函数的多项式插值与逼近

第二章多项式插值与函数逼近/*Polynomial

Interpolationand

ApproximationofFunctions*/本章主要内容：一、插值部分：

1、Lagrange插值方法

2、Newton插值方法

3、Hermite插值方法

4、三次样条插值方法二、函数逼近—最佳平方逼近和最佳一致逼近§1拉格朗日多项式

（LagrangeInterpolationPolynomial）niyxPiin,...,0,)(==求n

次多项式使得条件：无重合节点，即n=1已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求使得111001)(,)(yxPyxP==可见P1(x)是过(x0

,y0)和(x1,y1

)两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)n=2已知x0

,x1

,

x2;

y0

,

y1

,y2求使得即

P2(x)是过(x0

,y0)、(x1,y1

)和(x2,y2)三点的抛物线。==20)(iiiyxl称为拉格朗日基函数

/*LagrangeBasis*/，满足条件li(xj)=ijn

=k?思考？！与有关，而与无关li(x)LagrangePolynomial节点f若记例如也是一个插值多项式，其中可以是任意多项式。（2）Lagrange插值多项式结构对称，形式简单.（3）误差估计注：（1）若不将多项式次数限制为n

，则插值多项式不唯一。（4）当插值节点增加时，拉氏基函数需要重新计算，

n较大时，计算量非常大,故常用于理论分析。截断误差插值余项设在区间[a,b]上连续，在区间[a,b]上存在,

是满足插值条件（*）的不超过n次的插值多项式，则对存在，满足其中。且当在区间[a,b]有上界时，有代数插值的插值余项/*Remainder*/注：（1）插值误差与节点和之间的距离有关；

（2）如果本身为多项式，其插值函数为本身。

（3）通常不能确定,而是估计,x(a,b)

将作为误差估计上限。Quiz:

给定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是l2(x)的图像？

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

ABC例1：已知分别利用sinx的1次、2次Lagrange

插值计算sin50

并估计误差。解：n=1分别利用x0,x1

以及x1,x2

计算利用这里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614利用sin50

0.76008,选择要计算的x

在区间的内部，插值效果较好。高次插值通常优于低次插值n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿……反插值问题已知定义于区间上的单调连续函数在个互异节点处的函数值，若函数值已知，如何求？即求因此可以看作如下插值问题：已知定义于区间上的连续函数在个互异节点处的函数值，求函数值

xi

1.01.41.82.0yi=f(xi)-2.0-0.80.41.2例2：已知单调连续函数在如下采样点的函数值：求方程在[1，2]内根的近似值。解：Lagrange

插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数li(x)

都需重新算过。将Ln(x)改写成的形式，希望每加一个节点，只附加一项上去即可。????差商(亦称均差)

/*divideddifference*/1阶差商

/*the1stdivideddifferenceoffw.r.t.xi

andxj

*/2阶差商§2Newton插值多项式（

Newton’sInterpolationPolynomial）11101010111010],,...,[],,...,[],,...,[],...,,[],...,[++--+++--=--=kkkkkkkkkkkxxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxf(K+1)阶差商：事实上其中差商的值与xi

的顺序无关！牛顿插值

/*Newton’sInterpolation*/已知定义于区间上的连续函数在个互异节点处的函数值n次Lagrange

插值多项式可表示为：其中12…………n+11+(x

x0)2+……+(x

x0)…(x

xn1)n+1Nn(x)Rn(x)ai=

f[x0,…,xi]3思考f(x)=？提示注：

由唯一性可知Nn(x)Ln(x)，只是算法不同，故其余项也相同，即

实际计算过程为（建立差商表）f[x0,x1]f[x1,x2]…………f[xn1,xn]f[x0,x1,x2]……f[xn2,xn1,xn]f[x0,…,xn]

xn+1

f(xn+1)f[xn,xn+1]f[xn1,xn,xn+1]f[x1,…,xn+1]f[x0,…,xn+1]f(x0)f(x1)f(x2)…