2022年黑龙江省伊春市宜春芗溪中学高一数学理期末试卷含解析

2022年黑龙江省伊春市宜春芗溪中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知分别是的三边上的点，且满足，，，。则（

）A

B

C

D

参考答案：D略2.因式分解：ab2﹣a=

．参考答案：略3.函数y=f（x）和x=2的交点个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个参考答案：D【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】根据函数的定义可得函数y=f（x）的图象与直线x=2至多有一个交点，由此得到结论．【解答】解：根据函数y=f（x）的定义，当x=2为定义域内一个值，有唯一的一个函数值f（x）与之对应，函数y=f（x）的图象与直线x=2有唯一交点．当x=2不在定义域内时，函数值f（x）不存在，函数y=f（x）的图象与直线x=2没有交点．故函数y=f（x）的图象与直线x=2至多有一个交点，即函数y=f（x）的图象与直线x=2的交点的个数是0或1，故选：D．4.已知扇形的弧长是8，其所在圆的直径是4，则扇形的面积是（

）A.8 B.6 C.4 D.16参考答案：A【分析】直接利用扇形的面积公式求解.【详解】扇形的弧长，半径，由扇形的面积公式可知，该扇形的面积.故选：A【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.直线与圆交于A，B两点，且，过点A，B分别作l的垂线与y轴交于点M，N，则等于（

）A.

B.8

C.

D.参考答案：C根据题中的条件可知圆的半径等于3，所以直径等于6，所以直线过圆心，即直线过坐标原点，从而可以求得，结合图形的特征，.

6.偶函数y=f（x）满足下列条件①x≥0时，f（x）=x3；②对任意x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣] B．[﹣] C．[﹣2，] D．[﹣]参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据f（x）为偶函数便可得到f（|x+t|）≥8f（|x|），从而有|x+t|3≥8|x|3，从而得到|x+t|≥2|x|，两边平方便有（x+t）2≥4x2，经整理便可得到3x2﹣2tx﹣t2≤0在[t，t+1]上恒成立，这样只需3（t+1）2﹣2t（t+1）﹣t2≤0，解该不等式即可得出实数t的取值范围．【解答】解：根据条件得：f（|x+t|）≥8f（|x|）；∴（|x+t|）3≥8（|x|）3；∴（|x+t|）3≥（2|x|）3；∴|x+t|≥2|x|；∴（x+t）2≥4x2；整理得，3x2﹣2tx﹣t2≤0在[t，t+1]上恒成立；设g（x）=3x2﹣2tx﹣t2，g（t）=0；∴g（t+1）=3（t+1）2﹣2t（t+1）﹣t2≤0；解得t；∴实数t的取值范围为（﹣∞，﹣]．故选：A．【点评】考查偶函数的定义，y=x3的单调性，不等式的性质，并需熟悉二次函数的图象．7.已知向量=(a,b)，向量⊥且则的坐标可能的一个为（

）A．（a,－b）

B．(－a,b)

C．(b,－a)

D．(－b,－a)参考答案：C8.菱形ABCD边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别别在BC、CD上,,若，则A.

B.

C.

D.参考答案：C9.设集合，则()A、B、

C、

D、参考答案：B10.函数的定义域为，且对其内任意实数均有：，则在上是：（）A.增函数

B.减函数

C.奇函数

D.偶函数参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形面内爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为

；参考答案：12.设，，，则从大到小的顺序为

.参考答案：略13.设，其中为非零常数.若，则

.参考答案：略14.定义：关于的不等式的解集叫的邻域．若的邻域为区间，则的最小值是_______．参考答案：15.若α，β都是锐角，且cosα=，sin（α一β）=，则cosβ=．参考答案：【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值．【分析】由已知角的范围结合已知求出sinα，cos（α﹣β）的值，然后利用两角和与差的余弦得答案．【解答】解：∵0＜α，β，∴，又cosα=，sin（α一β）=，∴sinα=，cos（α一β）=．∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．故答案为：．【点评】本题考查两角和与差的余弦，关键是“拆角配角”方法的运用，是中档题．16.已知集合，集合，则集合中元素的个数为

．参考答案：18

17.设全集U=R，A=，则A∩（?UB）=．参考答案：{x|2＜x≤4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式求出集合A、B，根据补集与交集的定义写出A∩（?UB）．【解答】解：全集U=R，A={x|＜1}={x||x﹣1|＞1}={x|x＜0或x＞2}；B={x|x2﹣5x+4＞0}={x|x＜1或x＞4}，∴?UB={x|1≤x≤4}，∴A∩（?UB）={x|2＜x≤4}．故答案为：{x|2＜x≤4}．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，在等比数列{bn}中，.（1）求an及bn；（2）设数列的前n项和为Tn，求Tn.参考答案：（1）设的公差为，则由题有，∴.∵在等比数列中，，∴的公比为，∴，即.（2）由（1）知，，∴.∴，，∴，即19.（14分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]（1）当a=﹣1时，求函数的最值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数；（3）求y=f（x）的最小值．参考答案：考点： 二次函数在闭区间上的最值；函数单调性的判断与证明．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）a=﹣1时，易求二次函数f（x）在闭区间上的最值；（2）f（x）的图象是抛物线，区间在对称轴的一侧时是单调函数；（3）讨论f（x）图象的对称轴在区间[﹣5，5]上，还是在区间左侧，右侧？从而求f（x）的最小值．解答： （1）当a=﹣1时，f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，∴当x=1时，f（x）min=f（1）=1；当x=﹣5时，f（x）max=37；（2）∵f（x）=x2+2ax+2的图象是抛物线，且开口向上，对称轴为x=﹣a；∴当﹣a≤﹣5或﹣a≥5，即a≥5或a≤﹣5时，f（x）是单调函数；（3）∵f（x）=x2+2ax+2的图象是抛物线，开口向上，对称轴为x=﹣a；∴当a≥5时，f（x）在[﹣5，5]上是增函数；∴f（x）min=f（﹣5）=27﹣10a；当5＞a＞﹣5时，f（x）在[﹣5，5]上是先减后增的函数，∴f（x）min=f（﹣a）=﹣a2+2当a≤﹣5时，f（x）在[﹣5，5]上是减函数；∴f（x）min=f（5）=27+10a；所以，f（x）在[﹣5，5]上的最小值是：f（x）min=．点评： 本题从多个角度考查了二次函数的单调性和最值问题，需要认真分析，分类讨论后来解答问题．20.（12分）已知向量满足求。参考答案：略21.已知函数f（x）=sin+cos，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期，并求函数f（x）在x∈[﹣2π，2π]上的单调递增区间；（2）函数f（x）=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数f（x）的图象．参考答案：（1）函数f（x）在x∈[﹣2π，2π]上的单调递增区间是[，]．（2）见解析试题分析：将f（x）化为一角一函数形式得出f（x）=2sin（），（1）利用≤≤，且x∈[﹣2π，2π]，对k合理取值求出单调递增区间（2）该函数图象可由y=sinx的图象，先向左平移，再图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的2倍，，即得到函数y=2sin（）解：f（x）=sin+cos=2sin（）（1）最小正周期T==4π．令z=，函数y=sinz的单调递增区间是[，]，k∈Z．由≤≤，得+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z．取k=0，得≤x≤，而[，]?[﹣2π，2π]函数f（x）在x∈[﹣2π，2π]上的单调递增区间是[，]．（2）把函数y=sinx图象向左平移，得到函数y=sin（x+）的图象，再把函数y=sin（x+）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（）的图象，然后再把每个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，即得到函数y=2sin（）的图象．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．