2018年高考数学专题06确定抽象函数单调性解函数不等式黄金解题模板

专题06确定抽象函数单调性解函数不等式【高考地位】函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。【方法点评】确定抽象函数单调性解函数不等式使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步(定性)确定函数f(%)在给定区间上的单调性和奇偶性;解题模板：第一步第二步(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式;第三步(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步 (反思)反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范例1已知函数f(%)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的实数X1,%2，且X1W%2，不等式%1f(%1)+%2f(%2)<%1f(%2)+%2f(%1)恒成立，则不等式(%+1)f(1—2%)<0的解集为.(1)【答案】—1，-.V27【解析】若对于任意给定的实数三,血，且再工血，，不等式三」(西)+切(无)父毛当》恒成立，等价为包—方)[〃玉)—〃年)]<0恒成立，即〃封是定义在正上的减函刿，又〃可是定义在立上的奇凶数，所以『(0)=0,当尤时，所以1—2尤>0,联立解得1,当工+1<0时，/(l-2x)>0,所以1—无解，综上应填1—11)例2.已知定义为R的函数f(%)满足下列条件：①对任意的实数%,y都有：f(%+y)=f(%)+f(y)—1；②当%>0时，f(%)>1.⑴求f(0)；(2)求证：fG)在R上增函数；(3)若f(6)=7,a«B,关于x的不等式f(ax-2)+fQ-x2)<3对任意x£匚1,+8)恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)f(0)=1；(2)证明见解析；(3)(-5,-31.【解析】令x=y町恒等式可变为〃0+0)=〃0)+〃0)—L解得〃。)=1(2)任取则无一办>0>由题设时，/(x)>1,可得/(无一天)>1>■.■/(Jc+y)=/(^)+/(y)-L(吃)=/[玉+(j—再)]=/(%)+/(五——所以〃力是虞上增国数.(3)由已知条件有:/(ax-2)+/(x-^)=/(ax-2+x-j？)+l,故原不等式可化为：/(亦—2+x—+ 即/[―*+g+l)x—2]<2,而当网eM时，/㈤=/5—1)+/(1卜1=/|>-2)+2/⑴—2=〃再—3)+3/⑴—3=-二成⑴—5—1),所以〃6)=6/⑴—5,所以/⑴=2,故不等式可化为/[―*+(口+1K—由(2)可知/(旬在度上为增函数,所以—3+(q+1)X—241,即x2-(a+1)x+3>0在x£1-1,+8)上恒成立，令g(x)=x2-(a+1)x+3，即g(x)>0成立即可.①当a+1<-1,即a<-3时，g(x)在x£[-1,+8)上单调递增，则g(x)=g(-1)=1+(a+1)+3>0解得a>-5,所以-5<a<-3,ta+1 (a+1)(a+1\2a+1②当一2T即a"3时，有g(x)=g= -(a+1)—-+3>02 minV2yV2y u2解得-2%：3—1<a<2<3—1,而-2<3—1<-3，所以-3<a<2<3—1,综上，实数a的取值范围是(-5,-31【变式演练1】设奇函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数，且f(-1)=-1.当x£[-1,1]时，函数f(x)<t2-2at+1,对一切a£[-1,1]恒成立，则实数t的取值范围为（）

A.-2<t<2 B,t<-2或t>2C.t<0或t>2D.t<-2或t>2或t=0【答案】D【解析】试题分析：由奇函数f(x)在区间［-1,1］上是增函数，且f(-1)=-1,所以在区间xe［-1,1］的最大值为1,所以1<12-2at+1当t=0时显然成立，当tw0时，则12-2at>0成立，又ae［-1,1］，令g(a)=2at-12,ae［-1,1］，当t>0时，g(a)是减函数，故令g(1)>0，解得t>2；当t<0时，g(a)是增函数，故令g(-1)>0，解得t<-2，综上所述，t>2或t<-2或t=0，故选D.考点：函数的单调性与函数的奇偶性的应用.【变式演练2】已知定义在R上的函数f(x)为增函数，当xJx2二1时，不等式f(X)+f(0)>f(X2'f(1)恒成立，则实数X1的取值范围是(A.(fA.(f。) B,f0,1k2/C.I-,1ID,(1,+s)k2J【答案】D/⑼</fl)【解析】若不<0,则电)1,故由函数的单调性可得｛；>(J，与题设矛盾，故答案A不正确，若。