matlab最佳平方逼近

数值分析第一次试验最佳平方逼近试验任兵(200820302025)一、 问题叙述求函数f(x)=exp(x)在［-1，1］上的二、三次最佳平方逼近多项式。二、 问题分析由教材定义6.5有：对于给定的函数f(x)eC［a,b］，如果存在S*(x)eSpan{^(x),中(x),…,中(x)}使得jbP(x)[f(x)-S*(x)]2dx=minjbP(x)[f(x)-s(x)]2dx

a a<x<ba则称S*(x)是f(x)在集合Span{(^Q(x),%(x),...,%(x)}中的最佳平方逼近函数。显然，求最佳平方逼近函数S*(x)=Wa*叩.(x)的问题可归结为求它的系数J=0a*a*,a*,…,a使多元函数I(I(a,a,...,a)=jbp(x)0 1 naf(x)-EaQ(x)dx

j=0■」取得极小值也即点(a*,a*,…,a*)是1(%,…，a)的极点。由于1(%,a,…,0 1 n 0 n 0 1取得极小值an)是关于a0,a1,…，a/勺二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，dI ，八…-—=0 (k=0,1,2,…，n)dak&=2j&=2jbp(x)da akf(x)—Ea.Q.(x)Lp(x)j=0Lq(x)dx=0得方程组^Eajbp(x)p(x帅(x)dxJa kJj=0(k=0,1,2,…，n)=jbp(x)f(k=0,1,2,…，n)ka如采用函数内积记号

(9k,9j)="P3冷k(x)9.(x)dx,(f,9)=1qP(x)f(x)9(x)dx,kka那么，方程组可以简写为E(9,9)a=(f,9) (k=0,1,2，…，n) (1)kjj kj=0这是一个包含n+1个未知元a0,a19…，an的n+1阶线性代数方程组，写成矩阵形式为((9,9)(9,9)…(9,9))0 0 0 1 0n(2)(9,9)(9,9)…(9,9)(2)"(9"(9,9)(9,9)…(9,9)

n0 n1 nnJ\此方程组叫做求a,(j=0,1,2,…，n)的法方程组。显然，其系数行列式就是克莱姆行列式Gn=Gn(90,91,…，9n)。由于90,9『…,9n线性无关，故Gn主0，于是上述方程组存在唯一解a^=a*(k=0,1,,n)。从而肯定了函数f(x)在Span{9^(x),9(x)，…,9(x)}中如果存在最佳平方逼近函数，则必是S*(x)=£a*9(x) (3)j=0三、实验程序1、 最佳平方逼近算法输入被逼近函数f(x)和对应的逼近区间［a,b］并选择逼近函数系{争(x)}和权函数；解方程组(1)或(2),其中方程组的系数矩阵和右端的项由式(3)得到；由式(3)得到函数的最佳平方逼近。2、 将上述算法编写成MATLAB程序共需三个程序：(1)第一个程序(函数名：squar_approx.m)计算最佳逼近函数的系数，源代码如下：functionS=squar_approx(a,b,n) %定义逼近函数globali;globalj; %全局变量ifnargin<3n=1;end %判断Phi2=zeros(n+1); %生成一个n+1*n+1大小的全0矩阵数组fori=0:nforj=0:n;Phi2(i+1,j+1)=quad(@rho_phi,a,b);%求rho_phi积分endendPhiF=zeros(n+1,1); %生成一个n+1*n大小的全0矩阵数组fori=0:nPhiF(i+1)=quad(@fun_phi,a,b); %求fun_phi积分ends=Phi2\PhiF;第二个程序(函数名：rho_phi.m)代码如下：functiony=rho_phi(x)globali;globalj;y=(rho(x).*phi_k(x,i)).*phi_k(x,j);第三个程序(函数名：fun_phi.m)functiony=fun_phi(x)globali;y=(rho(x).*phi-k(x,i)).*obj(x);四、试验结果f(x)=exp(x)在［-1,1］上的二、三次最佳平方逼近多项式。编写下面三个函数：外部函数；多项式函数；被逼近函数;functiony=rho(x)%外部函数y=1;functiony=phi_k(x,k)%多项式函数ifk==0y=ones(size(x));elsey=x.Ak;endfunctiony=obj(x) %被逼近函数y=exp(x)当求的是二次逼近时得到如下结果>>clear>>S=squar_approx(-1,1,2)S=0.99631.10360.5367绘制两者的图形：>>fun='exp(x)';>>fplot(fun,[-1,1])>>holdon>>xi=-1:0.1:1;>>yi=polyval(S,xi);>>plot(xi,yi,'r:')得到如下结果：当求的是三次逼近时得到如下结果>>S=squar_approx(-1,1,3)0.99630.99800.53670.1761绘制图形如下：>>fun='exp(x)';>>fplot(fun,[-1,1])>>hold