第九章质点动力学的基本方程

第三篇《动力学》上海工程技术大学工程力学部刘立厚1引言一.理论力学：二.力学模型：研究物体的机械运动与作用力之间的关系.2.质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点组成的系统。1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。第三篇动力学例如：研究卫星的运行轨迹时，卫星刚体作平动时,刚体质点；质点；2自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。三.动力学分类:质点动力学质点系动力学质点动力学是质点系动力学的基础。四.动力学的基本问题：大体上可分为两类：

第一类：已知物体的运动情况，求作用力；综合性问题：已知主动力，求约束力。第三篇动力学非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。问题实质是：已知主动力，通过求运动，再由运动求约束力。第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。

3第九章质点动力学的基本方程4

§9–1动力学的基本定律

§9–2质点的运动微分方程第九章质点动力学的基本方程第九章质点动力学的基本方程5质点动力学的基础是牛顿的三定律。§9-1动力学的基本定律第一定律（惯性定律）不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。第二定律（力与加速度之间的关系的定律）质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力，加速度的方向与力的方向相同，即：第三定律（作用与反作用定律）单位：质量m[kg]；加速度

[m/s2];力为导出单位；第九章质点动力学的基本方程6

将动力学基本方程表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。1.矢量形式:§9-2质点运动微分方程2.直角坐标形式：牛顿定律成立的条件为惯性参考系。为矢径形式的运动方程。式中为质点直角坐标形式的运动方程。第九章质点动力学的基本方程7

3.自然形式

质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形式,柱坐标形式等等。应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。式中为质点弧坐标形式的运动方程。第九章质点动力学的基本方程81.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）

质点动力学两类问题解题步骤和要点：

②受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。

③运动分析（分析质点运动的特征量）。

④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。

⑤求解未知量。

①确定研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。第九章质点动力学的基本方程9[例1]

桥式起重机跑车吊挂一重为P的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。解：①研究对象：重物(抽象为质点)③运动分析②受力分析：沿以O为圆心,L为半径的圆弧摆动。第九章质点动力学的基本方程10④列出自然形式的质点运动微方程⑤求解[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。②拉力Tmax由两部分组成,一部分等于物体重量,称为静拉力一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。第九章质点动力学的基本方程11例：一圆锥摆，如图所示。质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m的绳上，绳的一端系在固定点O，并与铅直线成θ=30º

角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力F的大小。Olθ第九章质点动力学的基本方程12Olθ

1

研究对象：小球因，于是解得：绳的张力与拉力F的大小相等。eneteb解：3运动微分方程投影到自然轴上

2受力分析：第九章质点动力学的基本方程得:13第九章质点动力学的基本方程14例曲柄连杆机构如图所示。曲柄OA以匀角速度ω转动，

OA=r，AB=l，当λ=r/l

比较小时，以O为坐标原点，滑块B的运动方程可近似写为如滑块的质量为m，忽略摩擦及连杆AB的质量，试求当和时，连杆AB所受的力。xyOABφβω第九章质点动力学的基本方程15第九章质点动力学的基本方程16当时，解：写出滑块沿x轴的运动微分方程xyOABφβω1)研究对象：滑块B2)受力分析：3)运动分析：4)列动力学方程：AB杆受的拉力5)求解：第九章质点动力学的基本方程17时，AB杆受压力。则有：xyOABφβω而，第九章质点动力学的基本方程182.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）

已知的作用力可能是常力,也可能是变力。变力可能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。解题步骤如下：①研究对象；②受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）；③运动分析。

(除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件）。第九章质点动力学的基本方程19可直接分离变量。

选择并列出适当的质点运动微分方程。如力是常量或是时间及速度函数时，求解未知量。如力是位置的函数，需进行变量置换应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。第九章质点动力学的基本方程20[例1]

桥式起重机跑车吊挂一重为P的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳转到的角速度。解：①研究对象：重物(抽象为质点)③运动分析②受力分析：所以第九章质点动力学的基本方程21④列出自然形式的质点运动微方程⑤求解第九章质点动力学的基本方程22粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在θ=θ0

时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。θ0第九章质点动力学的基本方程23解：1研究对象：铁球2受力分析：3运动分析：θ04列方程：求解：第九章质点动力学的基本方程24当θ=θ0时，铁球将落下，这时FN=0，于是得

显然，越小，要求n

越大。当，，铁球就会紧贴筒壁转过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉碎矿石的作用。第九章质点动力学的基本方程25例物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块质量为m，弹簧刚度系数为k。在弹簧拉长变形量为l0时，释放物块。求物块的运动规律。第九章质点动力学的基本方程26或：上式化为自由振动微分方程的标准形式：解：4)此物块沿x轴的运动微分方程为令：1)研究对象：滑块2)受力分析：3)运动分析：直线运动第九章质点动力学的基本方程27代入则此物块的运动方程为可见此物块做简谐振动，振动中心为O，振幅为l0，周期。将mOxFx称为圆频率，应由其标准形式的运动微分方程

直接确定。

第九章质点动力学的基本方程28此微分方程的解可写为由此解出

mOxFx由初始条件:第九章质点动力学的基本方程29列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算

选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。[例2]

煤矿用填充机进行填充,为保证充填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米的顶板A处。求(1)充填材料需有多大的初速度v0

?(2)初速与水平的夹角f0？

解：属于已知力为常量的第二类问题。第九章质点动力学的基本方程30代入最高点A处值，得：发射初速度大小与初发射角为将到达A点时的时间t,x=S,y=H代入运动方程，得：即第九章质点动力学的基本方程31[例3]

发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。取火箭(质点)为研究对象,建立坐标如图示。火箭在任