量(X,Y)的联合密度 (x)2(x)(y)(y)22 11(x, 2 11

2

2 1 其中1,2 1则称(X,Y)服从二维正态分布记为(X,Y)~N(1,2,1,2, 二维正态分布的性质：设X,Y~N(,2,2 ①X~N(,2)，Y～N(2,2 C1XC2YC例 已知（X,Y）的分布YX12310203 的条件分布律；③Y=3时X例 设随量X

~

1(i 1 1 4

412

例3（99）已知随量X1和X2的概率分 X~

1 1, ~ 1 1 而且PX1X2=0}=1

4

21例 设两个随量X与Y相互独立且同分布，P（X=-1—）=P（Y=- 2

21P(XY)121（C）P(XY0)4

P(XY)1（D）P(XY1) 14例5（07）设二维随量（X，Y）的概率密度eyf(x,y)

0x求XfXP{XY1}例6（90）一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的（单位：千小时X和Y的联合分布函数为：F(x,y)1e-0.5xe0.5ye0.5(xy

若xy XYfYXy。§3二维随量函数的分一、二维随量函数的分布的方法fz(zFz fz(z)f(x,zx)dxf(zy,4X1X2LXn相互独立，分布函数F1x1F2x2LFn(xn)时，Umax(X1X2Xn的分布函数Fmaxz)F1z)F2z)LFn(z)，Vmin(x1x2Lxn的分布函数Fminz1F1(z)1F2z)L1Fn(z)X1,X2Xn独立同分布（设分布F(x

F(z)n； (z)11F二、重例 已知（X,Y）的分布YX12310203例2（05）设二维随量（X,Y）的概率密度

zmax(X,Y zmin(X,Yf(x,y)

0x1,0y12X 12X2PY 2 例3设X与Y独立且均在（0,a）Z=XY例4（03）设随量X与Y独立，其中X的概率分布 2 X~ 0.7 例5（01）设随机变量 和 的联合分布是正方形G{(x,y:1x3,1y3}的均匀分布。求随量U|XY|的概率密度p(u) （已知(1)0.8413第四章数字特征§1数学期望与方差的计算一维随量的数字特X量X量（平均值E(XX Lxi LpiEXxipi（要求绝对收收敛iX的密度函数为(x)，EXx(x)dx.（要求绝对收敛EX（1）E(C) （C为常数E(CX)CE(X)E(XC)E(X)CE(XY)E(X)E(Y)X与YEXYEX)E(YD(XE(XEX)2E(X2)E2(XD(XDX（1）D(C （C为常数（2）D(CX)D(X)D(X（3）D(CX)C2D(X)；D(X)D(X（4）X与YDXYDXD(Y矩Xk阶原点矩kE(Xk)xkp Xk阶原点矩k kE(X)x(x)dx二：重例 P（X=1）=0.2,P(X=2)=0.3,X的分布函F（xX例 设随量X的概率密度f(x)=1

若1x若0x则

其例 设X是一随量EX=μ，DX=σ2（μ，σ2>0是常数则对任意常数C必（A）E（X-C）2=EX2-（D）E（X-C）2≥E（X-[]例 设随量Y服从参数为λ=1的指数分布，随XXk

若Y若Y (k（1（X1，X2）（2）E（X1+X2例5（99）设 量，已知的分布律P(i1i1,2,3又设Xmax(,),Ymin(3写出二维随量（X，Y）的分布律例8（94）设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ，11012为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T（单元：元）与销售零件的内径X有如下关系。T

若X若10X 若X1XPXxiPi，则Yg(xE(Yg(xi)PXxiI2Xf(x，则Yg(xE(Yg(xf1、若X,Yf(xyE(Zg(xyf(xy)dxdy EXxf(xy)dxdyE(Yyf(xy)dxdy D(X)EX2(EX)2x2f(x,y)dxdyxf(x, D(Y)EY2(EY)2y2f(x,y)dxdyyf(x, 4 2、若(X,Y)为离散型随量，则先求Zg(X,Y)的分布律，再求Z的数学特征。 4 e(xy)F(x,y)

x0,y（2）EXY

其例3（02）假设随量U在区间[-2，2]上服从均匀分布，随X

若U若U

Y

若U若U2例4（06）设随量X和Y同分布，X的概率密度3x2f(x)

0x AXa}和BYa}独立,且P{AUB1X2几种重要分布的数学期望与方

3求常数a4P(Xk)pkq1k,k0p1，pqpP(Xk)Ckpkqnk,k0,1,2,L,n0p1，pq P(Xk) ,k0,1,2,L, (x)f(x) e22,0,x1,ax(x)b a2(ba)(x)ex x ,(0为参数 x11P(Xk)(1p)k1p,k1,2,L,0p1p1p重点题型例1设随量X服从参数为1的指数分布，则E(Xe2x) 例 已知随量X服从参数为2的泊松分布，且胡量Z=3X-2，则。3（95）X100.4，则E(X2) 例4（02）设随量X的概率密度 f(x)2cos2 0x

33，1，Y~N（2，1 6假设有十只同种电器元件，其中有两只废品。装配仪器时，从这批元件中任

§2协方差与相关Cov(X,YCov(X,YE[(XEX)(YEYE(XY)E(X)E(YCov(X,X)D(X)Cov(X,Y)Cov(Y,X)；Cov(X,C)0Cov(aX,bY)abCov(X,Y)Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y Cov(X,Y（1）1XY1，XYYX，XXXYXY01X与Y1线性相关，即aba0PXaYb E(XY)E(X)E(YDX1、D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)，特别当 与 独立时D(XY)D(X)D(Y)2CovX,Y0XY0EXYEX)E(YDXYDXD(Y3、XY独立XY0XY4、若X,YXY独立XY例 设 量（X，Y）在圆域x2y2r2上服从联合均匀分布求（X，Y）的相关系数XY例2（02）设 量X和Y的联