<再《呜X】，故(2遂2广所以/(^)+/(0)</(^,)+/(1),与题设矛盾，故答案B不正确S若gc巧<1,贝|10立女,故Ci'累厮以〃西)+/(0卜/(*)+〃13与题设矛盾，故答案C不正确；应选答案D。【变式演练3】定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(盯)=f(x)+f(y)，且f(x)是区间(0,+8)上的递增函数.(1)求f(1),f(-1)的值；(2)求证：f(-x)=f(x)；(3)解不等式f(2)+f(x-1)<0.【答案】(1)f(1)=0,f(—1)=0；(2)证明见解析；(3)0,1乙【解析】试题分析：(1)利用赋值法可求根据函数的奇偶性定义即可证明画数是偶困数；(的根据函数奇偶性,利用数形结合可解得不等式的解集.试题解析：解：(1)令x=y=l,则/(1)=/(1)+/(1), /(I)=0,令/=y=—l,则⑵令y=-l,则"-冷=『")+『(-1)=/(划"(-口=”工)(3)据题意可知，函数图象大致如下：/(2)+/《工一」)二/(2'一1)&0,，一142尤一1<0或0<2尤一1W1,，04尤<L或［<尤412 22考点：抽象函数及应用.【变式演练4】定义在(-1,1上的函数f(X)满足下列条件：①对任意X»e(-1,1)都有X+Vf(x)+f(V)=f(i ")；②当Xe(-1,0)时，有f(x)>0，求证：1+x+V(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)是单调递减函数；(3)f(-1)+f(-1)++f(―4--)>f(g)，其中neN*.11 19 n2+5n+5 3【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由奇函数的定义及特殊值f(0)=0即可证明；(2)由单调性的定义，做差证明；(3)先由题中已知的恒等式赋值,得出要求数列的通项J再利用的项求和的方法求得不等式左边的最简形式,最后比较左右两边的大小关系J即可得证.试题解析：证明：⑴令工=了=。代入八/)，得到，。=。,1+冷令¥=—尤,得f(x)+f(-x)=f(O)=Q,即/(—瑜=—/(>).在(一LD上是奇凶数.⑵设-1<毛<吨<1,则/(4-/(再)=/5)+/(_々)=/<三3)1—jqxj,/—1<jq <1/.|不巧|=|jq||Xj|<1；-1<jqXj<1.又不一再<0,，2122^10且21221+1=°+再乂1+无：):>0,1—jqxj1—西西 1—西玛._1<2iz^_<0;-af(^k)>Q? A/(^)</(^)1 ]一书2所以/(X)在(―LD上是单调递减因数.1]、(3)/(1/=〃>+；；黑2：]:打〃+2+与3]〃2+5〃+5 (n+2)(n+3)-l [+](一])〃+2n+31111TOC\o"1-5"\h\z=/(:)+/(一一-)=/(—)-/(—7)n+2 zz+3 n+2 n+3.,./(—)+/(—)++/(——-——)=[/(-)-/(-)]+[/(-)-/(-)]++[/(^—)-/(')]11 19 h2+5m+5 3 4 4 5 n+2 \+3i i 1=fG)-f(-^)=7G)+f(-) …n+3 3n+5VO<1<1, 1)>o,・・./(1)+/(-1)>fj).n+3 n+3 3 n+3 3故f(—)+f(—)++f( -)>/(-)-11 19 孔2+5孔+5 3考点：1.抽象函数;♦.2.函数的单调性，奇偶性；3.数列求和.【高考再现】.【2017全国卷一理】函数/G)在(-如+8)单调递减，且为奇函数.若/(D=-1,则满足-1W/G-2)(的1的取值范围是()A.[-2,21 B,C-b1] C,to,4] D.L3]【答案】D【解析】因为f(^)为奇函数，所以f(-1)--f(1)=1,于是-1Wf(x-2)W1等价于f(1)wf(x-2)wf(-1)|又f(x)在(-如+s)单调递减.•.-1<x-2W1.••1WxW3故选D2.12017天津理】已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(-log,」)，b-g(20.§，c=g⑶，则a,b,c的大小关系为(A)a<b<c (B)c<b<a (C)b<a<c (D)b<c<a【答案】。【解析】因为/《X)是奇困数目在正上是增函St所以在芯>。时，/(x)>o,从而飘用=豆也)是立上的偶函数，且在［。+⑼上是增函数，口=跃一1口的5.1)=^(log25.1),2削<2,X4<5.1<8,则2<1口乳5_1<:3,所以即0c2”<log25.1<3,式护)4其0g卢1"鼠》所以分“父〜故选C.【考点】指数，对数，函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函St对数国St借助指数困数和对数国数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.x+1.