数值分析与计算方法 第三章 数值积分与数值微分

本章内容

§3.1数值积分的基本思想与代数精确度

§3.2牛顿-柯茨公式

§3.3龙贝格算法

§3.4高斯公式

§3.5数值微分第三章数值积分与数值微分实际问题中，往往需要计算定积分问题的提出Newton-Leibniz公式：

，困难：①某些函数的原函数不能用初等函数来表示；如：

等；②

简单，但过于复杂，不便计算；

③

以数据形式给出。

数值方法由

由积分中值定理：

定积分的值可能期望用被积函数的值来直接决定，1.基本思想，可见给出平均值：的某种近似算法，便能相应地获得一种数值积分方法。§3.1数值积分的基本思想与代数精确度如：梯形公式

中矩形公式

图4-2图4-12.插值型求积公式——称为计算的插值型求积公式,称Ak为求积系数,xk为求积节点.

3.代数精度定义：若求积公式对于次数

均能准确成立，而至少对于一个

的多项式立，则称求积公式具有

次多项式不能准确成次代数精度。插值型求积公式误差为：

若为次数的多项式，则

，，从而个节

点的插值型求积公式至少有

次代数精度。中矩形公式、梯形公式有1次代数精度。例：解：3次精度1.公式导出——称为Newton-Cotes公式

Cotes系数—

取等距节点§3.2牛顿-柯茨公式多项式积分①.梯形公式：梯形公式----线性插值几何意义：直线近似替代曲线②.Simpson公式（抛物线公式）：Simpson公式几何意义：----抛物线插值抛物线近似替代曲线③.Cotes公式：注：Cotes公式一般，—

梯形公式

—

Simpson公式

—

Newton公式

—

Cotes公式

例：证明：TH3.2

当阶n为偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有

n+1次代数精度.2.几种低阶求积公式的余项①梯形公式：—广义积分中值定理

②Simpson公式：方法一：事实上，由于Simpson公式具有三次代数精度，因而对三次多项式准确成立，作满足条件的3次Hermite插值

3次代数精度插值条件方法二：—广义积分中值定理

③Cotes公式：同理可得，具有5次代数精度；

由误差公式可知区间过大，误差亦大；为避免可选取适当多的节点，即选取相对高阶的Newton-cotes公式；但由稳定性分析又知：当稳定的现象；时，会出现不复化求积公式

3.复化求积法①复化梯形公式：Tn的积分余项为②复化Simpson公式③复化Cotes公式例：——误差事先估计

积分余项为解：

由复化求积公式的截断误差可知，加密节点可以提高求积公式的精度，但困难在于：使用公式之前需给出合适的步长，h过大，满足不了精度；h过小，计算量过大，而事先给出等分数很困难，因此将研究一种自动变步长的算法。问题的提出§3.3龙贝格算法1.梯形公式的递推关系将积分区间n等分，

在子区间上采用梯形公式，则，从而可得n

等分时的复化梯形公式将子区间再二等分一次并分别采用梯形公式，按这种方式不断计算所得结果将越来越精确，但对于我们预先给定的精度要求，何时停止计算呢？通常积分区间的等分数取为递推公式可改成用复化梯形公式计算精确至3位有效数字。例：解：2.Romberg算法用右端误差来修正得：通过适当组合Tn,T2n能使代数精度提高2次.同理,对Sn,S2n组合同样地，对复化Cotes公式进行类似处理，可得代数精度为7次的Romberg公式。进一步，对Romberg公式进行组合但因系数接近1及误差的积累，使组合失去组合意义

这种将粗糙的复化梯形公式逐步加工成精度较高的求积公式的方法称为——Romberg方法;又称逐次分半加速收敛法.

写成便于程序设计的计算格式，即例：解：注：计算S1用到T2,用到3个点的函数值，代数精度为3次；计算C1，需用到T4,用到5个点的函数值，代数精度为5次；计算R1时，用到T8,用到9个点函数值，代数精度为7次，所以Romberg公式不是插值型求积公式。§3.4高斯公式1.基本概念故一点Gauss公式为

即中矩形公式就是一点Gauss公式

所以二点Gauss公式为

多点Gauss求积公式类似可求得，但求解非线性方程组较复杂，通常n≥2就很难求解．故一般不通过解方程求xk及Ak．而从研究高斯点的基本特性来着手解决Gauss

求积公式的构造问题．2.Gauss点对于插值型求积公式，x0…xn

为Gauss点

与任意次数不大于n

的多项式P(x)（带权）正交，即定理求Gauss点

求w(x)的零点

证明：“”x0…xn

为Gauss点,则公式至少有2n+1次代数精度。对任意次数不大于n

的多项式Pm(x)，Pm(x)w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立：0=0“”

要证明x0…xn为Gauss点，即要证公式对任意次数不大于2n+1

的多项式Pm(x)精确成立，即证明：设03.高斯-勒让德公式

Legendre多项式族：1)(xr定义在[1,1]上，满足：由有递推以Pn+1的根为节点的求积公式称为Gauss-Legendre

公式。注：一般[a,b]上的积分可化为[-1,1]上特殊高斯公式进行计算。n0021120(0.8888889)(0.5555556)30.86113630.33998100.34785480.6521452400.53846930.90617980.56888890.47862870.2369269部分Gauss-Legendre公式的节点和系数4.稳定性和收敛性稳定性：1）因为积分式对函数f(x)=1准确成立，则2）因求积公式对2n次多项式也准确成，则若有误差,则由此引起最终结果的误差为即Gauss求积公式有好的数值稳定性收敛性：Gauss型求积公式除有好的收敛性和稳定性之外，而且是具有最高代数精度的数值求积公式，即对n+1个求积节点构成的求积公式不可能具有2n+2次代数精度。对2n+2次多项式§3.5数值微分1.插值型求导公式对于确定的函数表达式f(x)，函数的导数值总是可以按各种求导的公式和规则或是直接通过导数定义的极限积分求得，但当函数是以数据表的形式给出时，微分学中的方法就不能使用。xx0

x1

x2

…xnyy0

y1

y2

…yn

对于列表函数

y=f(x)：

插值多项式y=Pn(x)作为它的近似,我们取统称插值型的求导公式．的近似值，作为建立的数值公式

依据插值余项定理，求导公式的余项为式中

我们限定:求某个节点

xk上的导数值，上面的第二项变为零，这时有余项公式

下面我们仅仅考察节点处的导数值．为简化讨论,假定所给的节点是等距的．①两点公式

已给两节点x0,x1

上的函数值f(x0),f(x1)，做线性插值记x1–x0=h，对上式两端求导，有于是有下列求导公式：而利用余项公式(3.43)知，带余项的两点公式是：

设已给出三节点x0,xl=x0+h,x2=x0+2h上的函数值,做二次插值令x=x0+th,则②三点公式这里撇号(’)表示对x求导．上式分别取t=0,1,2,得到三种三点公式：而带余项的三点求导公式如下：三点公式中第二式是我们所熟悉的中点公式．在三点公式中，它由于少用了一个函数值f(x1)而引人注目．

例如，将式(3.45)再对t求导一次，有于是有

用插值多项式Pn(x)作为f(x)的近似函数，还可以建立高阶数值微分公式：而带余项的二阶三点公式如下：(6.15)注1）当使用两点公式时．应取步长较小的函数值；

2）一般情况下，同样步长的两点公式没有三点公式准确,步长越小越精确但如果高阶导数无界或舍入误差超过截断误差时,这个结论就不一定对了.注:与积分相比，数值微分比较困难。积分