天津大学812 自动控制原理课件 第5章 线性系统的频域分析法

第五章线性系统的频域分析法5-1引言时域信号可表示为不同频率正弦信号的合成控制系统频率特性反映正弦信号作用下系统响应性能频率分析法：应用频率特性研究线性系统的经典方法频率分析法特点：

1）系统分析和设计可用图解法进行；

2）频率特性物理意义明确，频域性能指标与时域性能指标有对应关系；

3）频域设计可兼顾动态响应和噪声抑制要求；

4）适用于线性定常系统，也适于某些非线性控制系统。5-2频率特性一、频率特性的基本概念1、正弦信号输入的响应线性系统传函：输入的正弦信号：拉斯变换：则有设传递函数的极点为由部分分式法可得：其中：

为系统的暂态分量，对于稳定的线性系统，其终值为0。因此系统的稳态分量为。可见系统的稳态分量仍为同频的正弦信号，但输出响应的幅值比和相位均发生变化，变化的程度由系统的传递函数和输入信号的频率确定。

决定输出响应的幅值变化，称为系统的幅频特性。决定输出响应的相位变化，称为系统的相频特性。称为系统的频率特性。2、系统频率特性与系统传递函数的关系。线性系统的频率特性与传递函间满足等式：

进而有：即为系统输出的傅氏变换与输入的傅氏变换之比。二、频率特性的几何表示方法1、幅频特性曲线和对数幅频特性表示系统输出、输入的幅值比与信号频率间的关系曲线。如：对于惯性环节，有则有，得幅频特性：特点：横坐标为角频率ω，单位为（rad/s)；纵坐标为幅值；幅频曲线为非线性曲线。对数幅频特性：横坐标为角频率ω，单位为（rad/s)，采用对数分度。纵坐标表示对数幅频特性的函数值，均匀分度，单位为（dB）。对数幅频特性定义为：

单位为分贝。角频率ω对数分度：按ω的对数值均匀分度，即用lgω分度。惯性环节：有

2、相频特性曲线和对数相频特性横坐标表示角频率，均匀分度；纵坐标表示相角，单位为度（°），均匀分度。表示系统响应的相角随输入信号角频率的变化关系。

对数相频曲线：横坐标为角频率ω，单位为（rad/s)，并采用对数分度。纵坐标表示相角，单位为度（°）,均匀分度。ω12345678910lgω00.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.95413、幅相特性曲线特点：把角频率看成参变量，将幅频和相频特性同时表示在复平面上。即在复平面上表示的函数曲线。由于幅频特性是ω的偶函数，而相频特性是ω的奇函数，则ω从0到的特性曲线，与ω从0到的特性曲线相对于实轴对称。因此，只需画出ω从0到的特性曲线。如：5-3曲型环节和开环系统频率特性一、比例环节

频率特性与角频率无关。幅相曲线：实轴上一点(K,j0)。幅频曲线：相频曲线：二、积分环节

幅频特性与角频率成反比，相频特性恒为-90°。幅相曲线：与虚轴的负半轴重合。幅频曲线：过对数坐标的（1，0）点，斜率为-20dB/dec（-20dB/十倍频）相频曲线：，相位滞后90°。三、微分环节

幅频特性与角频率成正比，相频特性恒为90°。幅相曲线：与虚轴的正半轴重合。幅频曲线：过对数坐标的（1，0）点，斜率为20dB/dec（20dB/十倍频）的直线。相频曲线：，相位超前90°。积分、微分环节幅频、幅相特性比较：两曲线关于角频率轴对称。四、惯性环节

有：幅相曲线：幅频曲线：当，，即当频率很低时，对数幅频特性为0dB线。当，，即当频率很高时，对数幅频特性为直线，斜率为-20dB/dec的直线。直线与0dB线交于点（即）。实际绘图时用两直线近似表示惯性环节的幅频特性，并称两直线交点为惯性环节的交接频率。近似幅频特性曲线误差：式中为准确值，为近似值。则有：线性系统的频域分析法五、一阶微分环节（比例微分环节）

