D105对坐标曲面积分35184

会计学1D105对坐标曲面积分35184其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设为有向曲面,侧的规定

指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影记为的面积为则规定类似可规定机动目录上页下页返回结束第1页/共22页二、对坐标的曲面积分的概念与性质

1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量.分析:若是面积为S

的平面,则流量法向量:

流速为常向量:

机动目录上页下页返回结束第2页/共22页对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”

对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则机动目录上页下页返回结束第3页/共22页设

为光滑的有向曲面,在

上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R

叫做被积函数;叫做积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对的任

则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义.机动目录上页下页返回结束第4页/共22页引例中,流过有向曲面的流体的流量为称为Q

在有向曲面上对

z,x

的曲面积分;称为R

在有向曲面上对

x,

y

的曲面积分.称为P

在有向曲面上对

y,z

的曲面积分;若记正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动目录上页下页返回结束第5页/共22页3.性质(1)若之间无公共内点,则(2)用ˉ表示的反向曲面,则机动目录上页下页返回结束第6页/共22页三、对坐标的曲面积分的计算法定理:

设光滑曲面取上侧,是上的连续函数,则证:∵取上侧,机动目录上页下页返回结束第7页/共22页

•

若则有•若则有(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面取下侧,则机动目录上页下页返回结束第8页/共22页例1.

计算其中是以原点为中心,边长为

a

的正立方体的整个表面的外侧.解:

利用对称性.原式的顶部取上侧的底部取下侧机动目录上页下页返回结束第9页/共22页解:

把分为上下两部分根据对称性

思考:

下述解法是否正确:例2.计算曲面积分其中为球面外侧在第一和第八卦限部分.机动目录上页下页返回结束第10页/共22页机动目录上页下页返回结束第11页/共22页四、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画机动目录上页下页返回结束第12页/共22页令向量形式(A在

n上的投影)机动目录上页下页返回结束第13页/共22页例3.设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解:机动目录上页下页返回结束第14页/共22页例4.

计算曲面积分其中解:

利用两类曲面积分的联系,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.机动目录上页下页返回结束第15页/共22页原式机动目录上页下页返回结束第16页/共22页内容小结定义:1.两类曲面积分及其联系

机动目录上页下页返回结束第17页/共22页性质:联系:思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾?两类曲线积分的定义一个与的方向无关,一个与机动目录上页下页返回结束第18页/共22页2.常用计算公式及方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(3)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面转化机动目录上页下页返回结束第19页/共22页当时，（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式.机动目录上页下页返回结束第20页/共22页是平面在第四卦限部分的上侧,