第一章传感器的一般特性

1.1传感器的静态特性1.2传感器的动态特性

第1章传感器的一般特性1第1章传感器的一般特性

传感器可看作二端口网络，即有两个输入端和两个输出端，输出输入特性是其基本特性，可用静态特性和动态特性来描述。传感器输入输出2

一个高精度的传感器必须有良好的静态特性和动态特性才能完成信号无失真的转换。

输入量静态量：常量或变化缓慢的量----静态特性动态量：周期变化、瞬态变化或随机变化的量

----动态特性31.1

传感器的静态特性

传感器的静态特性是指被测量的值处于稳定状态时的输出输入关系。只考虑传感器的静态特性时,输入量与输出量之间的关系式中不含有时间变量。尽管可用方程来描述输出输入关系，但衡量传感器静态特性的好坏是用一些指标，重要指标有线性度、灵敏度,迟滞和重复性等。41.1

传感器的静态特性

1.1.1传感器的静态数学模型

1.1.2描述传感器静态特性的主要指标

51.1.1传感器的静态数学模型

在静态条件下，若不考虑迟滞及蠕变，则传感器的输出量y与输入量x的关系可由一代数方程表示，称为传感器的静态数学模型，即式中：

a0——无输入时的输出，即零位输出；

a1——传感器的线性灵敏度；

a2,a3,…,an——非线性项的待定常数。6

设a0=0，即不考虑零位输出，则静态特性曲线过原点。一般可分为以下几种典型情况。1、理想的线性特性

当a2=a3=…=an=0时，静态特性曲线是一条直线，传感器的静态特性为：灵敏度为：7

2、无奇次非线性项

当a3=a5=…=0时，静态特性为：

因不具有对称性，线性范围较窄，所以传感器设计时一般很少采用这种特性。

83、无偶次非线性项

当a2=a4=…=0时，静态特性为：

特性曲线关于原点对称，在原点附近有较宽的线性区。

94、一般情况

特性曲线过原点，但不对称。

这就是将两个传感器接成差动形式可拓宽线性范围的理论根据。101.1

传感器的静态特性

1.1.1传感器的静态数学模型

1.1.2描述传感器静态特性的主要指标111.1.2描述传感器静态特性的主要指标

通过理论分析建立数学模型往往很困难。借助实验方法，当满足静态标准条件的要求，且使用的仪器设备具有足够高的精度时，测得的校准特性即为传感器的静态特性。由校准数据可绘制成特性曲线，通过对校准数据或特性曲线的处理，可得到描述传感器静态特性的主要指标。

1213

1.线性度

传感器的校准曲线与选定的拟合直线的偏离程度称为传感器的线性度，又称非线性误差。

13

选择拟合直线的方法

(1)端点直线法，对应的线性度称端点线性度。简单直观，拟合精度较低。最大正、负偏差不相等。

14

(2)端点平移直线法，对应的线性度称独立线性度。最大正、负偏差相等。15

(3)最小二乘直线法，对应的线性度称最小二乘线性度。设拟合直线方程为y=b+kx，可按最小二乘法原理，求得最佳k和b。16

2.灵敏度

灵敏度是指传感器在稳态工作情况下输出改变量与引起此变化的输入改变量之比。常用Sn表示灵敏度，其表达式为:

对线性传感器，可表示为:17

有源传感器的输出与电源有关，其灵敏度表达式中还需考虑电源的影响。例如，某位移传感器的电源电压为1V时，每1mm位移变化引起输出电压变化为100mV，则其灵敏度可表示为100mV/(mm·V)

湿度传感器较为普遍采用的方法是，用在不同相对湿度下感湿特征量之比来表示灵敏度。18还可以使用相对灵敏度表示法:这种灵敏度表示法后面很常用。19

一般希望测试系统的灵敏度在满量程范围内恒定，这样才便于读数。也希望灵敏度较高；但并不是S越大越好。20

3.迟滞(迟环)

