第十四、五六讲-控制系统

信息、计算与FundamentalsofInformation,Computationand参考【Book1】钟义信，《信息科学原理》 【Book2】仇佩亮，张朝阳，谢磊，余官定，《信息论 【Book3】RichardC.Dorf,RobertH.Bishop,《现代 T.M.Cover，《ElementsofInformationTheory2ndEdition,年月日时 什么是控控制的目的是什实现控制的机制是什如何设计一个最优化控制系年月日时 年月日时 控制系统导策略执行——控控制系统的基本知识，实例说控制系统的发展历史及重要作控制系统的未来发展趋控制系统设计的基本步年月日时 控制系统导控制系年月日时 控制系统导⎈开环控制系 年月日时 控制系统导⎈闭环控制系 -

传感 年月日时 控制系统导⎈闭环与开环控制系统的区 年月日时 控制系统导⎈多回路反馈控制系 控制器-

控制器 执行机 受控对 -

测量输传感器

传感器反年月日时 控制系统导⎈自动控制简年月日时 控制系统导⎈控制系统发展历1769年，瓦特发明蒸汽机和飞球调节器，工业年月日时 控制系统导⎈控制系统发展历 1954年，GeorgeDevol1957年，发射人造地球 年月日时 控制系统导⎈控制系统发展历1995年，全 年月日时 控制系统导⎈控制系统实例-转向转向预

实际行 路视视觉和年月日时 控制系统导⎈控制系统实例-预 国

私人+

国民收

商业消费商业+统统计年月日时 控制系统导⎈控制系统实例-SpaceX火箭成功万； 成本20 年月日时 控制系统导⎈控制系统实例-年月日时 控制系统导⎈控制系统的分控制系统导⎈控制系统的分 如数控机床的刀具必须给定的路径，以加工出合适形状位移、速度或加速度的系统。控制系统导⎈控制系统的分恒值控制系控制过程中，如要求被控变量保持在一个状态不变，或者说系统给定信号是恒定值，那么就需要采用恒值控制系统程序控制系这类系统的给定值是变化的，且为一已知的时间函数，或按预定的随动控制系控制系统导⎈控制系统发展趋 系统，Mechatronics,,年月日时 控制系统导⎈控制系统发展趋 年月日时 控制系统导⎈控制系统发展趋年月日时 控制系统导⎈控制系统前控制系统和机器的未来发展年月日时 控制系统导⎈控制系统设例如年月日时 稳定①②③④系统数学模数学模型建模方 控制系统定义和建⎈系统数学模①构建和④求解⑤检查年月日时 控制系统定义和建⎈物理系统的微分方程（组年月日时 控制系统定义和建⎈物理系统的微分方程（组年月日时 物理系统的微分方程（组年月日时 物理系统的微分方程（组下表列出了集总、线性和动态理想元件的微分方程年月日时 物理系统的微分方程（组 年月日时 物理系统的微分方程（组 3时33

物理系统的微分方程（组年月日时 物理系统的线性近 非线性：y=x2(不满足叠加性）；y=mx+b（不满足齐次性）年月日时 物理系统的线性近 勒级数展开年月日时

物理系统的线性近𝑓=∆𝑓∆𝑓=𝑚=𝑑𝑦年月日时

物理系统的线性近𝑇=工作在平衡点位置𝜃0=0𝑇− ≅𝑀𝑔𝐿 (𝜃−𝜃0

𝜃= 𝑇𝑇=3时33 𝐹(𝑠)𝑓𝑡𝐹(𝑠)𝑓𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡=ℒ{𝑓𝑡−0 建立微分方程（组 ∞年月日时 斯变积分下限0-表示积分范围应该包括所有的非连续点，例如𝛿函数

𝑠∞𝐹(𝑠)∞𝐹(𝑠)−𝑓𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡=ℒ{𝑓𝑡01𝑓(𝑡)=𝜎+𝑗∞𝐹𝑠𝑒+𝑠𝑡𝜎−𝑗∞年月日时分

− −

斯变 年月日时 斯变 年月日时 斯变 𝑀𝑑2𝑦(𝑡)+𝑏𝑑𝑦(𝑡)+𝑘𝑦= 𝑑𝑡 𝑠2𝑌 −𝑠𝑦0

− 0 +𝑏𝑠𝑌 −𝑦(0 +𝑘𝑌(𝑠)=如果初始条件为：r = y =

𝑡=0=𝑀𝑠2𝑌 −𝑀𝑠𝑦0+𝑏𝑠𝑌 −𝑏𝑦0+𝑘𝑌(𝑠)=𝑌 𝑀𝑠+𝑏 =𝑀𝑠2+𝑏𝑠+ 年月日时 斯变 考虑k/M=2且b/M=3时 部分分式分解后𝑠+3𝑌 (s+1)(s+k为待定系数，又称为留数

