江苏省南京市浦镇中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试题含解析

江苏省南京市浦镇中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，输出的T等于（）A．10 B．15 C．20 D．30参考答案：C【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是分别累加S，及T的值，当T＞S时输出T的值，将程序运行过程各变量的值，列表表示，就不难分析出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环

S

n

T循环前/0

0

0第一圈

是

4

2

2第二圈

是

8

4

6第三圈

是

12

6

12第四圈

是

16

8

20第五圈

否所以最后输出的T值为20故选C2.某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）A．个

B．个

C．个 D．个参考答案：A略3.下列命题中，假命题是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D，特殊值验证，∴是假命题，故选D．4.若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（

）A．a≤-3

B．a≥-3 C．a≤5 D．a≥5参考答案：D5.已知,那么函数有 （

） （A）最大值2

（B）最小值2

（C）最小值4 （D）最大值4

参考答案：A略6.设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则A．极大值为，极小值为B．极大值为，极小值为C．极大值为，极小值为D．极大值为，极小值为参考答案：D7.已知A、B、C是不在同一直线上的三点，O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若(λ∈[0，+∞))，则点P的轨迹一定过△ABC的（

）A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心参考答案：C8.阅读如图所示的程序框图，若输入n=2017，则输出的S值是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】程序框图．【分析】根据程序框图的流程，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=2017时，不满足条件k＜2017，退出循环，输出S的值，用裂项相消法求和即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：n=2017，k=1，S=0执行循环体，S=0+，k=2；满足条件k＜2017，执行循环体，S=0++，k=3；…满足条件k＜2017，执行循环体，S=0+++…+，k=2017；此时，不满足条件k＜2017，退出循环，输出S的值．由于：S=0+++…+=×[（1﹣）+（）+…+（﹣）]=（1﹣）=．故选：A．9.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2=﹣2y+3，直线l经过点（1，0）且与直线x﹣y+1=0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为(

)A．1 B． C．2 D．2参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系；三角形的面积公式．【专题】计算题；直线与圆．【分析】将圆C化成标准方程，得到圆心为C（0，﹣1）、半径为2．由垂直的两直线斜率的关系算出直线l的斜率为1，可得l的方程为x+y﹣1=0，进而算出圆心C到l的距离d=，再根据垂径定理算出l被圆C截得的弦长|AB|=2．最后由点到直线的距离公式算出原点O到AB的距离，根据三角形的面积公式即可算出△OAB的面积．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2=﹣2y+3，∴化成标准方程，可得x2+（y+1）2=4，由此可得圆的圆心为C（0，﹣1）、半径为2．∵直线x﹣y+1=0的斜率为1且与直线l垂直，直线l经过点（1，0），∴直线l的斜率为k=﹣1，可得直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即x+y﹣1=0．因此，圆心C到直线l的距离d==．∴直线l被圆C截得的弦长|AB|=2=2=2，又∵坐标原点O到AB的距离为d'==，∴△OAB的面积为S=|AB|×d'==1．故选：A【点评】本题给出满足条件的直线与圆，求直线被圆截得的弦AB与原点O构成三角形的面积．着重考查了点到直线的距离公式、直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．10.（

） A． B． C． D．参考答案：B原式＝＝二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是

▲

.参考答案：12.．用反证法证明：“”，应假设为

▲

．

参考答案：略13.直线l：x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是坐标原点)的面积为________．参考答案：14..“”是“”的_____条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．参考答案：充分不必要条件【分析】首先解出的等价条件，然后利用充分条件与必要条件的定义进行判定即可。【详解】由或，当时，成立，则“”是“”的充分条件；当时，不一定成立，则“”是“”的不必要条件；故“”是“”的充分不必要条件。【点睛】本题考查充要条件的判断，属于基础题。15.曲线y=3x5－5x3共有___________个极值．参考答案：2略16.过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为

．参考答案：或

【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据条件求出直线l的方程，联立直线方程与渐近线方程分别求出点B，C的横坐标，结合条件得出C为AB的中点求出b，a间的关系，进而求出双曲线的离心率．【解答】解：由题得，双曲线的右顶点A（a，0）所以所作斜率为1的直线l：y=x﹣a，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2）．联立其中一条渐近线y=﹣x，则，解得x2=①；同理联立，解得x1=②；又因为|AB|=2|AC|，（i）当C是AB的中点时，则x2=?2x2=x1+a，把①②代入整理得：b=3a，∴e===；（ii）当A为BC的中点时，则根据三角形相似可以得到，∴x1+2x2=3a，把①②代入整理得：a=3b，∴e===．综上所述，双曲线G的离心率为或．故答案为：或．【点评】本题考题双曲线性质的综合运用，解题过程中要注意由|AC|=|BC|得到C是A，B的中点这以结论的运用．17.关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是____．参考答案：(-4,0)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分，现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC=θ，直四棱柱木梁的体积为V（单位：m3），侧面积为S（单位：m2）．（Ⅰ）分别求V与S关于θ的函数表达式；（Ⅱ）求侧面积S的最大值；（Ⅲ）求θ的值，使体积V最大．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（I）列出梯形ABCD的面积SABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），求解体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）．（II）得出g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，利用二次函数求解即可．（III）V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，），求解导数得出V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1），根据导数与单调性的关系求解．【解答】解：（Ⅰ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin+2cosθ）=20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，），梯形ABCD的面积SABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）；（Ⅱ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin+2cosθ）=20（cos+1），θ∈（0，），设g（θ）=cos+1，g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，∴当sin=，θ∈（0，），即θ=时，木梁的侧面积s最大．所以θ=时，木梁的侧面积s最大为40m2．（Ⅲ）V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1）令V′（θ）=0，得cosθ=，或cosθ=﹣1（舍）∵θ∈（0，），∴θ=．当θ∈（0，）时，＜cosθ＜1，V′（θ）＞0，V（θ）为增函数；当θ∈（，）时，0＜cosθ＜，V′（θ）＞0，V（θ）为减函数．∴当θ=时，体积V最大．【点评】本题考查了三角函数在解决实际问题中的运用，导数在解决复杂函数最值中的运用，关键准确求解导数．19.已知等比数列中，，求其第4项及前5项和.参考答案：解：设公比为，

由已知得

即

②÷①得，

将代入①得，

，

略20.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足．(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)求和：．参考答案：（1）；（2）.21.（本小题满分14分）已知函数，为常数．

（1）若，且，求函数的单调区间；（2）若，且对任意，，都有，求的取值范围．参考答案：（1），-------------------------------------2分 ∵，令，得，或，

------------------------------------3分 ∴函数的单调增区间为，．

-----------------------------4分

单调减区间为

-----------------------------5分注：两个单调增区间，错一个扣1分，错两个扣2分 （2）∵，∴，∴，

--------------------------------------------------7分设，依题意，在上是减函数．

--------------------------8分当时，，，令，得：对恒成立，设，则，∵，∴，∴在上是增函数，则当时，有最大值为，∴．

------------------------------------------------------------------------------------11分当时，，，令，得：， 设，则， ∴在上是增函数，∴， ∴

-------------------------------------13分综上所述，

---------------------------------------14分22.（12分）已知数列的前和为，其中且(1)求