ch32微分中值定理

会计学1ch32微分中值定理当时，当时，则所以则第1页/共34页例如,第2页/共34页几何解释:第3页/共34页证由费尔马定理知必有第4页/共34页注意(1)若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立.例如,(2)定理指出了导函数的零点问题第5页/共34页例1证由罗尔定理知同理可知第6页/共34页例2设至少存在一点求证：分析：证明：由罗尔定理知至少存在一点第7页/共34页例3若实数满足关系式证明：至少有一个小于1的正根.分析：第8页/共34页证明：令由罗尔定理知至少存在一点即：所以至少有一个小于1的正根.第9页/共34页11罗尔定理的几何意义也一条切线平行于AB

弦可以解释为:至少存在问题:去掉f(a)=f(b)的条件,此结论是否仍然成立?左图显示此结论是正确的第10页/共34页二、拉格朗日(Lagrange)中值定理第11页/共34页几何解释:证分析:弦AB方程为第12页/共34页作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.第13页/共34页拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理第14页/共34页推论1推论2微分中值定理公式：微分公式：第15页/共34页例4求拉格朗日中值定理中的解：所以使由知第16页/共34页例5证第17页/共34页例6证由上式得第18页/共34页20若曲线由参数方程(其中a≤t≤b)给出,则在曲线上,存在某点C(设其参数为ξ),在C处所作的切线与AB

弦平行CA(g(a),f(a))、B(g(b),f(b)),如果设A

、B

点的坐标为即应有第19页/共34页三、柯西(Cauchy)中值定理第20页/共34页几何解释:证作辅助函数第21页/共34页第22页/共34页例7

若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a>0),证明:在(a,b)内至少存在一点ξ,使成立解上式等价于设则由a>0知,f(x),g(x)满足柯西中值定理的条件,即

存在ξ(a,b),使第23页/共34页例8设f(x)在[x1,x2]上可微,且x1x2>0,证明:存在ξ

(x1,x2)使解原式故取由

x1x2>0,可知F(x),G(x)在[x1,x2]上满足柯西中值定理条件第24页/共34页

存在ξ

(x1,x2)使应用柯西中值定理,结论成立第25页/共34页例7证分析:结论可变形为第26页/共34页分析：即证即第27页/共34页亦即证明：取在则使即知，存在由Cauchy定理第28页/共34页四、三个中值定理之间的关系Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.第29页/共34页五、中值定理的初步应用证明：由罗尔定理知，使第30页/共34页又在在由罗尔定理知，存在使第31页/共34页33例(证不等式)证明:解在[a,b]上利用拉格朗日中值定理,有第32页/共34页定理应用（习题类型）:1