第3节极限的运算

§1.3极限的运算一、极限的四则运算法则二、两个重要极限

定理推论1

这意味着,常数因子可以提到极限符号的外面.一、极限的四则运算推论2

这意味着,求一个函数n次幂的极限等于该函数极限值的n次幂.[代数和的极限等于极限的代数和.例1求解

在对商求极限时,若分母不为0，商的极限等于先求极限后,再做除法.例2

解

商的法则不能用(消去零因子法)例3例4计算解当时,不能直接使用商的极限运算法则.但可采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子.解题技巧：将分子或分母有理化，去掉“零因子”！注意（1）运用极限法则时，必须注意只有各项极限存在（除式，还要分母极限不为零）才能使用；（2）如果所求极限呈现等形式不能直接使用极限法则，必须先对原式进行恒等变形（约分，通分，有理化，变量替换等），然后再求极限.定理2(复合函数的极限运算法则-----变量代换法则)

设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成

f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义若且在x0的某去心邻域内则意义:变量替换求极限的依据，则可作代换

说明:

若定理中则类似可得定理6(复合函数的极限运算法则-----变量代换法则)

设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成

f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义若且在x0的某去心邻域内则例5计算解令则函数构成的复合函数.因为且时所以可视为由复合函数极限求法设中间变量例6计算解令则且所以练习：P40第16题

定理1两个函数的和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商；条件是两个函数的极限必须存在，且在商的情形分母的极限要不等于零。若条件不满足，极限四则运算法则不成立。复习：极限的四则运算复习：定理2(复合函数的极限运算法则)

设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成

f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义若且在x0的某去心邻域内则，则可作代换，注：该定理表明，计算

数学中常常会对一些重要且有典型意义的问题进行研究，并加以总结，以期通过对该问题的解决来带动一类相关问题的解决，这里介绍的重要极限就体现了这样的一种思路，利用它们并通过函数的恒等变形与极限的运算法则，就可以使得两类常用极限的计算问题得到解决。二、两个重要的极限1.第一重要极限例1解求

第一重要极限

在使用该重要极限时，要注意它的特点，才能用起来得心应手，解决更多的求极限问题。第一重要极限的特点：（1）“”型；（2）“三位一体”现象：例2求解例3解求原式注意“三位一体”半角公式：例4求解例5解求令则当时,于是练习：P40第17题

2.第二重要极限1∞型x10-1050-50100-1001000-100010000-10000100000-1000001000000-1000000……2.592.872.692.752.702.732.7172.7202.71812.71842.718272.718302.718282.71828……第二重要极限在应用该极限时，首先要注意它的特点，以便更准确地解决此类极限。第二重要极限的特点是：（1）它是“1∞”型；（2）注:

代表相同的表达式第二重要极限在实际应用中,利用复合函数的极限运算法则,可将这个极限变形,例如,若则例1解求例2解求例3求解令则时,于是注:本例的结果今后常作为公式使用.例4解求练习：P40第18题(偶)3.连续复利问题（投资公司在计算投资增值时常用的模型）设初始本金为(元),年利率为按复利付息,1年末的本利和为2年末的本利和为k年末的本利和为若一年分次付息,则第年末的本利和为则第年末的本利和为一年计算一次复利复利：指在每经过一个计息期后，都要将所剩利息加入本金，以计算下期的利息。这样，在每一个计息期，上一个计息期的利息都将成为生息的本金，即以利生利，也就是俗称的“利滚利”。设初始本金为(元),年利率为按复利付息,一年分次付息,则第年末的本利和为若利用二项展开式即，一年计算m次复利的本利和＞一年计算一次复利的本利和，且复利计算次数越频繁，计算所得的本利和数额就越大。但不会无限增大，因为因为

这就是连续复利的计算公式.故，本金为按年利率不断计算复利,年后的本利和例一投资者欲用1000元投资5年,设年利率为试分别按单利、复利、每年按4次复利和连续复利付息方式计算,到第5年末,该投资者应得的本利和解按单利计算(元).按复利计算(元).单利：仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不计息按每年计算复利4次计算