在相同工作条件下做全量程范围校准时，正行程和反行程所得输出输入特性曲线不重合。迟滞用来描述这种不重合的程度。

21

4.重复性

重复性是指在相同工作条件下，输入量按同一方向作全量程多次测试时，所得特性曲线不一致性的程度。22

因重复性误差属随机误差，故按标准偏差来计算重复性指标更合适，用smax表示各校准点标准偏差中的最大值，则

式中，a为置信概率系数，通常取2～3。取2时，置信概率为95.4%，取3时，为99.7%。

至于标准偏差，可按贝塞尔公式计算，也可按极差法计算。23

5.阈值和分辨力

(1)阈值：当传感器的输入从零开始缓慢增加时，只有在达到了某一值后，输出才发生可观测的变化，这个值说明了传感器可测出的最小输入量，称为传感器的阈值。

(2)分辨力：当传感器的输入从非零的任意值缓慢增加时，只有在超过某一输入增量后，输出才发生可观测的变化，这个输入增量称为传感器的分辨力。24DxDxyDy

025

(3)分辨率：有时用分辨力相对于满量程输入值的百分数表示，则称为分辨率。对数字式传感器，分辨力是指能引起数字输出的末位数发生改变所对应的输入增量。26

6.稳定性

稳定性表示传感器在较长时间内保持其性能参数的能力，故又称长期稳定性。稳定性可用相对误差或绝对误差表示。表示方式如：

个月不超过

%满量程输出。有时也采用给出标定的有效期来表示。

27

7.漂移

漂移是指传感器的被测量不变，而其输出量却发生了不希望有的改变。零点漂移灵敏度漂移时间漂移(时漂)温度漂移(温漂)28

8.静态误差

评价传感器静态特性的综合指标称为静态误差(也称总精度)，它是指传感器在满量程内任一点输出值相对于理论值的可能偏离程度。

(1)方和根与代数和法29

由于非线性和迟滞误差属于系统误差，而重复性误差属于随机误差，且这三种误差的最大值也不一定在同一位置上，所以上述处理误差合成的方法，虽然计算简单，但理论根据不足。一般来说，方和根法把静态误差算得偏小，而代数和法则算得过大。30

(2)系统误差加随机误差将系统误差与随机误差分开考虑，原理上较合理。用Dymax表示校准曲线相对于拟合直线的最大偏差，即系统误差的极限值；用s表示按极差法计算所得的标准偏差。则计算公式为:式中，a为根据所需置信概率确定的置信系数。美国国家标准局推荐该法，并按t分布确定a，当置信概率为90%、重复试验5个循环(即n=5)时，

a

=2.13185。311.2

传感器的动态特性

当被测量随时间变化时,传感器的输出量也随时间变化，其间的关系要用动态特性来表示。除了具有理想的比例特性外,输出信号将不会与输入信号具有相同的时间函数，这种输出与输入间的差异就是所谓的动态误差。32动态误差除了与传感器的固有因素有关之外，还与传感器输入量的变化形式有关。所以，通常采用最典型、最简单、最易实现的正弦信号和阶跃信号作为标准输入信号，来考察传感器的动态响应。

对于正弦输入信号，传感器的响应称为频率响应或稳态响应；对于阶跃输入信号，则称为阶跃响应或瞬态响应。331.2传感器的动态特性1.2.1传感器的动态数学模型

1.2.2传感器的动态误差

1.2.3描述传感器动态特性的主要指标

1.2.4传感器的动态响应341.2.1传感器的动态数学模型

通常把传感器看成一线性时不变系统，用常系数线性微分方程来描述其输出输入关系，即：式中，an,an-1,…,a0和bm,bm-1,…,b0均为与系统结构参数有关的常数。

显然，求解困难。所以常用一些足以反映系统动态特性的函数，将系统的输出与输入联系起来。35

1.传递函数

设x(t)、y(t)的拉氏变换分别为X(s)、Y(s)，对前式两边取拉氏变换，并设初始条件为零，得：式中，s为复变量，s=b+jw，b>0。

定义Y(s)与X(s)之比为传递函数，记为H(s)，则36

因此，研究一个复杂系统时，只要给系统一个激励x(t)并通过实验求得系统的输出y(t)，则由H(s)=L[y(t)]/L[x(t)]即可确定系统的特性。

对多环节传感系统，只要弄清各环节之间的关系(串联、并联或反馈)，一般经过简单运算即可由各环节的传递函数求出系统的传递函数。

37例如，对于由2个系统串联组成的新系统：H1(s)H2(s)X(s)Z(s)Y(s)H(s)其传递函数为：38而对于由2个系统并联组成的新系统：其传递函数为：H1(s)H2(s)X(s)Y(s)Y1(s)Y2(s)H(s)39

