理论力学(周衍柏)第一章

力学的分类宏观系统微观系统

低速运动——量子力学高速运动——量子场论（相对论量子力学）高速运动(v接近c)--相对论力学低速运动(v远远小于c)--经典力学（以观点分）（以对象分）（以方法分）运动学动力学静力学质点力学质点组力学刚体力学牛顿力学（矢量力学）分析力学连续介质力学

注：连续介质力学(包括弹性体力学和流体力学)是研究质量连续分布的可变形物体运动规律的科学。第一章质点力学§1.1运动的描述方法一、参照系与坐标系参照系物质的运动是绝对的，运动的描述是相对的。物体的位置只能相对地确定，为研究一个物体必须事先选定另一个物体作为参考标准（参照物），这样的物体就叫做参照系或参考系。①参照物不同，对同一个物体运动的描述结果可能不同；②观察者是站在参照系的观察点上；③不特别说明都以地球为参照系。说明：坐标系为了定量研究的空间位置，就必须在参考系上建立坐标系。参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于用教学方式描述质点在空间的相对位置（方法）。3、质点及位置的描述(1)质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽略，物体作平动）。在研究物体的机械运动时，不考虑物体的大小和形状，而只计及其质量的力学模型就叫质点。(2)位置描述②坐标描述：①质点相对某参照系的位置，可由位矢r确定;直角坐标系:二、运动学方程及轨道1、运动方程极坐标系：描述物体在参考空间中任一瞬时位置的数学表达式称为运动学方程。质点的运动学方程确定了点在参考空间中任一瞬时的位置，并由此可进一步揭示质点运动的几何性质：轨迹、速度和加速度等。写出质点的运动学方程是研究质点的运动学的首要任务。一般常用的方程有（1）矢量形式的运动学方程自然坐标系：osP当质点运动时r是时间t的单值连续函数。此方程常用来进行理论推导。它的特点是概念清晰，是矢量法分析质点运动的基础。（2）直角坐标形式的运动学方程这是常用的运动学方程，尤其当质点的轨迹未知时。它是代数方程，虽然依赖于坐标系，但是运算容易。（3）极坐标下的运动学方程当质点在某平面上运动时，在任一瞬时，其位置也可用极坐标确定。（4）自然坐标形式的运动学方程对运动轨迹已知的质点，常用此方程。用自然法研究运动，运算比较简便，各运动参数的物理意义明确。质点在参考空间中的位置还可用其它的方法确定，例如柱坐标法或球坐标法。通过坐标形式的方程表示质点的运动方程，并由此继续描述质点的其它运动量的方法称为分析方法。2、轨道质点运动过程中在空间描述出的连续曲线,运动学方程中消去t得轨道方程。(直线运动、曲线运动)。三、位移、速度、加速度1、位移：2、速度：3、加速度：§1.2速度、加速度分量表示式一、直角坐标系1、速度：分量式：大小：方向：可用速度与三个坐标轴的方向余弦表示2、加速度：分量式：大小：

[例1]设椭圆规尺AB的端点A与端点B沿直线导槽ox及oy滑动（如下图所示），而B以匀速度c

运动，求椭圆规尺上M点的轨道方程，速度及加速度.设MA=a,MB=b,.M点速度的方向：M点加速度的方向：[例2]解：建立直角坐标系，小环的运动学方程为：求速度求加速度二、极坐标系1、速度：注意:方向都变化，乘积函数求导。①先求：同理：②速度分量式：大小：2、加速度即：2、加速度推广到柱坐标（平面极坐标加垂直的z坐标）[例3]已知一质点的运动方程为试求其速度与加速度。[例4][例5](3)解：由已知条件（1）（2）(3)、(4)二式即为运动学方程消去t得轨道方程三、自然坐标系1、3、速度4、加速度4、密切面

[例6]一质点沿圆滚线的弧线运动，如为一常数，则其加速度亦为一常数，试证明之。为圆滚线某点P上的切线与水平线(x轴)所成的角度，s为P点与曲线最低点之间的曲线弧长。解:因，求速率式中求加速度所以解:[例7]设质点P沿螺旋线运动，试求速度、加速度及轨道的曲率半径。

[例8]§1.3平动参照系一、绝对速度、相对速度与牵连速度

2.不同参照系下研究

点的运动的关系:

1.如行驶的船中有小车运货。参照系(船)相对于参照系

（地球)作平动,称为对

的平动参照系，

一般称为静系，为动系。其中为

相对于静系

的速度，称为绝对速度。【例题1】某人以4km/h向东前进,感觉风从正北吹来,以8km/h向东前进,感觉风从东北吹来,求风速和风向.1、先确定是相对运动问题,一个被考察的质点和两个做相对运动的参考系。解：2、确定动系和静系静系：地面动系：人研究对象：风为P相对于动系

的速度，称为相对速度。

P点同时参与两种运动：相对于动系的运动；被动系带着一起以

运动为

系相对于静系

的速度，称为牵连速度。由：

:人行走速度，：风速(相对于地)，:风相对于人的速度得：得：解得：因此：风速：风向：西北风以矢量方式求解：【例2】小船M被水流冲走后，用一绳将它拉回岸边A点，假定水流速度C1沿河宽不变，而拉绳子的速度则为C2，如小船可以看成一个质点，求小船的轨迹.确定动系和静系静系：河岸动系：河流研究对象：小船解：由：选取极坐标,得

:

牵连速度，：绝对速度，:相对速度两式相除得：二、绝对加速度、相对加速度与牵连加速度动系S相对于静系S´做匀加速直线运动由得:§1.4质点运动定律

（1）什么样的参照系是惯性系？（2）什么样的参照系是非惯性系？（3）如何判断一个参照系是静止还是做匀速直线运动(力学相对性原理)？（4）地球是个绝对的惯性系吗？（5）力与加速度方向的关系如何？回答下列问题：注意以下几点:第一定律是第二定律所不可缺少的前提，因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系-----惯性参考系第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的引力质量相比，近年来的实验结果已经证实相差不到10-12.爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论的基本公设.一般工程问题地球可以看作惯性参考系；如果物体运动的尺度很大而且对精确度要求很高,应当考虑地球自转的影响,可取地心为惯性参考系；在分析行星的运动时，地心本身作公转，必须取日心参考系。太阳本身在银河系的加速度大约是3×10-10米/秒2，一般来说可以不用考虑了，可以认为足够精确的了.基本定律:质量为

的质点受力的作用，在惯性系中的加速度为

,则:§1.5质点运动微分方程

一、微分方程的建立1.自由质点的运动限制质点运动的条件称为约束，不受约束的质点称为自由质点。(1)直角坐标系三个二阶常微分方程构成微分方程组，给出初始条件：即可解得质点的运动规律。(2)平面极坐标如果质点在xy平面上运动，或:2.非自由质点的约束运动若质点被限制在某一曲线或曲面上运动,该曲线或曲面称为约束,其方程为约束方程,约束对质点的作用力为约束力(约束反力),约束力是待定的,取决于约束本身的性质。约束确定后，质点的运动状态取决于质点受到的主动力的情况,只靠约束力不能引起质点的运动,故称约束力为被动力.质点运动的约束微分方程：求解时，一般采用自然坐标系。(1)光滑约束：约束力在轨道的法平面内，即沿质点运动方向没有分量(光滑隐含的意义)

(1)式求出运动规律,(2)和(3)解出约束力,方便之处在于运动规律和约束力可分开求解.(2)非光滑约束:约束力在质点运动方向有分量(如摩擦力)四个方程，四个未知数v,Rt,Rn,Rb

约束方程(4)二、运动微分方程的求解两类基本问题：（1）已知运动，求力（2）已知力，求运动1.力仅是时间的函数：F=F(t)例1:研究自由电子在沿x轴的振荡电场中的运动解：自由电子(视为经典粒子)受电场力作用，于是：解题步骤：（1）明确研究对象，选择适当的参考系（3）写出运动微分方程，选坐标系投影；（4）积分求解，分析解的物理意义。（2）作图，受力分析；在x方向投影：两边对t积分，得假设初始条件:当t=0时，v=v0,假定初始位置t=0时，x=x0,则最后，得到结果讨论:该问题与无线电波在高密度自由电子的电离层中传播类似。(2)其余部分描述电子的直线运动。该部分不会产生波动的电磁场，对电磁波的传播没有贡献。仅仅给出电子的细致运动。小结：这类问题最容易解决，只需进行两次积分，就可以得到全部运动规律。(1)