幅相曲线：幅频曲线：相频曲线：惯性环节与一阶微分环节比较：它们的幅频特性曲线关于角频率轴对称，相频曲线也关于角频率轴对称。六、振荡环节传函：

则有（四象限反正切）振荡环节的谐振分析：令(称为无因次频率），则有从图可以看出，当ξ比较小时，幅频特性出现谐振峰值，峰值对应的频率称为谐振频率，而称为无因次谐振频率。随ξ减小而增大，最终趋于1。对幅频表达式求导并令其等于0，可得：（）{注意区分阻尼振荡频率，无因次阻尼振荡频率}从而求得谐振峰值

幅相曲线：对数幅频曲线：

有因此振荡环节的幅频特性可近似为0dB线和斜率为-40dB/dec的直线，两直线的交点为。相频曲线：

特点：当ω由0变化到时，相角由0°变化到-180°当时，相角为-90°；阻尼比ξ越小，则相频曲线在自然角频率处的斜率越大。七、二阶微分环节传函为则有（四象限反正切）幅相曲线：幅频曲线：相频曲线：

作为控制系统分析设计的工具必须满足如下条件：

1、能判定系统的稳定性；

2、能确定或估算系统的时域性能指标；

3、能从开环系统特性判定闭环系统的稳定性；

4、能从开环系统特性确定闭环系统的性能指标；

频率分析法特点八、开环幅相曲线绘制

1、频率特性展成实部、虚部形式

2、频率特性展成幅值、相角形式

3、利用开环零、极点分布图，采用图示法求频率特性的幅值和相角则有绘制概略开环幅相曲线方法：（1）求得，，，；（2）由的变化范围确定幅相曲线所在象限；（3）如，中有一项为无穷大，则确定其渐近线方向；（4）如有必要则补充转折频率处的幅值和相角；（5）求解幅相曲线与实轴、虚轴的交点；（6）如有必要则补充其它频率处的幅值、相角点；例5-1

设系统开环传递函数为，绘制其概略幅相曲线。解：有，；幅相曲线在第一象限；当时，；从而可得幅相曲线：零型系统幅相曲线绘制：设零型系统传函为：，（）则有，例5-2

设零型系统开环传递函数为：（），绘制系统开环幅相曲线。

解：有，，幅相曲线位于第四、第三象限；如果零型系统存在一阶微分环节，则幅相曲线所在象限及形状会受到零、极点的相互位置关系的影响。例如，设开环系统传递函数为则有，讨论：1、如果则有幅相曲线在第四、三象限，如图所示；2、如果，则在附近的相角主要由一阶微分环节确定，会出现相角大于0情形，因此幅相曲线处于第一、四、三象限。3、如果，则当时，相角主要由三个惯性环节确定，则幅相曲线处于第四、三、二象限；

I型以上系统幅相曲线绘制：对I，II，III型系统有：，（）则有，，渐近线方向为例5-3

某单位反馈系统，其开环传递函数为，试画出概略幅相曲线。解：

，，幅相曲线处于第三、二、一象限；渐近线方向为-90°，渐近线与实轴的交点坐标小于0，则可得幅相曲线如图所示；如果把展开成实部、虚部形式，求时，的实部即为渐近线与实轴的交点。II型系统例：设开环传函为，画出概略幅相曲线。解：，，幅相曲线处于第二、一象限；渐近线方向为-180°，渐近线与虚轴的交点坐标大于0，则可得幅相曲线如图所示；如果系统包括一阶微分环节，则会改变幅相曲线的形状和所在象限；例如：设，（）试画出概略幅相曲线。解：，，由于，则在附近的相角主要由积分环节和一阶微分环节确定，幅相曲线处于第三、二、一象限；渐近线方向为-180°，渐近线与虚轴的交点坐标小于0，则可得幅相曲线如图所示；九、开环对数幅频、相频曲线的绘制

步骤：把开环传递函数表示成典型环节相串联形式（即为连乘积形式），设系统由n个典型环节串联组成，典型环节用表示，则有，相应的频率特性幅相特性表示：

系统开环对数频率特性等于串联的各典型环节对数频率特性之和。相频特性表示为：

系统开环相频特性等于串联的各典型环节相频特性之和。绘制开环幅频曲线步骤：(1)把开环传递函数表示为各典型环节的串联形式，并转化为标准型；(2)确定各典型环节的转折频率，并标于坐标图上；(3)计算比例环节的增益值（即开环传函增益）；(4)如有积分环节或微分环节，则最左端的幅频特性为上升或下降直线；由于积分或微分环节的幅频线经过（1，0dB）点，则左端幅频线或其延长线必过（1,20lgK)点和（，0）点；如果是0型系统，则最左端为高度为20lgK的水平直线。(5)根据其它典型环节的交接频率，从小到大确定后续幅频曲线，在交接频率处，幅频曲线的斜率发生变化；最好采用分段函数形式。绘制相频曲线：