在大多数情况下，可假设bm=bm-1=…=b1=0，则传感器的数学模型可简化为：并进一步可写成：40传递函数的另一种形式是：上式表示一个高阶系统,也可以看成是由若干个一阶和二阶系统并联而成的。所以，零阶、一阶和二阶系统的响应是最基本的响应。后面着重讨论一阶和二阶系统的动态特性。41

2.频率响应函数

对于稳定系统，令s=jw，得：H(j)系统的频率响应函数，简称频率响应或频率特性。

42将频率响应函数改写为：其中：A(w)称为传感器的幅频特性，表示输出与输入幅值之比随频率的变化，也称动态灵敏度。j(w)称为传感器的相频特性，表示输出超前输入的角度，通常输出总是滞后于输入，故总是负值。研究传感器的频域特性时主要用幅频特性。

43

H(j)与H(s)的关系和区别：

(1)关系：从形式上看，H(s)的sj得到H(j)，故H(j)是H(s)的一个特例。

(2)区别：H(s)的输入并不限于正弦激励，它不仅决定了系统的稳态性能，同时也决定了瞬态性能；H(j)是在正弦激励下，系统稳定后的输出与输入之比。

44

3.脉冲响应函数

单位脉冲函数d(t)的拉氏变换为：故以d(t)为输入时系统的传递函数为：再对上式两边取反拉氏变换，并令L-1[H(s)]=h(t)，则有：通常称

h(t)为系统的脉冲响应函数。

45

对于任意输入x(t)所引起的响应y(t)，可利用两个函数的卷积关系，即响应y(t)等于脉冲响应函数h(t)与激励x(t)的卷积，即：所以，脉冲响应函数也可以描述系统的动态特性。461.2传感器的动态特性

1.2.1传感器的动态数学模型1.2.2传感器的动态误差

1.2.3描述传感器动态特性的主要指标

1.2.4传感器的动态响应471.2.2传感器的动态误差传感器的动态误差通常包括两部分：①输出量达到稳定状态后与理想输出量之间的差别，称为稳态误差。②输入量发生跃变时，输出量由一个稳定状态过渡到另一个稳定状态期间的误差，称为暂态误差。

48

当传感器的输入为x(t)、实际输出为y(t)时，动态误差ed(t)可写成如下形式

式中，H(p)是以算子形式表示的理想传递系数，H(p)x(t)表示传感器的理想输出。49如果传感器是理想的，即传递系数为1，则：经推导，可得：式中C0,C1,…称为误差系数。50

根据所得误差系数可知：

①如果x(t)=A0(常数)，则ed(t)=C0x(t)=C0A0，如果此时再有C0=0，则传感器的动态误差也等于零。由此可见，C0=0的传感器具有一阶无差性。

②如果x(t)=A0+A1t(A0、A1为常数)，当C0=C1=0时，则不产生动态误差，即传感器具有二阶无差性。如此等等。51

若对任意形式的输入x(t)，都有y(t)=kx(t-t)，k、t为常数，则传感器是无失真的，其输出与输入相比，只有幅度上的差别和时间上的滞后，而没有波形上的不同。此时：所以，不失真条件为：52y(t)=A0x(t)是理想输出，y(t)=A0x(t-t0)是实际输出53

