2021-2022学年湖南省娄底市涟源茅塘乡茅塘中学高三数学文联考试卷含解析

2021-2022学年湖南省娄底市涟源茅塘乡茅塘中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点F是挞物线y2=4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN中点到准线距离为A． B．2 C．3

D．4参考答案：C【知识点】抛物线的简单性质∵F是抛物线y2=4x的焦点，∴F（1，0），准线方程x=﹣1，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，解得x1+x2=4，∴线段AB的中点横坐标为2，∴线段AB的中点到该抛物线准线的距离为2+1=3，故选：C．【思路点拨】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到该抛物线准线的距离．

2.已知角的终边过点（），则的值是A．

B．

C．或

D．随着k的取值不同，其值不同参考答案：B3.已知全集为，集合，那么集合等于A.

B.

C.

D.参考答案：C略4.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0<a<12)、4m，不考虑树的粗细.现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的最大面积为S，若将这棵树围在花圃内，则函数（单位m2）的图象大致是（

）

A

B.

C.

D.参考答案：C5.已知函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos2x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos2x的图象向左平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得参考答案：D【考点】余弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的最小正周期为π，求出解析式，在利用三角函数的平移变换考查也选项即可．【解答】解：函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，即T=，∴ω=2，则f（x）=cos（2x﹣）的图象可有函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的解析式的求法和三角函数的平移变换的运用．属于基础题．6.如下图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8π

B．16π

C.32π

D．64π参考答案：C几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4）中心，所以半径为，表面积为，选C.

7.设两个向量和其中为实数.若则的取值范围是

(

)

A.

B. C.

D.参考答案：答案：A解析：由可得，设代入方程组可得消去化简得，再化简得再令代入上式得可得解不等式得因而解得.故选A8.“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．即可判断出结论．【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要条件．故选：B．9.焦点是，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线的方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：由已知，双曲线焦点在轴上，且为等轴双曲线，故选D.考点：双曲线几何性质．10.三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A

【知识点】球的体积和表面积．G8解析：取PC的中点O，连结OA、OB∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴PA⊥AC，可得Rt△APC中，中线OA=PC又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA、AB是平PSAB内的相交直线∴BC⊥平面PAB，可得BC⊥PB，因此Rt△BSC中，中线OB=PC，∴O是三棱锥P﹣ABC的外接球心，∵Rt△PCA中，AC=，PA=∴PC=，可得外接球半径R=PC=，∴外接球的表面积S=4πR2=5π故选A．【思路点拨】根据题意，证出BC⊥平面SAB，可得BC⊥PB，得Rt△BPC的中线OB=PC，同理得到OA=PC，因此O是三棱锥S﹣ABC的外接球心．利用勾股定理结合题中数据算出PC=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则

．参考答案：12.在△ABC中，则b=________.参考答案：513.设数列、均为等差数列，且公差均不为，，则__________。参考答案：14.已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜，ω＞0）的图象的一部分如图所示．则f（x）的表达式

．参考答案：f（x）=2sin（2x+）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：由函数图象的顶点的纵坐标求出A，由周期为π可解ω，把点（0，1）代入可解φ的值．解答： 解：把点（0，1）代入y=Asin（ωx+φ）可得，1=2sinφ，解得sinφ=，又|φ|＜，故φ=，又∵当x=时，y=0，∴ω×+=2π，解得ω=2，故f（x）的表达式为：f（x）=2sin（2x+），故答案为：f（x）=2sin（2x+）．点评：本题考查根据y=Asin（ωx+?）的部分图象求其解析式，属基础题．15.直线与圆相交的弦长为

参考答案：16.已知椭圆C：的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点，已知∠POA=60°，且OP⊥AP，则椭圆C的离心率为

．参考答案：由题意可得，易得，代入椭圆方程得：，故，所以离心率．

17.圆x2+y2=20的弦AB的中点为P（2，﹣3），则弦AB所在直线的方程是．参考答案：2x﹣3y﹣13=0【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】先求得直线OP的斜率，可得弦AB的斜率，再用点斜式求得弦AB所在直线的方程．【解答】解：由于弦AB的中点为P（2，﹣3），故直线OP的斜率为=﹣，∴弦AB的斜率为，故弦AB所在直线的方程是y+3=（x﹣2），即2x﹣3y﹣13=0，故答案为：2x﹣3y﹣13=0．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数．求：(1)的值；

(2)的最小正周期和最小值；(3)的单调递增区间．参考答案：解:(1)f()＝2sincos＋sin(－2×)＝2××＋0＝1.(2)f(x)＝sin2x＋cos2x＝(sin2x＋cos2x)＝(sin2xcos＋cos2xsin)＝sin(2x＋)所以最小正周期为π，最小值为－.(3)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，可得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．所以函数的单调递增区间为(k∈Z)．19.将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.参考答案：20.（本小题满分15分）已知函数.（1）若g(2)=2，讨论函数h(x)的单调性；（2）若函数g(x)是关于x的一次函数，且函数h(x)有两个不同的零点x1,x2.①求b的取值范围；② 求证：.参考答案：(1)∵g(2)=2

∴a-b=1

∴，其定义域为（0，+）（Ⅰ）若a0,则函数h(x)在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.（Ⅱ）若a<0,令得①当a<-1时，则，所以函数h(x)在区间（0,）上单调增；在区间（1,+）上单调增；在区间（,1）上单调减.②当a=-1时，所以函数h(x)在区间（0，+）单调减.③当-1<a<0时，则，所以函数h(x)在区间（0,1）上单调增；在区间（,+）上单调增；在区间（1,）上单调减.（2）∵函数g(x)是关于x的一次函数

∴，其定义域为（0，+）①由得，记，则∴在单调减，在单调增，∴当时取得最小值又，所以时，而时

∴b的取值范围是（，0）②由题意得∴∴，不妨设x1<x2要证,

只需要证即证，设则∴∴函数在（1，+）上单调增，而，所以即∴.21.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD=2，PD⊥底面ABCD.（I）证明：PA⊥BD；（II）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.参考答案：解：（Ⅰ）因为,由余弦定理得从而BD2+AD2=AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD……7分（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则,,,。设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则即

因此可取n=设平面PBC的法向量为m，则可取m=（0，-1，）

故二面角A-PB-C的余弦值为

……………15分22.(本小题满分12分)如图，椭圆C：的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．参考答案：解：(1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得得所以椭圆方程为＋＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，由消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，所以线段AB的中点M.因为M在直线OP上，所以＝.得m＝0(舍去)或k＝－.此时方程①为3x2