为振荡项,电子在电场的作用下的受迫振动,产生电磁波,对电磁波的传播有贡献;2.力只是速度的函数：F=F(v)在普通物理中，忽略空气阻力（零级近似），得到简单的抛物线方程:抛体：自由落体：yxo但在速度较大或者物体形状较大时，空气阻力都是不能忽略的。而空气阻力比较复杂，与物体形状、速度、空气密度、温度都相关。━腔外弹道学把抛射体简化为质点，则阻力

运动方程：例2.考虑质点在重力场中运动时有阻力的情况。投影：再积分：类似地：y消去x和y中的t,得到轨道方程:即在阻力很小(b→0)或距离很短(x→0)时在：

(A)结果分析：(1)若阻力b很小或者x很小时，结果中的三次方及以上可以忽略,轨道近似为抛物线。（2）由(A)看出，在x→mv0x/b时，y→-∞，因此x有一个极限值mv0x/b【例3】质量为m的质点，在有阻力的空气中无初速地自离开地面为h的地方竖直下落。如阻力与速度正比，试研究其运动。2.作图，受力分析3.选取适当的坐标系（如图）4.列出运动微分方程即：4.解方程hx解：1.研究对象：质点，选地面为参考系令：则，得积分得由：得再积分得，并利用初始条件5.分析解的物理意义（1）t增大，v接近极限速度-g/k,运动几乎为匀速直线运动。【例4】在例3中，若阻力与速度平方成正比，试研究该质点的运动。2.作图，受力分析3.选取适当的坐标系（如图）4.列出运动微分方程hx解：1.研究对象：质点，选地面为参考系(1)即(2)令(3)(2)

式变为5.求解方程分离变量得(4)利用不定积分公式(5)得(6)(6)式变为即(7)再积分6.讨论【例5】质量为m的小球以初速v0竖直上抛，空气的阻力为R=kmv2求：（1）上升的最大高度；（2）返回到地面时小球的速度。y下面列出投影方程，上升时R=kmv2mg2.作图，受力分析3.选取适当的坐标系（如图）4.列出运动微分方程解：1.研究对象：质点，选地面为参考系利用：积分：得下降时R=kmv2mg利用：积分：(1)得(2)将（1）代入（2），得3.力只是坐标的函数：F=F(x),振动问题(1)一维谐振动求解：本征方程通解为令则其中，(2)三维谐振动（3）阻尼振动、受迫振动:4.约束运动问题一般选自然坐标系【例6】小环的质量为m，套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为x2=4ay。试求小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。解：1.作图，受力分析3.选取自然坐标系（如图），投影2.列出方程4.求解-dyds(2)(1)即对（2）对（1）滑至顶点时：由，故，滑至顶点时，x=0,y=0故，所以：§1.6非惯性系动力学(一)

------动系相对与静系作加速平动绝对加速度、相对加速度和牵连加速度之间满足如下关系对于质点P，在惯性系S中,惯性力注意：

(1)惯性力不是相互作用的力，不存在施力物体，只有在非惯性系中质点才会受这一力的作用。

(2)分析问题时注意选择的坐标系是惯性系还是非惯性系。【例1】火车在平直轨道上以匀加速a0向前行驶，在火车中用线悬挂着一小球，悬线与竖直线成θ角而静止,求θ。解：方法一（惯性系）1.作图，受力分析3.选取平面直角坐标系（地面为参照系，如图），分量方程。2.列出方程4.解之得方法二（非惯性系），选火车为参照系而：即：解之得：投影：yxTmg【例2】质量为m和2m的两个质点,为一不可伸长的轻绳连接,绳挂在光滑的滑轮上.在m的下端又用固有长度为a、倔强系数

k=mg/a的弹性绳挂上质量为m的另一质点，在开始时，全体保持竖直，原来的非弹性绳拉紧，而有弹性的绳处于固有长度上。由此静止状态释放后，求证这一运动是简谐振动。解：1.作图，受力分析对x1,x2选大地为参考系，o为原点，建立直角坐标系ox1，ox2，而对x3则选非惯性系，o´为原点，建立直角坐标系o´x3