幅值失真和相位失真：

(1)A()常数幅值失真

这种失真对多频成分信号的影响是严重的，而对于单频成分的信号只导致幅值测量的线性误差。

(2)()-t或0相位失真

相位失真使得不同的频率成分滞后不同，引起波形改变。

541.2传感器的动态特性

1.2.1传感器的动态数学模型

1.2.2传感器的动态误差1.2.3描述传感器动态特性的主要指标

1.2.4传感器的动态响应55

1.时域性能指标

通常在阶跃信号作用下测定传感器动态性能的时域指标，称为阶跃法。传感器在单位阶跃信号x(t)作用下的典型过渡过程曲线如图所示。

56

(1)时间常数t

：指输出值上升到稳态值yw的63%时所需的时间。57

(2)上升时间tr：指输出值从稳态值的10%上升到90%(或从5%到95%)所需的时间。58

(3)响应时间ts：指输出值进入并稳定在稳态值的允许误差带(通常为稳态值的-5%~+5%或-2%~+2%)内所需的时间。59

(4)过调量s

：指输出值超出稳态值的最大量，常用相对于稳态值的百分比表示。6061

2.频域性能指标

通常在正弦信号作用下测定传感器动态性能的频域指标，称为频率法。典型的传感器幅频特性曲线如图所示。61

(1)通频带wb

是指在对数幅频特性曲线上幅值衰减3dB时所对应的频率范围。62

(2)工作频带wg1或wg2

是指幅值误差在5%或10%之间时所对应的频率范围。但谐振峰右边一段很少用。63

(3)相位误差是指在工作频带内，传感器的实际输出与理想的无失真输出之间的相位差。641.2传感器的动态特性

1.2.1传感器的动态数学模型

1.2.2传感器的动态误差

1.2.3描述传感器动态特性的主要指标1.2.4传感器的动态响应651.2.4传感器的动态响应

1.零阶传感器

例如图示电位器式位移传感器。其微分方程形式为a0y(t)=b0x(t)或写成：可见，对零阶传感器，无幅值失真和相位失真问题。

66

对零阶传感器，若输入为单位阶跃函数，则输出也为阶跃函数。67零阶传感器的幅频特性和相频特性如图所示。68

2.一阶传感器

一阶传感器的微分方程为：令时间常数t

=a1/a0，Sn=b0/a0=1(称为归一化)。对任意传感器，根据灵敏度的定义，b0/a0总是表示灵敏度的。由于线性传感器灵敏度为常数，动态分析中只起着使输出扩大Sn倍的作用，因此为了方便，讨论任意阶传感器时，都将灵敏度归一化为1。

69归一化后：例如，图示不带保护套管的热电偶。70

一阶传感器的单位阶跃响应如图所示(阴影即动态误差)。

当t=t时，相对误差为36.8%，t=5t时，相对误差为0.07%。71对一阶传感器，有：幅频特性和相频特性分别为：当wt<<1时，有A(w)1，j(w)-wt，表明传感器的输出与输入呈线性关系，且相位差也很小，输出能比较真实地反映输入的变化。因此，

减小t可改善传感器的频率特性。

72一阶传感器的频率特性如图所示。73对一阶传感器，若输入正弦信号：则：

y(t)包括瞬态响应成分(第一项)和稳态响应成分(第二项)。743.二阶传感器

二阶传感器的微分方程为：75

例如图示带保护套管式热电偶插入水池中测温，即为二阶传感器。76二阶传感器的传递函数为：输入x(t)为单位阶跃信号时，设初始条件为零，则其阶跃响应根据阻尼比x的大小可分为三种情况。

(1)x>1，称为过阻尼，阶跃响应为：77(2)x=1，称为临界阻尼，阶跃响应为：(3)x<1，称为欠阻尼，阶跃响应为：78

二阶传感器的响应在很大程度上取决于阻尼比x和固有角频率w0。w0越高，传感器的时间常数t越小，则响应越快。x对过调量和响应时间有直接影响。

(1)x>1时，传感器等效于两个具有不同时间常数的一阶传感器的串联，此时虽不产生振荡，但也需经历较长时间才能达到稳态。

(2)x=1是由不振荡过渡到振荡的临界状态。79

(3)x<1之后，传感器的输出将变为振幅逐渐减小的衰减振荡。若x过小，振荡次数太多，接近稳态的时间也将很长。

(4)欠阻尼的极限状态为x=0，此时过调量为100%，输出为等幅振荡。但总存在能量消耗。

如果x在0.6~0.8之间，则最大过调量不超过2.5%~10%，接近稳态值的时间较短。所以设计传感器时，常把阻尼比选在此范围内。

80

二阶传感器的频率响应函数、幅频特性、相频特性分别为：81二阶传感器的幅频特性和相频特性曲线如图所示

(1)当x=0，w=w0时，A(w)趋于无穷大，即发生了谐振，其结果是使输出信号的波形严重失真。82

(2)随着x的增加，谐振现象逐渐不明显。当x>0.707时，不再出现谐振现象，这时A(w)随w的增加而单调下降。83

(3)x在0.6～0.7之间时，无失真范围大，为最佳阻尼。8485

(4)当