D36微分中值定理

会计学1D36微分中值定理3.6.1问题的提出设函数其图形是一条绵绵不断的曲线，则过点上连续，的直线的斜率为：若曲线是由参数方程：给出，？的直线的斜率为：？在闭区间则过点机动目录上页下页返回结束第1页/共47页3.6.2.极值点、Fermat

引理ⅰ)若定义：设函数则称称为函数函数的极大值与极小值统称为函数的极值。处取得（局部）极大值，为函数在点ⅱ)若则称称为函数处取得（局部）极小值，为函数在点的一个（局部）极大值点；的一个（局部）极小值点；机动目录上页下页返回结束第2页/共47页费马(Fermat（1601~1665）)引理则证:则费马目录上页下页返回结束证毕若函数处取可导且取得极值，在点不妨设是函数的一个局部的极大值点(如下图)，于是，使得：第3页/共47页3.6.3罗尔(

Rolle(1652~1719))定理满足：ⅰ）在闭区间ⅱ）在开区间ⅲ）端点处函数值相等：证:∴在[a,b]上取得最大值M和最小值m，若

因此机动目录上页下页返回结束若函数则至少存在一点使得：在闭区间上连续，都有定理：上连续；

内可导；则第4页/共47页若故不妨设则存在一点使注意:1)Rolle—定理中条件的完整性：例如：由Fermat引理得：机动目录上页下页返回结束则M、m中至少一个不在区间的端点上取得，“闭连续、开可导、两端函数值同大小；水平切线至少有一条。”证毕第5页/共47页使得：2)Rolle—

定理中条件的充分性。在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点证明提示

:

设只须验明

F(x)在闭区间[a,b]上满足罗尔定理即可。机动目录上页下页返回结束推论：设函数均收敛，且第6页/共47页例

1.

有且仅有一个小于1的正实根。因此在证

:显然在[0,1]连续,又由零点定理知存在使得：即方程有小于1的正根2)再证唯一性：用反证法：为端点的区间满足罗尔定理条件,这与矛盾,故假设不真!设机动目录上页下页返回结束之间必存在一点假设另有显然在以证明方程1)先证存在性：使使第7页/共47页例

如

：设函数求证至少存在一点且使得：又

如

:设在闭区间上连续，在开区间内可导，且试证至少存在一点再

如：设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且试证至少存在一点使得：使得：在闭区间上连续，在开区间内可导，机动目录上页下页返回结束函数第8页/共47页3.6.4拉格朗日(Lagrange(1736~1813))中值定理在闭区间满足：在开区间则至少存在一点使得：作辅助函数：显然,在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且证:问题转化为证明由Rolle定理得，即定理结论成立。拉氏目录上页下页返回结束证毕若函数定理：使得：上连续；内可导；ⅰ）ⅱ）第9页/共47页推

论：设函数均在区间I

里可微，ⅰ)若ⅰ）在区间

I

里任取两点且函数取法的任意性得：则ⅱ)若则显然上满足Lagrange中值公式的条件，因此，由ⅱ)令用ⅰ）的结果得证。机动目录上页下页返回结束证：在闭区间C为常数，第10页/共47页例

2.

证明等式令由推论可知(C为常数)令又一般地：欲证只需证机动目录上页下页返回结束类似可证：则有上成立。故所证等式在定义域得：且使得：即可。证：第11页/共47页例

3.

证明不等式证:即从而因此，机动目录上页下页返回结束显然上满足Lagrange中值定理的一切条件，在闭区间成立又函数令使得：第12页/共47页利用Lagrange中值公式

证明不等式时的思路是：例

4.

“追之迹，试证不等式：找机动目录上页下页返回结束令显然函数上满足Lagrange中值定理的一切条件，在因此有：显然之形，定之位”证：第13页/共47页拉格朗日中值定理的有限增量形式：（ξ位于x与x+∆x之间）令则机动目录上页下页返回结束第14页/共47页3.6.5

柯西(

Cauchy(1789~1857))中值定理分析:及在闭区间在开区间且则至少存在一点使得：满足：要证柯西目录上页下页返回结束定理：若函数ⅰ）ⅱ）上连续；内可导，第15页/共47页证:且使即由Rolle定理知,至少存在一点思

考:

