2022年度湖北省黄冈市白河中学高三数学理月考试卷含解析

2022年度湖北省黄冈市白河中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=，若f（a）=，则实数a的值为(

)A．﹣1 B． C．﹣1或 D．1或﹣参考答案：C【考点】函数的值；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】本题考查的分段函数的求值问题，由函数解析式，我们可以先计算当x＞0时的a值，然后再计算当x≤0时的a值，最后综合即可．【解答】解：当x＞0时，log2x=，∴x=；当x≤0时，2x=，∴x=﹣1．则实数a的值为：﹣1或，故选C．【点评】分段函数求值问题分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，属于基础题．2.下列命题中正确的是

A．命题“，使得”的否定是“，均有”；

B．命题“若，则x=y”的逆否命题是真命题：

C．命题”若x=3，则”的否命题是“若，则”；

D．命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题．参考答案：C略3.

参考答案：D略4.函数的图象可能是

参考答案：D5.设函数，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（

）

A．（-，2）

B．（-，

C．（-，）

D．参考答案：6.已知可导函数满足，则当时，和的大小关系为（

）（A）

（B）（C）

（C）参考答案：7.命题：“”，则命题的否定是（

）A.

B.C.

D.参考答案：C8.已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是

A．

B．

C．

D．参考答案：A9.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是A.

B.

C.

D.参考答案：C10.设是平行四边形的对角线的交点，为任意一点，则

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设有序集合对满足：，记分别表示集合的元素个数，则符合条件的集合的对数是________.参考答案：44对由条件可得。当时，显然不成立；当时，则，所以，符合条件的集合对有1对；当时，则，所以A中的另一个元素从剩下6个数中选一个，故符合条件的集合对有对；当时，则，所以A中的另两个元素从剩下6个数中选2个，故符合条件的集合对有对；当时，则，矛盾；由对称性，剩下的几种情况类似，故符合条件的集合的对数是对。

12.已知cosα=﹣，α∈（，π），则等于．参考答案：略13.函数，，，，对任意的，总存在，使得成立，则的取值范围为

．参考答案：试题分析：对任意的，总存在，使得成立等价于的值域是的值域的子集.函数在上单调递增,,即.在上单调递减,当时在上单调递减,即.所以只需.当时在上单调递增,,即,所以只需解得.综上可得.考点：1恒成立问题;2转化思想;3函数的单调性.14.在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命题：①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在曲线是直线；②若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹所在曲线是圆；③若P满足∠MAP=∠MAC1，则动点P的轨迹所在曲线是椭圆；④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为1：2，则动点P的轨迹所在曲线是双曲线；⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在曲线是抛物丝．其中真命题是（写出所有真命题的序号）参考答案：①②④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】由BD1⊥面AB1C，可得P在面AB1C和面BCC1B1的交线上判断①正确；由平面截球面轨迹是圆判断②正确；利用平面截圆锥侧面可得P点轨迹所在曲线是双曲线的一支，说明③错误；由双曲线定义说明④正确；建立空间坐标系，由|PF|=|PG|列式求出动点P的轨迹说明⑤错误．【解答】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确；对于②，满足到点A的距离为的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②正确；对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1的点P应为以AM为轴，以AC1为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误；对于④，P到直线C1D1的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1，∴动点P的轨迹所在曲线是以C1为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确；对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF，设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得，即x2﹣y2=1，∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．故答案为：①②④．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．15.设是实数，成等比数列，且成等差数列，则的值是▲。参考答案：略16.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是

;参考答案：0考点：算法和程序框图因为

故答案为：017.定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：①函数f（x）=cosx﹣1是[﹣2π，2π]上的“平均值函数”；②若y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，则它的均值点x0≥；③若函数f（x）=x2﹣mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是m∈（0，2）；④若f（x）=lnx是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，则lnx0＜．其中的真命题有