在交接频率及其它重要频点处计算开环系统的相位，并标于坐标图中，光滑连接各点。例5-4

系统开环传函为，式中K=7，τ=0.087s，绘制系统开环幅频、相频曲线。解：传函为比例环节，1个积分环节，1个惯性环节串联，惯性环节的交接频率为，20lgK=16.9(dB)

在ω=1处，曲线的分贝值为20lgK，最左端直线斜率为-20dB/dec，在惯性环节的交接频率处，斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec；可得幅频曲线。采用分段函数方法：0<ω≤11.5(rad/s),,11.5(rad/s)<ω,在ω=1.15,11.5,115处计算相应的相角为-95.7°,-135°,-174.3°,从而可画出相频曲线；

在ω=1附近，幅频曲线特点：交接频率大于1及小于1时的情况。例5-5

绘制传函的幅频曲线。解：传函化为标准形式，K=

振荡环节的交接频率为（rad/s)，惯性环节的交接频率为2(rad/s)，微分环节的交接频率为3(rad/s)；采用分段函数方法：当时，,当时，,当时，,当时，由传递函数可得相频特性为：如果需绘制相频曲线，则选择频点ω=0.14,0.2,0.3,1.4,2,3,14,2030，并计算其相角，则可画出相频曲线。十、最小相位系统与非最小相位系统（采用通用的定义）最小相位系统：传递函数在右半s平面无零点和极点；又称最小相角系统；非最小相位系统：传递函数在右半s平面有零点或极点；具有纯延迟环节的系统也是非最小相位系统。又称非最小相角系统。最小相位系统特点：1、在ω=0附近，幅频曲线下降的斜率为，在ω=0处的相角等于；2、当ω趋于无穷时，幅频曲线下降的斜率为，相角等于；3、数学上可证明：对于最小相位系统，幅频特性与相频特性之间存在唯一的对应关系。因此，对于最小相位系统，只要知到幅频特性，就可获得相应的相频特性及传递函；知到相频特性，也可确定系统的幅频特性和传递函数；例：设一最小相位系统对数幅频特性如图所示，试确定系统的传递函数。

解：标识转折频率处频率，由于时幅频曲线的斜率为0，则为0型系统，由20lgK=30得K=31.62；在处，斜率为由0变为20dB/dec，变化20dB/dec，存在一阶微分环节，转折频率为0.1，环节为：；在处，斜率由20dB/dec变为0，变化-20dB/dec，存在一惯性环节，转折频率为，环节为：；在处，斜率由0变为-20dB/dec，变化-20dB/dec，则存在一惯性环节，转折频率为，环节为：；在处，斜率变化-20dB/dec，则存在一惯性环节，转折频率为，环节为：；在处，斜率变化-20dB/dec，则存在一惯性环节，转折频率为，环节为：；计算，，，：由图可得：，则；：由图可得：，得；：由图可得：，得：由图可得：，得则传函为：非最小相位系统中的不稳定环节（采用频率分析的标准形式）1、不稳定一阶微分环节特点：幅频特性与一阶微分环节完全一致，相频特性不同；相频特性与具有相同时间常数的惯性环节相同。2、不稳定二阶微分环节特点：幅频特性与二阶微分环节完全一致，相频特性不同；相频特性与具有相同参数的振荡环节一致。3、不稳定惯性环节特点：幅频特性与惯环节完全一致，相频特性不同；相频特性与具有相同参数的一阶微分环节一致。4、不稳定振荡环节

=特点：幅频特性与振荡环节完全一致，相频特性不同；相频特性与具有相同参数的二阶微分环节一致。5、延迟环节传递函数：则有，幅频特性恒等于1，相频特性是ω的线性函数。其幅相曲线为以坐标原为圆心的单位圆。由于具有延迟环节的系统较难分析处理，在实际系统分析、设计时，常把延迟环节作幂级数展开，并用等效的传函。{MATLAB中的相应的延迟环节的等效变换函数为[num,den]=pade(T,N),N阶次近似传函}例如：求幅频、相频特性，则有，5-4奈奎斯特稳定判据

