chapter向量与向量空间小结实用

会计学1chapter向量与向量空间小结实用一、内容小结向量的线性运算向量的表示法向量积数量积混合积向量的积向量概念1.向量代数第1页/共54页(1)向量的概念定义:既有大小又有方向的量称为向量.自由向量、相等向量、负向量、向径.重要概念:零向量、向量的模、单位向量、平行向量、第2页/共54页1)加法：(2)向量的线性运算2)减法：3)向量与数的乘法：第3页/共54页向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标：(3)向量的表示法向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式第4页/共54页向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式第5页/共54页(4)数量积（点积、内积）数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式第6页/共54页(5)向量积（叉积、外积）向量积的坐标表达式//第7页/共54页(6)混合积第8页/共54页2.空间解析几何平面点法式方程一般方程三点方程截距式方程平面束方程直线一般方程参数方程两点方程对称式方程第9页/共54页(1)直线及其方程第10页/共54页(2)平面及其方程第11页/共54页(3)化空间直线的一般方程为标准方程由对称式方程可得所求.第12页/共54页(4)距离第13页/共54页第14页/共54页(5)平面及直线间的位置关系平面与平面:第15页/共54页直线与直线:^第16页/共54页平面与直线:已知与L,求交点:从而可得交点.第17页/共54页(6)投影及公垂线问题点在直线或平面上的投影.点关于直线或平面的对称点.直线在平面上的投影.两异面直线的公垂线:第18页/共54页3.n维向量组及相关概念(1)线性相关与线性无关则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．结论1结论2第19页/共54页结论3结论4.

一个向量线性相关.结论5.两个向量线性相关对应分量成比例.结论6.

含有零向量的向量组线性相关.结论7第20页/共54页结论8.

结论9.

等价的线性无关向量组含有相同个数的向量.结论10.

nk个n维向量必线性相关.(2)向量组的秩与极大无关组

定义第21页/共54页结论1.

最大线性无关组不唯一.结论2.

向量组与任一个最大线性无关组等价.结论3.

向量组的任两个最大线性无关组等价.结论4.

一个向量组中,任意两个最大无关组所含向量个数相同.定义向量组T中最大线性无关组所含向量的个数叫做向量组T的秩.记为rank(T).(3)向量空间

定义设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．第22页/共54页(4)Schimidt正交化方法……第23页/共54页二、题型及方法1.向量的运算及应用2.求空间直线方程3.求平面方程4.求距离5.求投影6.讨论向量组的线性相关与线性无关7.求向量组的秩与极大无关组8.将线性无关向量组正交化单位化第24页/共54页1.向量的运算及应用Solution.第25页/共54页Solution.可设其单位向量为得其单位向量为:故所求向量为:第26页/共54页Solution.第27页/共54页Solution.第28页/共54页Solution.第29页/共54页Solution.第30页/共54页第31页/共54页Solution.第32页/共54页第33页/共54页Method1.解得(x,y,z)即为所求.Method2.第34页/共54页第35页/共54页2.求空间直线方程与平面方程Solution.可设平面方程为第36页/共54页Solution.由点法式得，也可用一般式方程来解.第37页/共54页Solution.第38页/共54页Method1.Method2.所求平面的法向量为第39页/共54页Solution.故所求直线方程为:第40页/共54页Method1.先作一过点M且与已知直线垂直的平面再求已知直线与该平面的交点N,令第41页/共54页代入平面方程得,交点取所求直线的方向向量为所求直线方程为第42页/共54页Method2.由于与已知直线垂直相交得,第43页/共54页Solution.第44页/共54页3.求距离与投影

Solution.第45页/共54页公垂线方程为:第46页/共54页Solution.第47页/共54页4.讨论向量组的线性相关与线性无关Proof.第48页/共54页另解所以结论成立.第49页/共54页5.求向量组的秩与极大无关组Solution.第5