。于是得到动力学方程组:目的：求x3与时间的关系，判断是否属简谐运动。（1）（2）（3）由：由（1）：即：令：令：则：即：§1.7功与能

一.功和功率1.质点在恒力作用下沿直线运动2.质点受变力沿曲线运动功是标量，其值与坐标选取无关。在直角坐标系下：其中，是力的作用点之位移。3.若质点受几个力F1,F2,……,Fn作用,合力即合力对质点所做的功为各力对质点所做功的代数和。一般情况下，做功与路径有关位移元是力的作用点的位移做功与参照系的选取有关说明：4.功率:表述做功快慢的物理量。二.能物体具有做功的本领，称它具有一定的能量。力学中――机械能。当能量发生变化时，总有一定数量的功表现出来――功是能量变化的度量。生活中的各种能源举例，我国的能源现状。三.保守力、非保守力、耗散力1.力场:一般情况下：若质点在某空间区域任意位置上，受到确定的力F(r)，力是位置的单值有界可微函数，则该区域称为力场，F为场力。如：万有引力场、静电场。若含有时间称为非稳定场。2.保守力场:若力场是稳定的，当质点运动时，场力做功单值地由始末位置确定（与轨道形状无关）――该力场称为保守力场。质点受到的场力为保守力。如电磁力、重力等。否则场力做功与路径有关，这种力为非保守力(漩涡力)，力场为非保守力场。如：摩擦力――与路径有关――耗散能量――耗散力3.保守力的判据:F(r)为保守力的充要条件：即：证明:必要性与路径无关，只与始末位置有关。必存在一可微函数V，使得充分性:根据斯托克斯定理即积分与路径无关=同理：4.势能:函数V(x,y,z)成为质点在坐标(x,y,z)处的势能。势能的物理意义：保守力作的功等于势能的减少量。注：1)势能函数加上任意常数不影响势能差。3)F与V的关系：2)仅当力场为保守力场时才可引入势能。【例1】设作用在质点上的力是沿此质点沿螺旋线，运行自θ=0至θ=2π时，力对质点所做的功。解：先验证力是否为保守力解法二：选直线路径积分xyz解法三：沿质点运动的路径积分解法四：用势能的增量计算做功【例2】在例1中，如果则结果如何？做功与路径有关。不存在势能函数§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律

一、动量定理与动量守恒律1.动量:定义：2.动量定理物理学中一个非常重要的物理量。在机械运动的范围内，质点间运动的传递通过动量的交换来实现。动量是机械运动强弱的度量。为动量定理的微分形式。变形并积分力对质点的冲量，是一个矢量。上式为动量定理的积分形式。3.动量守恒即：如果质点受到的合外力等于零，则其动量守恒。常数由初值确定。即：如果质点在某方向上受到的合外力为0,则该方向上的动量守恒。例：一质量为0.01kg的小球，从的高度处由静止下落到水平桌面上，反弹后的最大高度为。求小球与桌面碰撞时对桌面作用的冲量是多少？x解法一：(1)研究对象：小球

(2)参照系：桌面，坐标系：ox(3)受力分析：重力，桌面对小球的正压力(冲力)，用平均正压力代替桌面对小球的冲量小球对桌面的冲量(4)在小球与桌面碰撞过程中应用动量定理投影到x轴得标量方程其中，小球对桌面的冲量方向竖直向下解法二：将动量定理用于小球下落、与桌面碰撞和上升的整个过程。标量方程为其中，小球对桌面的冲量方向竖直向下二、力矩与动量矩1.力矩★力对空间某一点O的力矩:O点称为矩心★力对空间某一轴线的力矩:(力矩矢量沿轴的投影)OF对L轴力矩：即：力沿轴上一点的力矩在该轴上的投影。或者力在平面上的投影对力的作用点在轴上的垂直投影点的力矩大小。2.动量矩(矢量)对O点的动量矩：

对x,y,z轴的投影：三、动量矩定理与动量矩守恒律(对固定点O)1.动量矩定理(出发点：牛顿第二运动定律)动量矩定理的微分形式投影式:2.冲量矩3.动量矩守恒律即：如果质点受到的外力矩等于零,则其动量矩守恒。常数由初值确定。即：如果质点在某方向上受到的外力矩为0,则该方向上的动量矩守恒。【例1】质点所受的力恒通过某一个定点，则质点必在一平面上运动（如地球绕太阳运动，卫星绕地球运动等）。试证明之。解：分量式为：x乘(1),y乘(2),z乘(3),并相加,得:经过固定点的平面方程。