奈奎斯特稳定性判据：根据开环幅相曲线判定闭环系统稳定性方法。

对数频率稳定性判据：根据开环系统幅频、相频曲线判定闭环系统稳定性方法。一、奈奎斯特判据及其证明基本思想：由于线性定常系统稳定的充要条件是闭环传递函数的全部极点都位于s平面左半平面，而闭环极点由系统特征方程确定。设法建立频率特性与特征方程之间的对应关系，根据频率特性是一复变函数这一事实，利用幅角原理研究闭环极点与频率特性曲线间的关系。利用系统特征方程构造辅助复变函数：设（n>m）则可表示为：式中，分别为的零点和极点。

特点：1、的零点就是闭环系统的极点；

2、的极点就是开环系统的极点；

3、的零点和极点个数相同；

4、和只相差常数1；幅角原理在s平面上任选一点s，通过复变函数的映射关系，在平面上可以找到相应的象。设的零、极点分布如图所示，在零点的邻域作一只包围点的闭曲线，闭曲线的方向为顺时针方向，让s从A点开始沿闭曲线转一周回到A点。相对应，则从平面上B点出发沿某一曲线回到B点。s沿变化时，相角的变化为，则由函数可得：

式中，表示s沿变化时，相应向量的相角变化。由图可知，s沿变化一周时，除外，式中其它各项都为0。则有：因此，当s在s平面上绕的某一零点顺时针方向转一圈，则曲线绕原点顺时针方向转一圈。同理，当s在s平面上绕的某一极点顺时针方向转一圈，则曲线绕原点反时针方向转一圈。幅角原理：如果s平面上的封闭曲线内有Z个的零点、P个的极点，则s沿顺时针转一圈时，在平面上，曲线绕其原点反时针转过的圈数R为P与Z之差，即：如果把s平面的虚轴和半径为无穷的右半圆取为闭曲线，如图所示，则为包括虚轴的整个右半平面。考虑到与间的关系，则绕原点反时针转过的圈数R就是开环传函曲线绕（-1，j0)点反时针转过的圈数。则R、P、Z的含义如下：R：奈氏曲线（即s沿虚轴到值时，频率特性的幅相曲线）绕临界点反时针转过的圈数；P：辅助函数的右半平面极点数；(注意：不包括虚轴上的极点）Z：辅助函数的右半平面零点数；奈氏判据：反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线反时针包围临界点的圈数R等于开环传递函数右半s平面的极点数P，即R=P；否则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根的个数Z由下式确定：开环系统临界稳定（即在虚轴上存在开环极点）时奈氏判据的应用：如果开环传函在虚轴上存在极点，则s平面上的闭曲线应稍作变动，使其不经过虚轴上的极点。例如，开环系统包含积分环节时，让以半径ε趋于0的右半圆绕过原点处的极点，小半圆通过映射到平面的象为半径趋于无穷的半圆，如图所示。由奈氏判据判定系统稳定性的实际方法由于幅相曲线的对称性，实际只绘制ω从0到+∞时的开环幅相曲线，改用如下简化判据。

设ω从0到+∞时的开环幅相曲线包围临界点的圈数为n（反时针方向为正，顺时针方向为负），开环传函在右半平s平面上的极点数为P，则有

Z=P-2n，如果Z=0则闭环系统稳定；否则闭环系统不稳定。特殊情况：如果开环传函包含有积分环节，设积分环节个数为ν，则绘制开环幅相曲线后，应从与频率对应的点开始，反时针方向补画个半径无穷大的圆。

