《指数函数及其性质》同步练习 全市一等奖

《指数函数及其性质（2）》同步练习（2）基础巩固一、选择题1.函数的图象是()[答案]A2.(2022·重庆市南开中学期中试题)已知(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是()>0 >1<1 <a<1[答案]D3.(2022·安徽师大附中期中试题)设y1＝，y2＝，，则()A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2[答案]B[解析]y1＝＝，y2＝＝∵y＝2x是增函数，∴y1＞y3＞y2，故选B.4.已知函数f(x)的定义域是(1,2)，则函数f(2x)的定义域是()A.(0,1) B.(2,4)C. D.(1,2)[答案]A[解析]∵f(x)的定义域是(1,2)，∴1＜2x＜2，即20＜2x＜21，∴0＜x＜1，故选A.5.函数在[－1,0]上的最大值是()A．－1 B．0C．1 D．3[答案]D[解析]函数在[－1,0]上是减函数，则函数的最大值是，故选D.6.若，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞) B．C．(－∞，1) D．[答案]B[解析]函数在R上为减函数，∴2a＋1＞3－2a，∴，故选B.二、填空题7.函数的单调递减区间是________．[答案][解析]y＝＝，因此它的减区间为．8.已知函数f(x)＝＋a为奇函数，则a的值为________．[答案][解析]方法1：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，即，∴2a＝，∴.方法2：，又f(0)＝0，∴三、解答题9.讨论函数的单调性，并求其值域．[解析]解法1：∵函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．设∈(－∞，＋∞)且有x1<x2，∴，，∴＝(1)当x1<x2≤－1时，x1＋x2<－2，则有x2＋x1＋2<0，又∵x2－x1>0，∴(x2－x1)(x2＋x1＋2)<0，∴.又∵对于x∈R，f(x)>0恒成立，∴f(x2)>f(x1)，∴函数在(－∞，－1]上单调递增．(2)当－1≤x1<x2时，x1＋x2>－2，则有x2＋x1＋2>0，又∵x2－x1>0，∴(x2－x1)(x2＋x1＋2)>0，∴，∴f(x2)<f(x1)，∴函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递减．综上所述，函数f(x)在上是增函数；在区间[－1，＋∞)上是减函数．∵x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1，又，∴，∴函数f(x)的值域是．解法2：∵函数f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，令t＝x2＋2x，，又∵t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1在(－∞，－1]上是减函数，在上是增函数，在其定义域内是减函数，∴函数f(x)在上为增函数，在上是减函数．以下求值域方法同上．10.设0≤x≤2，求函数的最大值和最小值．[解析]设t＝2x，则．∵上述关于t的二次函数在[1,3]上递减，在[3,4]上递增，∴当t＝3，y取最小值；当t＝1时，即x＝0时，y取最大值.能力提升一、选择题1.(2022·四川)函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是()[答案]C[思点点拨]利用函数图象过定点判断．[解析]当x＝1时，y＝a1－a＝0，所以y＝ax－a的图象必过定点(1,0)，结合选项可知选C.2.函数在下列哪个区间上是增函数()A． B．C．[1,2] D．[答案]A3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．c＞a＞b[答案]D[解析]因为函数y＝是R上的单调减函数，所以a＞b.又因为a＝，c＝，所以c＞a.故c＞a＞b.4.若函数(a＞0，且a≠1)是R上的单调函数，则实数a的取值范围是()A． B．C． D．[答案]D[解析]当a＞1时，f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数，则函数f(x)在R上不是单调函数，故a＞1不合题意；当0＜a＜1时，f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在上是增函数，又函数f(x)在R上是单调函数，则a(－1－1)＋1≤a－(－1)，解得，所以实数a的取值范围是.二、填空题5.已知，则函数的值域为________．[答案][解析]由，得2x≤2－2x＋6，∴x≤－2x＋6，∴x≤2.∴，即的值域为．6．对于函数f(x)的定义域中的任意的(x1≠x2)，有如下的结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③；④当f(x)＝10x时，上述结论中正确的是________．[答案]①③[解析]因为f(x)＝10x，且x1≠x2，所以f(x1＋x2)＝10x1＋x2＝10x1·10x2＝f(x1)·f(x2)，所以①正确；因为f(x1·x2)＝10x1·x2≠10x1＋10x2＝f(x1)＋f(x2)，②不正确；因为是增函数，所以f(x1)－f(x2)与x1－x2同号，所以，所以③正确．④不正确．三、解答题7.设，．(1)写出f(x)，g(x)的定义域；(2)函数f(x)，g(x)是否具有奇偶性，并说明理由；(3)求函数g(x)的单调递增区间．[解析](1)∵x－1≠0，∴f(x)的定义域为．∵，x≠0，∴g(x)的定义域为．(2)∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)不具有奇偶性．又∵g(－x)＝f(2|－x|)＝f(2|x|)＝g(x)，∴g(x)是偶函数．(3)设0<x1<x2，则＝>0，∴g(x1)>g(x2)．∴g(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．又g(x)是偶函数，∴g(x)在区间(－∞，0)上是增函数．∴g(x)的单调递增区间为(－∞，0)．8.已知函数(a∈R)．(1)若函数f(x)为奇函数，求a的值；(2)判断函数f(x)在R上的单调性，并证明．[解析](1)∵函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，即，则有，即，∴4a－1＝0，∴.(2)函数f(x)在R上是增函数，证明如下：任取x1，x2∈R