八.、3.12016高考新课标2理数】已知函数f(x)(xgR)满足f(-x)=2-f(x)，若函数y=——与y=f(x)xTOC\o"1-5"\h\z图像的交点为(x,y),(x,y)，…,(x,y),则£(x+y)=( )11 2 2 mm iii=1(A)0 (B)m (C)2m (D)4m【答案】C【解析】I]]试题分析：由于f(-X)+f(x)=2，不妨设f(X)=X+1,与函数y=士=1+—的交点为(1,2),(—1,0),X X故X1+X2+y1+y2=2，故选C考点：函数图象的性质【名师点睛】如果函数f(X)，VXGD，满足VXGD，恒有f(a+x)=f(b—x)，那么函数的图象有对称轴X=a+b；如果函数f(X)，VXgD，满足VxgD，恒有f(a—X)=-f(b+x)，那么函数的图象有对称中心.4.12015高考北京，理7】如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)^log2(X+1)的解集是( )A-A.{xI-1<xW0} B.{xI-1WxW1}C.{xI-1<xW1} D.{xI-1<xW2}【答案】C【解析】如图所示，把函数y=los3，的图象向左平移一个单位得到歹=1口无(1+1)的图象，=1时两图象相交，不等式的解为-1< <1,用集合表示解集选二【考点定位】本题考查作基本出数图象和困数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，体现了数形结合思想.【名师点睛】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，本题属于基础题，首先是函数图象平移变换，把y=log2x沿x轴向左平移2个单位，得到y=log2(x+2)的图象，要求正确画出画出图象，利用数形结合写出不等式的解集.5.12014高考陕西版理第7题】下列函数中，满足“/(X+y)=f(X)f(y)”的单调递增函数是()(A)f(x)=x2 (B)f(x)=x3 (C)f(x)=1 (D)f(x)=3x12J【答案】D【解析】试题分析：1 12 1金选项：由〃工+由=（尤+7）一/㈤〃＞）=曰-V=3尸，得〃工+卅）//（「）/3,所以X错误孑刀选项：由/（工+尸）=（#+尸），=?-/=（孙y，得f（x+y）*f（6f（y）,所以方错误sC选项：函数〃对=（；j是定义在J?上减函数，所以C错误JD选项:由〃元+#=3"匕〃句〃⑴=3工y=3"，得〃工+外=」"）/仔"又困数八旬=3工是定义在度上增函数，所以口正确」故选露.考点：国数求值,国数的单调性一【名师点晴】本题主要考查的是函数求值s函数的单调性等知识，属于容易题s在解本题时可以苜先由单调性排除民C选项，再验证AD选项是否满足“〃工+刃=〃力〃y）制阿一在解答时对于正确选项要说明理由，对于错误选项则只要举出反例即可，6.12014辽宁理12】已知定义在［0,1］上的函数f（x）满足:①f(0)=f(1)=0；②对所有x,yg[0,1],且x丰y，有If(x)-f(y)l<；lx-yI.若对所有x,yg[0,1]，If(x)-f(y)l<k，则k的最小值为( )D.【答案】B【解析】试题分析：不妨令。玄尤贝"〃尤)一一引法一：2|/(^)-/(^)|=|/(^)-/(0)+/(^)-/(^)-[/(^)-/(1)]|引〃引一〃。)|+盟冷一八月|+|/(7)-〃1)|即得|〃幻一〃耳卜卜TOC\o"1-5"\h\z当…沁熊]/⑼="上2 \2J 2 4故拈另4法二:当尤-建：时，句-/⑺卜(归-木；,q q ■^X-y>^?|/W-/(y)|=[/(x)-/(O)]-[/(y)-/(l)]|叩⑴一『⑴|十|『⑶—/⑼层归―o|+；|yT|=；。—句+)=；+；(『一句<；,q q q qqq !故拈44考点：1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.【名师点睛】本题考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，逐步转化成不含绝对值的式子，得出结论本题属于能力题，中等难度.在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等基础知识的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想7.12016高考天津理数】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-s，0)上单调递增.若实数a足f(2^』)>f(-V2)，则a的取值范围是.10