𝑌

(s+

+𝑠+𝑌𝑌=𝑀𝑠2+𝑏𝑠+𝑀𝑠+𝑏 = =(𝑠+1)(𝑠+ = (s+1)(𝑠+ 𝑠1=𝑘2=年月日时分 斯变 查表得 𝑦 =2𝑒−𝑡−𝑠+𝑏𝑌

𝑠+

𝑠2+2𝜁𝜔𝑛𝑠+𝜔𝑠2

𝑠+ 𝑦 =ℒ−2𝑠++ℒ−𝑦 =ℒ−2𝑠++ℒ−1{−1𝑠+年月日时分

𝜔𝑛 斯变 𝑠𝑠1,𝑠2=−𝜁𝜔𝑛± 1−过阻尼系统：𝜁1欠阻尼系统：𝜁<1年月日时 斯变 年月日时 线性系统的传递函⎈传递函数

𝑞𝑛𝑑𝑡𝑛+𝑞𝑛−1𝑑𝑡𝑛−1+⋯+𝑞0𝑦=𝑝𝑚𝑑𝑡𝑚+𝑝𝑚−1𝑑𝑡𝑚−1+⋯+𝑌

𝑝𝑚𝑠𝑚+𝑝𝑚−1𝑠𝑚−1+⋯+𝐺

=𝑅

𝑞𝑛𝑠𝑛+𝑞𝑛−1𝑠𝑛−1+⋯+𝐺=𝑀𝑁特𝐺=𝑀𝑁𝑀𝑀 =𝑏𝑚𝑠𝑚+𝑏𝑚−1𝑠𝑚−1+⋯+𝑁 =𝑎𝑛𝑠𝑛+𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1+⋯+𝑁 =0→特征𝑀 =0𝑁 =0零极点分布总传递函数G(s)决定。——黑箱适用于线性定常系无法描述系统内部中间变量的变化情状态空间模目的：采用时域的方法构建系统模n定义系统状态：系统的过去、现在和将来的状态 𝑡，𝑥2 𝑡，⋯𝑥𝑛(𝑡)]状态空间模【例】质量块-弹簧-阻尼系𝑀𝑑2𝑦(𝑡)+𝑏𝑑𝑦(𝑡)+𝑘𝑦(𝑡)=𝑟 取变量：𝑥1

=𝑦𝑡，𝑥2

𝑑𝑥1= 𝑑𝑥2

状态微分方程状态向量：状态变量组构成的列向

𝒙

⋮𝒙=𝒙=𝑨𝒙+

y=𝑪𝒙+

𝒙=𝒇(𝒙,𝒖,𝒕)y=𝒇(𝒙,𝒖,状态空间模【例】RLC网𝐶𝑑𝑣𝑐=+𝑢 −𝐿𝑑𝑖𝐿=−𝑅𝑖𝐿+𝑣𝑜=𝑅𝑖𝐿

=−𝐶𝑥2+

2

=𝐿𝑥1−𝐿

𝑦 =𝑣𝑜(𝑡)=状态空间模【例】RLC网 0

𝒙

𝒙

0𝒚=

𝑅 0

𝐴𝑪

，𝑩 0由状态空间求解传递函𝒙=𝑨𝒙+y=𝑪𝒙+

斯变

𝒔𝑿 =𝑨𝑿 +𝑩𝑼𝒀 =𝑪𝑿 +

𝑠𝐼−

−1=𝛷𝑠𝑋 =𝛷𝑠

𝐺 =𝑌𝑈

=𝐶𝛷𝑠𝐵+状态空间模【例】RLC网[𝑠𝐼−𝐴]

𝑠

∆∆ =𝑠2+𝑅𝑠+

𝚽 =[𝑠𝐼−

=

(𝑠+ 1

𝑠+

𝑮

∆ 𝐶∆

=∆(𝑠)

1

𝑠2

𝑠 𝐿∆ ∆①②③ 两个基础性概念：能控性与能观 通过例子来介绍能控与[例1]电路如下图所示，如果选取电容两端的电压uc为状态 y =𝐶𝑒𝐴𝑡𝑥 =[𝑥1 −𝑥20x0)x0)定常离散系统的能控性定 1xk);①其中N是大于k的有限数，那么就称此系统在第k②定常离散系统的能控 𝑟𝑎𝑛𝑘𝑈𝑐=𝑟𝑎𝑛𝑘𝐵,𝐴𝐵,⋯ =即矩阵有n个线性无关的矢量，使得状态的变化有解。定常离散系统的能控𝑥令𝑥 =0，

