第三章线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组第三章矩阵的初等变换与线性方程组内容1．矩阵的初等变换2．初等矩阵3．矩阵的秩4．线性方程组的解第三章矩阵的初等变换与线性方程组要求1．熟练掌握用初等变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；

理解矩阵等价的概念；2．理解初等矩阵，理解初等矩阵与初等变换的联系；

掌握用初等变换求矩阵的秩的方法；3．理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩的原理，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法。知道矩阵的标准形与矩阵的秩的关系。理解矩阵秩的基本性质。4．掌握线性方程组无解、有唯一解或有无穷多解的充分必要条件，熟练掌握应用矩阵的初等变换求解线性方程组的方法；5．知道矩阵方程AX=B有解的充分必要条件。第三章矩阵的初等变换与线性方程组重点、难点1．矩阵的秩的求法2．线性方程组的有解情况的判断及求解3．初等变换的应用4．矩阵的秩的性质及应用一、矩阵的初等变换1．引例（用消元法解线性方程组）引例用消元法解线性方程组【解】①②（1）③交换方程①和②①②（2）③从②③中消去x②-3×①,③-4×①①②（3）③一、矩阵的初等变换从③中消去y③-②①②（4）③约去②③中公因子1/14×②，1/7×③①②（5）③回代求解一、矩阵的初等变换①②（5）③由②==>y=z+2

④将④代入①==>x=-2z-1⑤z可取任意实数若令z=c，(c为任意常数)，则方程组的解可记为一、矩阵的初等变换下面来分析一些用消元法解方程组的过程：（1）用到三种变换：交换方程的次序；以不等于零的常数乘以某个方程；一个方程加上另一个方程的k倍。（2）这三种变换均可逆，所以变换前后的方程是同解，从而可求出方程组的全部解，称为方程组的同解变换。（3）运算过程中只有系数和右端常数参与运算，未知量仅仅是起到占位作用，而为参与任何实质计算。一、矩阵的初等变换2．初等变换定义（初等行变换）我们将下述三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）对调两行，记作

ri

←→

rj；（2）以非零数k乘某行的所有元素，记作

kri；（3）把某一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去，记作ri+krj。说明：①将上述定义中的“行”改为“列”，即为初等列变换的定义；②矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换；③初等变换均可逆，其逆变换均为初等变换。一、矩阵的初等变换例一、矩阵的初等变换3．等价矩阵定义（等价矩阵）如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价。矩阵等价关系满足以下性质：

①反身性；②对称性；③传递性。满足此三条性质的任何关系都可以称为等价关系。注：两个线性方程组同解，则称它们等价。一、矩阵的初等变换例1

利用初等行变换解线性方程组【解】首先写出原方程组的增广矩阵，然后对增广矩阵做初等行变换。一、矩阵的初等变换以B5为增广矩阵的线性方程组为：令z=c（c为任意常数），则有一、矩阵的初等变换4．行阶梯形矩阵定义（行阶梯形矩阵）上述矩阵B4具有如下特点：横线下方全是0；每个阶梯只有一行，阶梯数即非零行行数；竖线后面第一个元素为非零元；将满足此特点的矩阵称为行阶梯形矩阵。一、矩阵的初等变换定义（行最简形矩阵）矩阵B5除满足行阶梯形矩阵的特点外，还满足：(4)每行第一个非零元素为1，且该元素所在的列的其余元素为0；将满足条件(4)的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵。一、矩阵的初等变换定义（矩阵的标准形）上述矩阵的特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素均匀0；满足此条件的矩阵成为矩阵的标准形。结论：矩阵Am×n

经过初等变换（行和列）总可以化为标准形它由m，n，r

完全确定。一、矩阵的初等变换例2

用初等行变换化矩阵A为行最简形。【答案】二、初等矩阵1．初等矩阵定义（初等矩阵）由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，有三种类型：E(i,j)，E(i(k))，E(i,j(k))。相关结论：变换符号行列式的值逆矩阵E(i,j)-1E(i,j)E(i(k))kE(i,j(k))1E(i,j(-k))二、初等矩阵2．矩阵的初等变换与矩阵乘法之间的关系定理对矩阵A施行一次初等行（列）变换相当于以相应的初等矩阵左（右）乘矩阵A。【证明提示】对矩阵A作行（列）分块，然后分别证明即可。二、初等矩阵3．可逆方阵的初等变换求法定理设A为n阶方阵，则A

可逆

存在有限个初等矩阵P1，P2，…，Pk，使得

A=P1P2…Pk

。【证明】

（必要性）设A

可逆，且A

的标准形为F

，由F~A，知F

经过有限次初等变换可化为A

，即有初等矩阵P1，P2，…，Pk，使得A=P1P2…PsFPs+1…Pk因为A可逆，P1，P2，…，Pk

也都可逆，故F

可逆。假设中r<n，则|F|=0，与F可逆矛盾。所以F=E

，且A=P1P2…Pk

。二、初等矩阵（充分性）设A=P1P2…Pk，因为初等矩阵均可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆。所以A