由于力恒通过一个定点，那么力对该定点的力矩:四、动能定理与机械能守恒律1.动能定理定义动能质点动能的微分等于作用在该点上的力所作的元功2.若F为保守力场，那么机械能守恒五、势能曲线质点受一维守恒力的作用，则质点的势能是其坐标的函数。假设该一维坐标为x,则V(x)–x图形称为势能曲线。经典力学与量子力学的区别之一，隧穿效应【例2】如图所示，一重锤固定一轻杆末端，将其约束在竖直圆周上运动。假设初始角度为θ0，忽略空气阻力，求重锤经过最低点的速度。解：(1)分析用机械能守恒律的可能性重锤受到哪些力？哪些做功哪些不做功？(2)确定初末态时重锤的总机械能；用机械能守恒定律求出速度

缺点：无法求出T的大小。(若考虑空气阻力，则不能用机械能守恒)零势能(3)尝试用动力学的方法受力分析写出动力学方程(自然坐标或极坐标)注意：假设了速度的方向后，那么就应该考虑相关表达式的正负。由于这里只关心速度的值，因此求解时最好把dt换成dθ：于是微分方程变为：两边积分：求杆对重锤的作用力守恒律小结2.牛顿第二定律是二阶微分方程，守恒律是一阶的，称为第一积分，能量守恒也称能量积分。用初积分比用运动方程来的简单。基础：§1.9有心力

一、有心力的基本性质1.有心力：运动质点受力的作用线始终通过某一定点，该力为有心力，该点叫力心。有心力的量值一般为r的函数。2.平面运动因为力通过力心质点必在垂直于的平面内运动。如：月亮绕地球运动、地球绕太阳运动3.运动微分方程(1)直角坐标(2)极坐标物理意义:动量矩守恒4.有心力为保守力机械能守恒定律：解决问题的基本出发点：二、轨道微分方程：比耐公式通常求轨道：然后消去t后得到。但在有心力中，所有对于时间的微分都可以通过消除，从而得到关于r

与θ的微分方程,求解轨道微分方程可得轨道方程。令：--比耐公式用途:本星系群局域超星系团太阳系概况1、太阳：太阳系中心天体，是太阳系光和能量的来源，其质量占总质量的99.865%。2、行星和卫星：

太阳系的主要成员

水金地火木土天海(公转方向相同)卫星：

1261312111环带：

有有有有3、小天体：

小行星、彗星、流星、陨星。木土天海地金火水公转轨道具有共面性：行星偏心率倾角轨道半长轴(AU)公转周期(年)水星0.20567.0°0.38710.2411.00130金星0.00683.4°0.72330.6150.99953地球0.01670°1.000011.00000火星0.09341.9°1.52371.8811.00018木星0.04831.3°5.202711.8620.99915土星0.05602.5°9.555529.4560.99446天王星0.04610.8°19.191184.0060.99844海王星0.00971.8°30.1090164.7820.99479开普勒第三定律三、平方反比引力──行星运动引力:比耐公式变为A,θ0微积分常数,将极轴转动使θ0=0为正焦弦的一半为偏心率,由初始条件确定以太阳为焦点的圆锥曲线OCxABrpy以椭圆为例可见,平方反比引力下行星的的运动是以太阳为焦点的圆锥曲线。在直角坐标系中，轨道方程OCxABrpy(1)e<1椭圆

近日点远日点(3)e>1双曲线OA(2)e=1抛物线引力斥力由于e是一个几何量，应该找一个物理量作为判据。由于有心力是保守力，因此行星运动过程中机械能守恒——机械能可否作为判据？下面计算在顶点的总能量。先计算A点动能：由：

在A点的向心力：下面计算ρ:由：得：因此：下面讨论

A点的势能,取无穷远处的势能为0点在A点:于是A点的总能量:总能量决定轨道形状：四、从开普勒定律到万有引力定律(开普勒-->牛顿)──从轨道规律得到力的性质1.开普勒三定律(1)行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于焦点之一(1609年)(2)矢径在单位时间内扫过的面积相等，(1609年)dA结果：动量矩守恒，引力对太阳的力矩为零：有心力(3)行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比(1619年)计算周期:椭圆面积:万有引力定律1687年开普勒第三定律五、宇宙速度与宇宙航行1.