=𝐴𝑛𝑥

𝑥 = 𝐴−𝑖−1𝐵𝑢

⋮𝑢(𝑛−𝑟𝑎𝑛𝑘 =𝑟𝑎𝑛𝑘

𝐴−𝑛𝐵定常离散系统的能控[例1𝑥𝑘+

𝑥

𝑟𝑎𝑛𝑘𝑈𝑐=1

𝐵,𝐴𝐵, = = 定常离散系统的能观测性定𝑥𝑘+ =𝐴𝑥 +𝐵𝑢𝑦 =定常离散系统的能观测

𝑟𝑎𝑛𝑘𝑈𝑜=

⋮

=定常离散系统的能观测不失一般性，设初始时刻为0，且控制量u为0𝑦 =𝐶𝑥𝑦 =𝐶𝐴𝑥⋮𝑦𝑛− =𝐶𝐴𝑛−1𝑥即

𝑥 =

𝑥⋮𝑦(𝑛−

=𝑛定常离散系统的能观测1𝑥𝑘+

𝑥

y

1

𝑟𝑎𝑛𝑘𝑈𝑜=

=

=

定常连续系统的能控𝑥=𝐴𝑥+定常连续系统的能控阵Uc的秩为n，即𝑟𝑎𝑛𝑘𝑈𝑐=𝑟𝑎𝑛𝑘𝐵,𝐴𝐵,⋯ =定常连续系统的能观测𝑥=𝐴𝑥+𝑦=定常连续系统的能观性判 𝑟𝑎𝑛𝑘𝑈𝑜=

⋮

=连续系统离散化的能控（观） [定理1]如果线性定常系统不能控（不能观测），则离散化 [定理2]如果线性离散化后系统能控（能观测），则离散化①②③ 诺夫关于稳定性扰动后，偏差逐渐变小，能恢复到原来的平衡状两个直观的例b、c：不稳定的（平衡点）a：稳定的（平衡点）：在扰动力作用下，暂时偏离，扰动 后，经一段有限时间，摆又回到这一平d：不稳定的（平衡点）：在微小扰动下，一旦偏离平衡位置，则无论怎，再 [例 供应量需求量D,供应需求量D,供应量a2:爆价 不稳定价格降低需求增大，供应增大，供大于求，是价格继续降低系统稳定性定—的系统的相对稳定性：稳定系统的稳定程度tttt电动机电路的电磁惯性、缸传递中的了时间。系统稳定性判别方经典控制理论对稳定性分析的局限①局限于描述②①劳斯（Routh）②奈氏（Nyquist）系统稳定性判别方现代控制理论对稳定性分析的特①②③Routh稳定判根的。Routh表的列写方snsn1

an2 an4 an6an1 an3 an5 an712sn 1212sn 122s2 2 s0

an1an2anan3，A an1an4anan5，A an1an6anan7 全零 A1an3an1A2，B A1an5an1A3，B A1an7an1 全零 【例】：特征方程：as5as4as3as2as Routh表如下 【例】:D(ss42s33s24s50，s4 0s3 0s2 2314 2510 1452 s1s05【例】:D(ss42s33s24s50，111s41112s321s2 23141

2510 145215s05NyquistNyquist反馈控制系统在s右半平面的闭环极点个N为开环Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点其中N-为：负穿越与半次负穿越数学依据：幅角原特点：由开环特性判断系统的闭环稳定逆时针穿越实轴区间(-,-1)。半次正穿越（）实轴区间,1)。NNN半次正穿顺时针穿越实轴区间(-,-1)。轴区间(-,-1)。(-N(-N负穿N半次负穿例例已知开环传递函数为G(s)H(s

【解】：开环频率G(j)H(j) (5j1)(10j0，A()10，()，A()0，()

(2521)(1002

PNNNZP2N

(- 例例 (s)

s(0.2s20.8s【解】：开环频率特100.8j(10.2)2GK(j) (21)(0.0420，A()，()，A()0，()0，Re[GK(j)]PN

(-

ZP2NNyquist稳定性判Nyquist稳定性判据的能定量系统的稳定储备，即系统的相对稳定性诺夫第一法（间接法y(y(t)

sI诺夫第一法（间接法诺

t Re(k)且Re(k)0的特征值 A有一个特征值：Re(k)或Re(k)0的特征值有重(1)W(s)c(sIA)1b

su(t) U(s)1C(s)

s

c(t)W(s)c(sIA)1b

su(t) U(s)1C(s)

s

c(t)与经典控制理论中的稳定性一W(s)

A)1b

C(s)

-

c(t)11 W(s)c(sIA)1b

1s2s1C(s)

1/2

1/4s

1/s

c(t)1t11 [例设系统方程为

6x

y 1 62 2) W(s)CsIAB

1

s11

) 6(2)(3) 1求得：12，2诺夫第二法（直接法过程中，若能量随时间衰减以致最终，则系统 s(s(t),

xsx

xe

smx1m V(x)

1kx21mx2

x x x kxxmx(kxx

2 2 2

xe 22

x 诺夫第二法的基本思 诺夫函数V(x,求出能量随时间变化率V(x, 标量函数标量函数V(xt)在零平衡状态在零平衡状态xe01,x0,V(x)x0,V(x)

V(x) x0,V(x)x0,V(x)

V(x)标量函数标量函数V(xt)在零平衡状态xe0 x0,V(x)x0,V(x) x0,V(x)x0,V(x)V(x)

V(x)V(x) x0,V(x V V(x)例：已知x (1)V(x)x42x2 解：x0,V(x) V(x)正x0,V(x)(2)V