13、【答案】（23）E解析】试题分析：由题意/（X）在地+切上递减,又f（x）是偶函数,则不等式/（2^-11）＞f或化为，即答案为f（2^）＞f（^）,则淤卜-1层，解得；x- qq，即答案为考点：利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：⑴借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效.⑵借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化.【反馈练习】1.12017-2018学年河北省邢台市高一上学期第一次联考数学试题】函数＞=f（%）在R上为增函数，且f（2m）＞f（m+9），则实数m的取值范围是（）A.(9,A.(9,+8)b，+8)(f-9)(-8,9]【答案】A【解析】丫函数丁=」（句在J?上为增函数，且〃2叫）＞〃m+9）,:.2m＞m+9f解得超＞9,故选A.【方法点晴】本题主要考查抽象函触的单调性及抽象出数解不等式，属于难题一根据抽象图数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）J⑵注意应用图数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶图数）；⑶化成〃双切之『（网初后再利用单调性和定义域列不等式组.2.【2018届河南省林州市第一中学高三10月调研数学（理）试题】设奇函以G）在（0,+8）上为增函数，且f（2）=0，则不等式f（%）-f（-%）＜0的解集为OxA.（-2,0兀（2,+8） b,（-*-2兀（0,2）C.（-8,-2儿（2,+8） D,（-2,0）d（0,2）11【答案】D【解析】函数fG）为奇函数，则f（—X）=—f（X）,f（°"'-<0，化为2?<0，等价于Xf（X）<0,当X>0时，解得0<X<2，当X<0时，—2<X<0，不等式的解集为：（—2,0）d（0,2），选D.3.【2018届河南省南阳市第一中学高三上学期第三次考试数学（文）试题】已知函数（'；是定义在"上的偶川。叱）+41。9回427⑴函数，且在区间上单调递增.若实数满足 ? ，则的取值范围是（ ）/1]rl-A.[L2]B.（阿 C.Bl D.（°，2]【答案】C〃1晒1口）=『1-1唯吗=了。唯口）【解析】:，住）是定义在上的偶困数,，'77, 可变为rQ°g炉w（i）,又7在区间PVB）上单调递增,且式外是定义在五上的偶函数,■|log2a|^l即一1必降3]解得,故选C..【2017届天津市滨海新区高三上学期八校联考（理科）数学试卷】已知f（X）是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数X,X，都有X2f（Xi）—X1f（X2）<0，记a=f?。',b=f卜'，12 X—X 4.10.2 0.42.112

c=半g弗，则（）log0.24.1A.a<c<bB,a<b<cC.c<b<aD,b<c<a【答案】A【解析］设0＜q＜%2f(x)所以函数g(X)=,X则xf(%)—xf【解析］设0＜q＜%2f(x)所以函数g(X)=,X12R上的偶函数，因f(4.10.2)此a=4.10.2=g(4.10.2)<gR上的偶函数，因f(4.10.2)此a=4.10.2=g(4.10.2)<g(1)f(0.42.1)b=0.42.1=g(0.42.1)>g(0,42)>g(0.5)c=f(log024.1)log4.1(log4.1)=g(log4.1)e|g(1),0.2即a<c<b，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行.【2017届广西省高三教育质量诊断性联合考试数学（文）试卷】已知定义在R上的奇函数fG）在［0,+s）上递减，若f（x3—2X+a）＜f（X+1）对XG［—1,21恒成立，则a的取值范围为（）A.(一3,+8) B.(一叫一3) C.(3,+8) d.(—8,3)【答案】C【解析】由已知可得〃句在R上是减函数，故原命题等价于X3—即/+弘+1在［-12］上恒成立，设〃句=—3+3蒐+1,令f(»=—3Y+3=Onx=±l,当-Icxcl时/V）＞°，当1。＜2时尸㈤＜D,因此心/㈤皿=/。）=3,故选c【点睛】本题关键步骤有：L利用奇函数的性质可得了（工）在衣上是减函数』工将原命题等价转化为口）—3+3尤+1在［—1,2］上恒成立」支利用导数工具求得〃到11f从而求得正解一7.【2018届江西省六校高三上学期第五次联考理数试卷】已知函数屋;是"上的奇函数，当,：＞。时为减函数，且/⑵ 。，则;/Q2；＜。；=（ ）13

A.白。<(<2或］〉4；b.;『「二。或：:「,^„}【解析】•・•奇函数满足f(2)=0,；.f(-2)=-(2)=0.对于{x|f(x-2)>0},当x-2>0时,f(x-2)>0=f(2),・・x£(0,+8)时,f(x)为减函数，