D86空间直线及其方程

会计学1D86空间直线及其方程2.对称式方程故有说明:

某些分母为零时,其分子也理解为零.设直线上的动点为则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如,当和它的方向向量机动目录上页下页返回结束第1页/共22页3.参数式方程设得参数式方程:机动目录上页下页返回结束第2页/共22页例1.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.机动目录上页下页返回结束第3页/共22页故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.机动目录上页下页返回结束是直线上一点第4页/共22页二、线面间的位置关系1.两直线的夹角

则两直线夹角

满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为机动目录上页下页返回结束第5页/共22页特别有:机动目录上页下页返回结束第6页/共22页例2.

求以下两直线的夹角解:直线直线二直线夹角的余弦为(参考P45例2)从而的方向向量为的方向向量为机动目录上页下页返回结束第7页/共22页当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角

称为直线与平面间的夹角;2.

直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线

L的方向向量为平面

的法向量为则直线与平面夹角

满足直线和它在平面上的投影直︿机动目录上页下页返回结束第8页/共22页特别有:解:

取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.

为所求直线的方向向量.垂例3.求过点(1,－2,4)

且与平面机动目录上页下页返回结束第9页/共22页例4.

求与两平面x–4z=3和2x–y–5z=1的交线提示:

所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程平行,且过点(–3,2,5)的直线方程.机动目录上页下页返回结束三、杂例第10页/共22页例5.

求直线与平面的交点.提示:

化直线方程为参数方程代入平面方程得从而确定交点为（1，2，2）.机动目录上页下页返回结束第11页/共22页例6.

求过点(2,1,3)且与直线垂直相交的直线方程.提示:先求二直线交点P.化已知直线方程为参数方程,代入①式,可得交点最后利用两点式得所求直线方程的平面的法向量为故其方程为①过已知点且垂直于已知直线机动目录上页下页返回结束第12页/共22页平面束过直线的平面束方程机动目录上页下页返回结束第13页/共22页例7.

求直线在平面上的投影直线方程.提示：过已知直线的平面束方程从中选择得这是投影平面即使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程机动目录上页下页返回结束第14页/共22页1.空间直线方程一般式对称式参数式

内容小结

机动目录上页下页返回结束第15页/共22页直线2.线与线的关系直线夹角公式:机动目录上页下页返回结束第16页/共22页平面:L⊥

L//夹角公式：3.面与线间的关系直线L:机动目录上页下页返回结束第17页/共22页作业P493,4,5,7,9,13,15P49题2,10习题课目录上页下页返回结束思考与练习第18页/共22页解：相交,求此直线方程

.的方向向量为过A

点及面的法向量为则所求直线的方向向量方法1利用叉积.所以一直线过点且垂直于直线

又和直线备用题机动目录上页下页返回结束第19页/共22页设所求直线与的交点为待求直线的方向向量方法2利用所求直线与L2的交点.即故所求直线