王能超-数值分析-第三章

第三章常微分方程的差分方法1欧拉方法2改进的欧拉方法3龙格-库塔方法4亚当姆斯方法5收敛性与稳定性6方程组与高阶方程的情形7边值问题数值分析简明教程引言

科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题的最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初值问题：本章中我们假定右函数适当光滑以保证初值问题解的存在唯一。虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但求解从实际问题中归结出来的微分方程要靠数值解法。差分法是一类重要的数值方法，这类方法是要寻求离散节点上的近似解，相邻节点间距称为步长。初值问题的各种差分方法都采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进。描述这类算法，只要给出从已知信息计算的递推公式，这类计算格式统称为差分格式。数值分析简明教程欧拉格式微分方程的本质特征是方程中含有导数项，这也是它难于求解的症结所在。数值解法的第一步就是设法消除其导数值，这项手续称为离散化。实现离散化的基本途径就用差商代替导数。譬如，若在点列出方程，并用差商代替，结果有设用的近似值代入上式右端，记所求结果为，这样导出的计算公式就是众所周知的欧拉（Euler）格式，若初值是已知的，则依据上式即可逐步算出数值解。数值分析简明教程欧拉格式的精度为简化分析，人们常在为准确即的前提下估计误差，这种误差称为局部截断误差。如果一种数值方法的局部截断误差为，则称它的的精度是阶的，或称之为阶方法。由此我们可知欧拉格式仅为一阶方法。数值分析简明教程隐式欧拉格式设改用后差商替代方程

中的导数项，再离散化，即可导出下列格式该格式右端含有未知的，它实际上是个关于的函数方程。故称该格式隐式欧拉格式。隐式欧拉格式也是一阶方法，精度与欧拉格式相当。数值分析简明教程两步欧拉格式设改用中心差商替代方程

中的导数项，再离散化，即可导出下列格式无论是显式欧拉格式还是隐式欧拉格式，它们都是单步法，其特点是计算时只用到前一步的信息，而该格式却调用了前面两步的信息，两步欧拉格式因此而得名。两步欧拉格式具有更高的精度，它是二阶方法。数值分析简明教程梯形公式设将方程的两端从到求积分，即得，显然，只要能近似的算出其中的积分项，我们就可以得到计算的差分格式。若我们用梯形法计算积分项：再离散化，即可得如下计算公式与梯形求积公式相呼应的这一差分格式称为梯形格式。数值分析简明教程改进的欧拉格式先用欧拉法求得一个初步的近似值，记为，称之为预报值，然后用它替代梯形法右端的再直接计算，得到校正值，这样建立的预报－校正系统称为改进的欧拉格式：预报校正它有下列平均化形式：实践表明，改进的欧拉格式明显改善了精度。数值分析简明教程龙格-库塔法的设计思想考察差商，根据微分中值定理，存在点，利用所给方程得我们称为区间上的平均斜率，这样只要对平均斜率提供一种算法，相应地我们便导出一种计算格式。龙格－库塔（Runge－Kutta）方法设计思想就是设法在内多预报几个点的斜率值，然后把它们加权平均作为平均斜率，以期望构造出更高精度的计算格式。数值分析简明教程二阶龙格-库塔方法随意考察区间内一点，用两个点的斜率的加权平均代替平均斜率，于是我们就得到如下计算格式：其中有两个待定参数，适当选取它们的值，就可使上述格式有较高的精度。若，该格式是二阶的，故统称满足这一条件的一族格式为二阶龙格－库塔格式。特别地，当时，上述格式即为改进的欧拉格式，如果取，则上述格式称为变形的欧拉格式，亦称为中点格式。数值分析简明教程三阶龙格-库塔方法为了进一步提高精度，我们可以考虑用三个点的斜率值加权平均得出平均斜率的近似值，其中，于是就可以构造所谓的三阶龙格－库塔格式，下列库塔格式是其中的一种：

数值分析简明教程四阶龙格-库塔方法继续上述过程，我们可以导出四阶龙格－库塔格式，下列经典格式是其中的一种：值得注意的是，龙格－库塔法的推导基于泰勒展开法，因而它要求解具有较好的光滑性。如果解的光滑性差，则该方法得到的解反而不好。数值分析简明教程变步长的龙格-库塔方法同积分的数值计算一样，微分方程的数值解法也需要选择步长。同样，我们可以采取步长加倍或折半的办法选择步长，即通过检查步长折半前后的两种计算结果的偏差：来判断选取的步长是否合适，具体可以分为两种情况来处理：对于给定精度，若，则反复将步长折半进行计算直到为止，取步长折半后的“新值”作为结果；相反的，反复将步长加倍直到，取步长加倍前的“老值”作为结果。

这种通过步长加倍或折半的手续处理步长的方法称为变步长方法。数值分析简明教程亚当姆斯格式亚当姆斯（Adams)方法的设计思想是充分利用计算之前已得到一系列节点上的斜率值来减少计算量。譬如，我们可以用两点的斜率的加权平均作为区间上的平均斜率，于是可设计出如下二阶亚当姆斯格式：类似的，可导出如下三阶和四阶亚当姆斯格式：数值分析简明教程隐式亚当姆斯格式同样，我们也可导出如下隐式的二阶、三阶和四阶亚当姆斯格式：数值分析简明教程亚当姆斯预报-校正系统仿照改进的欧拉格式的构造方法，将显式和隐式两种亚当姆斯格式相匹配，可构成下列亚当姆斯预报－校正系统：预报校正数值分析简明教程改进的亚当姆斯预报-校正系统我们可以方便地估计出亚当姆斯预报校正系统的截断误差，从而依据这种估计将该系统就可改进为如下精度更高的计算方案：预报改进

校正改进数值分析简明教程收敛性问题在用差分格式求解微分方程时我们要考虑差分格式的收敛性。我们称差分格式是收敛的，如果对任意固定的，数值解当（同时）时趋于准确解。以下我们研究欧拉方法的收敛性。我们记，记为关于的李普希兹常数，经反复递推，可得其中为常数。若初始是准确的，即，则当时，有。这说明欧拉方法是收敛的。数值分析简明教程稳定性问题关于收敛性的讨论有个前提，即必须假定差分方法的每一步计算都是准确的。然而实际计算中往往由于有舍入误差等原因而产生扰动，而这些扰动有可能“淹没”真解，所以我们还要考虑稳定性问题。我们称差分方法是稳定的，如果在节点值上大小为的扰动于以后各节点值上产生的偏差值均不超过。稳定性比较复杂。为简化讨论，我们仅考察下列模型方程可以验证，对于该模型方程，欧拉格式是条件稳定的，而隐式欧拉格式是恒稳定的。数值分析简明教程一阶方程组前面我们研究了单个方程的差分方法，只要把和理解为向量，所提供的各种算法即可推广应用到一阶方程组的情形。譬如，对于方程组令，以表示节点上的近似解，则其改进的欧拉格式具有形式：预报校正数值分析简明教程化高阶方程为一阶方程组关于高阶微分方程（或方程组）的初值问题，原则上总可以归结为