．（写出所有真命题的序号）参考答案：①③④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用定义判断①的正误；利用反例判断②的正误；利用定义推出m的范围判断③的正误；利用分析法直接证明结合函数的导数即可证明④的正误．【解答】解：①容易证明正确．函数f（x）=cosx﹣1是[﹣2π，2π]上的“平均值函数”；﹣1就是它的均值点．②不正确．反例：f（x）=x在区间[0，6]上．③正确．由定义：得，又x0∈（﹣1，1）所以实数m的取值范围是m∈（0，2）．④正确．理由如下：由题知．要证明，即证明：，令，原式等价于．令，则，所以得证．故答案为：①③④．【点评】本题考查新定义的应用，函数的导数以及分析法的应用，考查分析问题解决问题的能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知acosAcosB﹣bsin2A﹣ccosA=2bcosB．（1）求B；（2）若，求a．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinBcosB=﹣sinB，结合sinB≠0，可求cosB=﹣，进而可求B的值．（2）由已知及余弦定理可求c2+ac﹣6a2=0，解得c=2a，进而利用三角形面积公式可求a的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理得：2sinBcosB=sinAcosAcosB﹣sinBsin2A﹣sinCcosA=sinAcos（A+B）﹣sinCcosA=﹣sinAcosC﹣sinCcosA=﹣sin（A+C）=﹣sinB，∵sinB≠0，∴cosB=﹣，B=．…（2）由b2=a2+c2﹣2accosB，b=a，cosB=﹣，得：c2+ac﹣6a2=0，解得c=2a，…由S△ABC=acsinB=a2=2，得a=2．…19.已知函数．（1）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集；（2）证明：．参考答案：【考点】R6：不等式的证明；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）对x的范围进行讨论，去掉绝对值符号解出；（2）先利用绝对值三角不等式去掉a，再利用基本不等式得出结论．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x+2|+|x+|，∵f（x）＞3，∴或或解得：x＜﹣或x＞，所以不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞}．（2）f（m）+f（﹣）=|m+a|+|m+|+|﹣|+|﹣+|≥|m+a+﹣a|+|m++﹣|=2|m+|=2（|m|+）≥4．20.（12分）（2015秋?太原期末）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且ccosA=5，asinC=4．（1）求边长c；（2）若△ABC的面积S=16．求△ABC的周长．参考答案：【分析】（1）由正弦定理可得asinC=csinA，可得sinA=，由ccosA=5，可得：cosA=，由sin2A+cos2A=+=1，即可解得c的值．（2）利用三角形面积公式可得S=absinC=16，asinC=4．解得b，利用余弦定理即可解得a的值，从而可求△ABC的周长．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵由正弦定理可得：，可得：asinC=csinA，∵asinC=4，可得：csinA=4，即得：sinA=，由ccosA=5，可得：cosA=，∴可得：sin2A+cos2A=+=1，∴解得：c=．（2）∵△ABC的面积S=absinC=16，asinC=4．解得：b=8，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=64+41﹣2××8×=25，解得a=5，或﹣5（舍去），∴△ABC的周长=a+b+c=5+8+=13+．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.设函数f（x）=x2﹣alnx﹣（a﹣2）x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1，x2（1）求满足条件的最小正整数a的值；（2）求证：．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣=，（x＞0）．对a分类讨论：a≤0，a＞0，即可得出单调性．（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）可知函数f（x）有两个零点，所以a＞0，f（x）的最小值f（）＜0，即﹣a2+4a﹣4aln＜0，可得，令，显然h（a）在（0，+∞）上为增函数，且，因此存在a0∈（2，3），h（a0）=0，进而得出小正整数a的值．（2）不妨设0＜x1＜x2，于是﹣alnx1=﹣alnx2，可得a=．由于=0，当x∈时，f′（x）＞0．只要证即可，即证明x1+x2＞．，即证＜．设=t∈（0，1）．令m（t）=lnt﹣，利用导数研究其单调性即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣=，（x＞0）．当a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）单调递增区间为（0，+∞），此时f（x）无单调减区间；当a＞0时，由f′（x）＞0，得，f′（x）＜0，得，所以函数f（x）的单调增区间为（，+∞），单调减区间为（0，）；（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）可知函数f（x）有两个零点，所以a＞0，f（x）的最小值f（）＜0，即﹣a2+4a﹣4aln＜0，∵a＞0，∴，令，显然h（a）在（0，+∞）上为增函数，且∴存在a0∈（2，3），h（a0）=0，当a＞a0时，h（a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a）＜0，所以满足条件的最小正整数a=3．又当a=3时，f（3）=3（2﹣ln3）＞0，=＜0，f（1）=0，所以a=3时，f（x）有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．（2）证明：不妨设0＜x1＜x2，于是﹣alnx1=﹣alnx2，∴a=．，因为=0，当x∈时，f′（x）＜0；当x∈时，f′（x）＞0．故只要证即可，即证明x1+x2＞．，即证+（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）＞﹣﹣2x2．也就是证＜．设=t∈（0，1）．令m（t）=lnt﹣，则m′（t）=﹣=．∵