可逆。〖推论1〗〖推论2〗方阵A可逆A~E（按行），

即A可以通过初等行变换变成E

。Am×n~Bm×n

存在可逆矩阵P和Q

，使得A=PBQ。二、初等矩阵〖方法〗AX=B（其中A可逆）的初等变换解法。由A

可逆，则存在初等矩阵P1，P2，…，Pk，使得

A=P1P2…Pk

从而

A-1=Pk-1…P1-1，Pk-1…P1-1A=E，

Pk-1…P1-1B=A-1B，所以综上，要求A-1B，只需特殊情况：当B=E时，二、初等矩阵例3

求矩阵A的逆矩阵，其中【解】二、初等矩阵例4

解矩阵方程AX=A+X，其中【答案】原方程可变为三、矩阵的秩1．矩阵的秩定义（k阶子阵）在矩阵A中任取k行k列，位于这些行与列相交处的元素，按照原来相应位置构成的k阶矩阵。定义（k阶子式）矩阵A的k阶子阵的行列式。m×n

型矩阵A的k阶子式共有CmkCnk

个。定义（矩阵的秩）如果矩阵A

中有一个r

阶子式Dr≠0，且所有的r+1阶子式（如果存在）Dr+1=0，则称Dr为A

的一个最高阶非零子式。数r

称为矩阵A

的秩，记为R(A)。三、矩阵的秩注：1．规定R(Om×n)=0；2．设A=(aij)nxn，若R(A)=n，称A为满秩阵；

若R(A)<n，称A为降秩阵；3．设A=(aij)mxn，若R(A)=min{m,n}，称A为满秩阵；4．R(AT)=R(A)；5．利用定义求矩阵的秩时，要从高阶向低阶逐个子式进行检验；如果k+1阶子式均为0，而某个k+1

阶子式不等于0，则R(A)=k。三、矩阵的秩例5

求矩阵A的秩，其中【答案】R(A)=1.三、矩阵的秩2．矩阵秩的计算定理若A~B，则R(A)=R(B)。【注】如果此定理成立，则应有下面的一些应用。①初等变换不改变矩阵的秩；②提供了一种求秩的简便方法；③矩阵的秩为等价矩阵之间的一个不变量。【证明思路】①A经一次行初等变换后为B时，R(A)=R(B)；②A经有限次行初等变换后为B时，R(A)=R(B)；③对列变换上述结论亦成立；④推出定理。三、矩阵的秩〖求秩的方法〗首先，利用初等行变换把矩阵A化成行阶梯形矩阵B；然后，求出矩阵B的秩，即R(A)=R(B)=B的非零行的行数例6

设求R(A)及A的一个最高阶非零子式。【答案】R(A)=3，一个最高阶非零子式为三、矩阵的秩例7

设，已知R(A)=2，求λ与μ。【解】因为R(A)=2，故三、矩阵的秩3．矩阵秩的性质①0≤R(Am×n)≤min{m,n}；②R(AT)=R(A);③A~B=>R(A)=R(B)；④若P,Q可逆，则R(PAQ)=R(A)；⑤max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)；当B=b为列向量时，R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1；⑥R(A+B)≤R(A)+R(B)；⑦R(AB)≤min{R(A),R(B)};⑧若Am×nBn×s=0m×s，则R(A)+R(B)≤n。三、矩阵的秩⑤的证明：由于R(A)

的最高阶非零子式总是(A,B)的非零子式，故R(A)≤R(A,B)；同理，R(B)≤R(A,B)；所以max{R(A),R(B)}≤R(A,B)

。设R(A)=r，R(B)=t，则R(AT)=r，R(BT)=t；对AT，BT分别作行初等变换，并化成行阶梯形C和D，则C和D分别有r个和t个非零行，从而矩阵中只含有r+t

个非零行，因此三、矩阵的秩例8

设A

为n

阶方阵，证明R(A+E)+R(A-E)≥n。【证明】由性质⑥，而三、矩阵的秩例9

设A为m×n

矩阵，证明：若AX=AY，且R(A)=n，则X=Y

。【证明】由秩的性质⑧，得到而R(A)=n

四、线性方程组的解1．基本理论设有n个未知数m个方程的线性方程组写成矩阵方程为AX=b(2)若(1)或(2)有解，则称(1)是相容的；若(1)或(2)无解，则称(1)是不相容的。四、线性方程组的解【定理】线性方程组AX=b

无解R(A)<R(A,b)；有唯一解R(A)=R(A,b)=n；无限多解R(A)=R(B)<n

。〖注记〗此定理给出了AX=b的解的判别的所有情况；

对AX=b的解的情况判别可以借助矩阵的秩和矩阵的行初等变换进行；(3)此定理充分性的证明过程给出了求解方法。【证明】

参见教材P72。四、线性方程组的解2．解法举例解法过程的详细描述参见教材P72-73页。例10

求解齐次线性方程组【解】同解方程组为：四、线性方程组的解由此，得到令则原方程组的通解为写成向量形式为四、线性方程组的解例11

求解非齐次线性方程组【答案】R(A)=2<R(A,b)=3，无解。四、线性方程组的解例12

求解非齐次线性方程组【答案】通解为：四、线性方程组的解例13

设有线性方程组问λ取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多解？并在有无限多解时球其通解。【答案】①当λ≠0且λ≠3时，方程组有唯一解；②当λ

=0

时，R(A)=1<R(A,b)=2，无解；③当λ

=3

时，R(A)=R(B)=2，有无限多解。有无限多解时的通解为：四、线性方程组的解3．结论与应用结论1

线性方程组AX=b有解R(A)=R(A,b)；结论2

n元齐次线性方程组AX=0

有非零解R(A)=n；结论