两式的

并非完全相同错!机动目录上页下页返回结束上面两式相比即得结论。显然在闭区间上连续，内可导，在开区间证毕由Lagrange中值定理知：柯西定理的下述证法对吗?令第16页/共47页例

5.至少存在一点使得：要证等式可变形为：令由Cauchy中值公式得：显然，试证：机动目录上页下页返回结束至少存在一点使得：在闭区间上连续，在开区间内可导，在闭区间上连续，在开区间内可导，设函数证：第17页/共47页例

6.至少存在一点使得：方法ⅰ）所证等式可变形为：令则在[0,1]上满足Cauchy中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点

,使得：试证：机动目录上页下页返回结束下面只须验证Rolle中值定理方法ⅱ）所证等式可变形为：令的条件即可。在闭区间上连续，在开区间内可导，设函数证：第18页/共47页例

7.

使得：证:

方法1.则令因此即分析:机动目录上页下页返回结束上满足柯西中值定理条件,在闭区间试证至少存在一点用柯西中值定理证明第19页/共47页例

7.

试证至少存在一点使得方法2.则函数使得：因此，存在机动目录上页下页返回结束在闭区间上满足罗尔中值定理条件,令

用Rolle中值公式第20页/共47页例

8.使得：所证等式可变形为：令上满足Lagrange中值公式的一切条件，显然试证：机动目录上页下页返回结束因此，使得：在闭区间上连续，在开区间内可导且在闭区间设函数即存在点证：第21页/共47页例

9.使得：所证等式可变形为：试证：机动目录上页下页返回结束在区间使得：在闭区间上连续，在开区间内可导,设函数故存在点Cauchy中值公式的条件，因此，等式左边等于令显然，上满足Lagrange与而等式右边：证：第22页/共47页例

10.满足：所证等式可变形为：试证：机动目录上页下页返回结束在区间使得：在闭区间上连续，在开区间内可导且设函数Cauchy中值公式的条件，因此，等式右边等于令显然，上满足Lagrange与而等式左边：证：第23页/共47页例

11.又取得最大值，证:由Fermat引理知，原不等式可变为：显然，上分别满足Lagrange中值定理的条件,因此分别存在在试证：机动目录上页下页返回结束满足：两式相加得所证的结果：在闭区间上二阶可导，且设使得第24页/共47页内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:

利用逆向思维寻求辅助函数费马引理机动目录上页下页返回结束第25页/共47页费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.第26页/共47页拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.第27页/共47页柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,第28页/共47页思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间机动目录上页下页返回结束上.方程第29页/共47页2.

设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.令机动目录上页下页返回结束第30页/共47页3.

若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.机动目录上页下页返回结束第31页/共47页4.

思考:在即当时问是否可由此得出

不能!因为是依赖于x

的一个特殊的函数.因此由上式得表示x

从右侧以任意方式趋于0.应用拉格朗日中值定理得上对函数机动目录上页下页返回结束第32页/共47页作业P1327,8,10,12,14,15提示:题15.题14.考虑第二节目录上页下页返回结束第33页/共47页备用题求证存在使1.

设可导，且在连续，证：因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得机动目录上页下页返回结束第34页/共47页设证明对任意有证：2.不妨设机动目录上页下页返回结束第35页/共47页柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率机动目录上页下页返回结束第36页/共47页定义：设函数ⅰ）若存在一点使得都有则称为函数在区间I

里的最小值，记作：ⅱ）若存在一点使得都有则称为函数在区间I

里的最大值，记作：函数的最大值与最小值

统称为函数的最值。机动目录上页下页返回结束第37页/共47页关于函数的最值问题则其最值只能在极值点或区间的端点处取到，由此得：求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)

最大值最小值机动目录上页下页返回结束定义：设若发散，称为的临界（可疑的极值）点。则称为函数的驻点；则称为函数的奇点；函数的驻点或奇点统称为第38页/共47页特别地:

当在内只有一个极值可疑点时,

当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)

对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)机动目录上页下页返回结束第39页/共47页例1.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:

显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.机动目录上页下页返回结束第40页/共47页因此也可通过例2.求函数说明:求最值点.与最值点相同,由于令(自己练习)在闭区间上的最大值和最小值.机动目录上页下页返回结束第41页/共47页(k

为某一常数)例3.铁路上AB段的距离为100km,工厂C

距A处20km，AC⊥

AB,要在AB

线上选定一点D

向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:

设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C