{因为：，}例5-9

一单位反馈系统，其开环传递函数试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。解：，，幅相曲线处于II象限，渐近线平行于实轴。由于有两个积分环节，反时针方向补画1/2个圆。得如图所示幅相曲线。幅相曲线顺时针包围点一圈，则n=-1;开环传函在右半s平面的极点数P=0。则有Z=0-2（-1）=2。因此闭环系统不稳定。例：（补充）已知一系统的开环传函在K=10时的幅相曲线如图所示，且开环传函在右半s平面上无开环极点，求使闭环系统稳定时，K的范围。解：依奈氏判据，当（-1,j0)落在A，B之间或C，O之间时为顺时针包围，闭环系统不稳定。否则不包围，闭环系统稳定。依奈氏曲线性质，幅值与增益K成正比，因此，要使系统稳定，则，或得或二、对数频率特性稳定判据利用对数幅频特性和相频特性判定闭环系统稳定性。由对数幅频、对数相频特性可知,平面上的单位圆与对数幅频特性中的0dB线相对应，单位圆以外对应，单位圆以内对应；平面上的负实轴与对数相频特性的线相对应。如果开环频率特性按逆时针方向包围一圈，则（）必然从上而下穿越负实轴的-1至线段一次，对应的相频曲线沿相角增加方向穿越线一次。这种穿伴随着相角的增加，称为正穿越。反之，开环频率特性按顺时针方向包围一圈，则（）必然从下而上穿越负实轴的-1至线段一次，对应的相频曲线沿相角减小方向穿越线一次。这种穿伴随着相角的减少，称为负穿越。对数频率稳定判据：设在的范围内，相频曲线正向穿越线的次数为，负向穿越线的次数为，则幅相曲线反时针包围的圈数为。设闭环特征方程正实部根个数为Z，开环传函在右半s平面上极点个数为P，则有。若Z=0则闭环系统稳定，否则不稳定。特殊情况：如果开环传函包含有积分环节，设积分环节个数为ν，则绘制开环相频曲线后，应补画一条从到的虚线。例5-11

一反馈系统，其开环传函为，试用对数频率稳定判据判定闭环系统稳定性。解：绘制幅频曲线：起始段斜率为-40dB/dec，在处，，在处，斜率变为-60dB/dec；绘制相频曲线：，，。在处补画从到虚线。由图可知相频曲线在范围内，负向穿线一次，则N=-1；又由于开环传函在右半s平面上无开环极点，则P=0，Z=P-2N=2，因此闭环系统不稳定，且闭环系统在右半s平面上有两个特征根（即两个闭环极点）。5-5稳定裕度如图为开环幅相曲线和单位阶跃响应曲线对应关系示意图。当P=0时，如果幅相曲线不包围临界点，则闭环系统稳定；并且幅相曲线离临界点越近，系统稳定性越差，离临界点越远，系统稳定性越好。幅相曲线与临界点的相互位置可表征系统的相对稳定性。幅相曲线与临界点的相互位置可用两个参量来描述：1、当开环传函的幅值等于1时，相应的相角离-180°的距离；2、当开环传函的相角等于-180°时，相应的幅值离1的距离；截止频率（）：开环传函的幅值等于1时的频率称为截止频率，即有（）。

相角交界频率（）：开环传函的相角等于-180°时的频率称为相角交界频率，即有。相角裕度（γ）：180°加开环传函在截止频率处的相角，即幅值裕度（h）：在相角交界频率处（相角=-180°），开环传函幅值的倒数，即，相应有

对于最小相位系统，相角裕度大于零，幅值裕度大于1（大于0dB)时，系统稳定；γ、h越大系统稳定性越好。γ小于0，h小于1（小于0dB)时，系统不稳定。例：已知单位负反馈系统的开环传函为判断系统稳定性并求相角裕度；求当输入为1(t),t,t2时，系统的稳态误差；解：把开环传函化为标准形式，则有先求截止频率，由开环传函可得：当时，,当时，,当时，,当时，,当时，,当时，则有，并由得：由传递函数可得相频特性为：得因此相角裕度由于则系统稳定。由于系统为I型系统则有，，，因此当输入为1(t)时，当输入为t时，当输入为t2时，5-6闭环频率特性一、解析法求系统闭环频率特性闭环传函为，则求得闭环频率特性的解析表达式为：对于单位反馈系统则有先求得系统的闭环传递函的解析表达式，再转化为闭环频率特性的解析表达式。适用于简单系统。二、图解法求系统闭环频率特性只考虑单位反馈系统情形，如果不是单位反馈系统，则经等效变换把系统变换为一单位反馈系统与一个环节中联形式。1、直接由幅相曲线求闭环频率特性设单位反馈系统为开环幅相曲线如图所示，令时，幅相曲线上的点为A点，临界点为P点，坐标原点为O点，可得：图中皆为负值，并有2、等M圆和等N圆图**（自学）3、尼柯尔斯图线**（自学）三、带宽频率和带宽带宽频率（）：闭环幅频特性下降到比频率为0时的分贝值（