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第八章第二节偏导数一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数

一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。但多元函数的自变量不止一个，因此函数值与自变量之间的关系要复杂的多。因此我们首先考察相对简单的情况，即在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数意义下的变化率问题，这就是偏导数概念的由来。而且这类问题在实际应用中也是经常需要的。下面我们首先介绍偏导数的定义。定义1.在点的某邻域内有定义，如果极限设函数存在,的偏导数，记为则称此极限为函数同样可定义对y

的偏导数若函数z=f(x,y)在域D

内每一点

(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数

,记为或

y

偏导数存在,例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)偏导数的计算由偏导数的定义可知，求时把y

视为常数而对x

求导计算时仍然是一元函数求导的问题求时把x视为常数而对y

求导一元函数求导的法则?例1.

求在点(1,2)处的偏导数.例3.例2.

求的偏导数.

注：求分界点、不连续点处的偏导数要用定义来求。解：例4.偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，？但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.显然例5.高阶偏导数设

z=f(x,y)在域

D

内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数

.一般有下列四个二阶偏导数：类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于

x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于

x的

n–1阶偏导数,再关于

y

的一阶偏导数为其中第二，三个偏导数称为混合偏导数.例6.求函数的二阶偏导数及

例7.求函数的二阶偏导数通过观察可知上述2个例题的混合偏导数都相等。混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？定理：偏导数的几何意义几何意义:例8.求曲线在点(2,4,5)处的切线对于x轴的夹角。例9.求下列函数的偏导数P18.1

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